陕西咸阳2009年高考临近：数学猜题卷

陕西咸阳2009年高考临近：数学猜题卷
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（理科）复数的值是 （ ）
A．4i B．－4i C．4 D．－4
（文科）设全集U={是不大于9的正整数}，{1，2，3 }，｛3，4，5，6｝则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A.｛1，2，3，4，5，6｝ B. ｛7，8｝
C.｛7，8，9｝ D. ｛1，2，4，5，6，7，8，9｝
2．满足方程的实数为 （ ）
A．　 B．　 C．３　 D．
3．函数的最大值是 （ ）
　A. 2 　　　 B. 3 　　　　 C. 4 　　　　 D. 5
4．已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
5．山坡水平面成30?角，坡面上有一条与山底坡脚的水平线成30?角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段400米的路后，升高了100米，则此人升高了 （　　）
A．50米 B．100米 C．200米 D．米
6．图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：

情境ａ：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度（将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻）；
情境ｂ：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好）；
情境ｃ：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度；
情境ｄ：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润；
其中情境ａ、ｂ、ｃ、ｄ分别对应的图象是 （ ）
　　A．①、③、④、②　　　　　　　　　　B．①、③、②、④、
C．②、③、④、①　　　　　　　　　　D．②、④、③、①
7．(理科)已知等比数列｛an｝的公比为q（q为实数），前n项和为Sn,且S3、S9、S6成等差数列，则q3等于 （ ）
A．1　 　 B．－　　 C．－1或　　 D．1或－
（文科）若数列满足关系，且，则 （ ）
A. B. C. D.
8．已知，且其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是 （ ）
A． B．3 或 C． D．或
9．李先生忘记了自己电脑的开机密码，但记得密码是由两个3，一个6，一个9组成的四位数，于是，他用这四个数字随意排成一个四位数输入电脑尝试. 那么他打开电脑最多尝试的次数为 （　　）
A．64 B．18 C．12 D．6
10．若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． 　B．　 　C． 　D．
11．如果，且，那么 （ ）
A． B. C． D.
12．（理科）若实数满足，则的最小值是 （ 　 ）
A． B． C． D．
（文科）若实数满足则的最小值是 （ ）
A．　　 B．
C．　　　　　　 D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上.
13．点是抛物线上一个动点，则点到点的距离与点到直线的距离和的最小值是 ．
14．（理科）函数的单调减区间为　　　．
（文科）如果的展开式中的系数为80，那么实数的值应当是___________．
15．已知x，y∈R，且则x+2y的最大值是______．
16．下列四个命题：①圆与直线相交，所得弦长为2；②直线与圆恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108；④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为其中，正确命题的序号为 ．写出所有正确命的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知向量．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的值．
18．（本小题满分12分）（理科）有A，B，C，D四个城市，它们都有一个著名的旅游点，依此记为a，b，c，d.把ABCD和a，b，c，d分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右两边的字母全部连接起来，构成“一一对应”，已知每连对一个得2分，连错得0分．
（Ⅰ）求该爱好者得分的分布列；
（Ⅱ）求该爱好者得分的数期望．
（文科）西安万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金200元. 某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券.
（I）求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；
（II）求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．
19．（本小题满分12分）如图，已知△ABC是正三角 形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点．求证：
（I）FD∥平面ABC；
（II）AF⊥平面EDB．
20．（本小题满分12分）（理科）已知函数，数列满足：且.数列中,且
(I) 求证:数列是等差数列；
(II) 求数列的前项和；
(III)　是否存在自然数，使得（2）中的.若存在,求出所有的;若不存在,请说明理由.
（文科）已知函数在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上递减．
（I）求的值；
（II）设，若方程的解集恰有3个元素，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为 过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于两点（异于）．
（I）求证: 直线的斜率；
（II）求△面积的最大值．
22．（本小题满分12分）（理科）定义在（0，+）上的函数.
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）对于任意正实数a、b，设
（文科）已知数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，对于任意n≥2，3Sn－4，an， 总成等差数列．
（I）求数列通项公式an；?
（II）若数列满足，求数列的前n项和．
参考答案
一、选择题
１．（理科）C．.
（文科）C．图中阴影部分所表示的集合为,∵，，．
2． A．注意是向量的坐标表示，将代入知道，方程成立．
3．D.　将函数关系变形为．显然，当时，
4． D．设F2 (c , 0)，M (0 ,c)，依照MF2中点N ()在双曲线上，得=1，即=1=1．注意到e >1，解得e =+1．
5． B．如图，，而　　
．在中，．
在中，，
所以 ．
6．A．依照实际体验，不难作出判断与正确的选择．
7．(理科) B．若q=1, 则S3、S9、S6 不成等差数列,即由题意知,
解得q3=－.
（文科）A．由得
类似有从而．
8．C．由题意知，从而.此时有
即有　　对照选择支．
9．C．4个密码的位置里先选2个位置，用6和9排，有种排法；再在剩余的2个位置
里填上3就可以了．显然总数是．
10．A．由已知不等式，得．设，由于，则，于是有．便得，解得．
11．A．当时，等式显然成立．再取特殊值，可以否定B，C，D．
12．（理科）C．由２元均值不等式，得
　　　　
　　　　　　　　　　　　
（文科） C．解已知中关于的三元一次方程，得，于是有四组解：，，，．从而，当时，代数式则的最小值为．
二、填空题
13．．由于的准线是，所以点到的距离等于到焦点的距离，故点到点的距离与到=的距离之和的最小值是．
14．（理科）．对函数求导数，得　．
由得．
（文科）2．因为，所以由，得 ．由，得．
15．利用线性规划求最值. 可行域为三角形，其顶点为 ，当x+2y过 时最大，其最大值为4．
16．②④．直线恒过定点始终在圆上，即直线与圆恒有公共点；或由圆心
到的距离=1=r，故直线与圆恒有公共点，②正确；棱长为a的正四面体的外接球半径R=V球=，　所以④正确．
三、解答题
17．（Ⅰ），，

