2023-2024学年人教版八年级数学下册第十七章 勾股定理 单元同步检测试题（含答案）

第十七章《勾股定理》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A． B．、、 C．、、 D．、、
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠C＝∠A﹣∠B
3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．64
4. 若的三边，，满足，则是
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
5．如图，在中，，平分交于点，若，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是( ).
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在中，，，，若设，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，则两船相距（ ）
A．17海里 B．18海里 C．19海里 D．20海里
9．如图，在中，是边上的中线，将沿着翻折，点的对称点为．已知，，那么点与点之间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．4
10．如图，在等边中，点A、C分别在x轴、y轴上，，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为　 　cm2．
12．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　 　米．
13．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 　 　．
14．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是　 　．
15．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为　 　．
16．如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积为225和144，则正方形A的面积为　 　．
17．现将一支长20cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个长和宽分别为8cm，6cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为　 　cm．
18．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　 　尺．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．在中，已知的度数之比是，，求的长．
20．已知：如图，ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CECD，连接DE．
（1）证明：BDE是等腰三角形；
（2）若AB＝2，求DE的长度．
21、如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．
22．如图，在长方形中，点在边上，把长方形沿直线折叠，点落在边上的点处。若.
（1）求的长；
（2） 求的面积。
23．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米35元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
24．如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树AE，活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆之间的距离．
参考答案
一.选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D C A D A D A
二.填空题:
11．解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
12．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝4，
∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4＝7米．
故答案为7．
13．解：∵CD＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13cm，
露出杯口外的长度为＝14﹣13＝1cm．
故答案为：1cm．
14．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是　18m　．
【分析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为＝13m，
所以旗杆折断之前高度为13m+5m＝18m．
故答案为18m．
15．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为　32或42　．
【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出CD的长度，由BC＝BD+CD或BC＝BD﹣CD可求出BC的长度，再将三角形三边长度相加即可得出△ABC的周长．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝＝9；
在Rt△ACD中，CD＝＝5，
∴BC＝BD+CD＝14或BC＝BD﹣CD＝4，
∴C△ABC＝AB+BC+AC＝15+14+13＝42或C△ABC＝AB+BC+AC＝15+4+13＝32．
故答案为：32或42．
16．如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积为225和144，则正方形A的面积为　81　．
【分析】根据正方形可以计算斜边和一条直角边，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来．
【解答】解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝225，BC2＝144，
∴BD2＝CD2﹣BC2＝81，
∴正方形A的面积为81，
故答案为：81．
17．解：由题意可得，
底面长方形的对角线长为：＝10（cm），
故水槽中的水深至少为：＝10（cm），
故答案为：10．
18．解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：
x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
三.解答题:
19.解：
∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝30°，∠C＝90°，即△ABC是直角三角形．
∴．
∴ .
即线段AC的长度是．
20.（1）证明：为等边三角形，
，
，
，
，
∵BD为中线
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：∵BD为中线
，，
，
在中，由勾股定理得：,
．
21、（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.
（2）解：S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=×10×24﹣×8×6=96．
22．（1）；（2）
23．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米35元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积，也可得出需要的费用．
【解答】解：连接AC，
则由勾股定理得AC＝5m，
∵AC2+DC2＝AD2，
∴∠ACD＝90°．
这块草坪的面积＝SRt△ABC+SRt△ACD＝AB BC+AC DC＝（3×4+5×12）＝36m2．
故需要的费用为36×35＝1260元．
答：铺满这块空地共需花费1260元．
24．如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树AE，活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆之间的距离．
【分析】根据题意可得：AE＝3m，AB＝20m，BD＝13m，由于CE2＝CD2，根据勾股定理得到方程求解即可．
【解答】解：根据题意可得：AE＝3m，AB＝20m，BD＝13m．
如图，设该位置为点C，且AC＝xm．
由AC＝xm得：BC＝（20﹣x）m （1分）
由题意得：CE＝CD，则CE2＝CD2，
∴32+x2＝（20﹣x）2+132，
解得：x＝14，
∴CB＝20﹣x＝6，
由0＜14＜20可知，该位置是存在的．
答：该位置与旗杆之间的距离为6米．