．
，

（Ⅱ）．
由 ， 得．
由 得


18．（理科）（I）设答对题的个数为y，得分为ξ,y=0，1，2，4；所以ξ=0，2，4，8．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
，
，
，
，　　　　　　　　　　　
则ξ的分布列为：
ξ
0
2
4
8
P
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（II）Eξ=0×+2×+4×+8×=2．
答：该人得分的期望为2分．
（文科）（I）家具城恰好返还给该顾客现金200元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖．
．
（II）设家具城至少返还给该顾客现金200元为事件A，这位顾客的三张奖券有且只有一张中奖为事件，这位顾客有且只有两张中奖为事件，这位顾客有且只有三张中奖为事件 ，则，、、是互斥事件．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
．　　　　　
19．(I)取AB的中点M，连FM、MC．
∵ F、M分别是BE、BA的中点，
∴ FM∥EA, FM=EA．
∵ EA、CD都垂直于平面ABC，
∴ CD∥EA，
∴ CD∥FM．
又 DC=a，∴ FM=DC，∴四边形FMCD是平行四边形．
∴ FD∥MC，FD∥平面ABC．
（II）因为M是AB的中点，△ABC是正三角形，
所以CM⊥AB．
又因为CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF．
因为F是BE的中点，EA=AB，所以AF⊥EB．
20．（理科）（I） 由得,
所以,数列是等差数列.
(II)而,所以,
,所以,
, 所以 .
.
当时,,
当时,.
所以，　　　　
（III）不存在这样的自然数．
如果存在必定,而在时是递增的,而时,, 时, ,所以不存在这样的自然数.
（文科）（I）求导数，得．
由题设可知是的根，．
（II）由有三个相异实根，故方程有两个相异实根，　　　　　　　　
所以，．
故的取值范围是．
21．（I）∵　斜率 存在，不妨设 ＞0，求出 （， ）；
直线 方程为，
直线 方程 ．
　　分别与椭圆方程联立，可解出，，
∴　，
∴　．
（II）设直线AB方程为，与联立，消去y，得
．　　　　　　　　　　　　
由?>?得-4＜ ＜4，且 ≠0，点 到 的距离为．
．
设△的面积为S，所以
．
当时，得．
22．（理科）（Ⅰ）
∴由=0，得x=1．
当x变化时，、的变化如下表：
x
（0，1）
1
（1，+）
+
0
－
↗
极大
↘
又的最大值为p－1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
设
∴
将
（文科）（I）∵n≥2时，3Sn－4，an，2－总成等差数列，
∴，
即　，　　　　　
∴　．
两式相减，得?，．
∴a2，a3，…an，…成等比数列．
∵a1=2 当n =2时，a2= ，
∴a1，a2，a3，…an，…成等比数列，
∴an=2．
（II）由（I）得 ，
∴　
．
∵ ，
∴ ．