导数专题-利用函数的极值求参数 学案

导数专题-利用函数的极值求参数
题型1 利用函数的极值求参数的值
已知函数极值点或极值求参数的值有两个关键点：
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
【例1】若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a的值为________．
【答案】5
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，
解得a＝5.
【变式1-1】若函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处取得极小值，则a＝________.
【答案】2
【解析】f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x，∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2.
由f′(2)＝12－8a＋a2＝0，解得a＝2或a＝6.
当a＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，函数在x＝2处取得极小值，符合；
当a＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，函数在x＝2处取得极大值，不符合，∴a＝2.
【变式1-2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )
A．11或18 B．11 C．18 D．17或18
【答案】C
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴
或.经检验符合题意，
∴f(2)＝23＋4×4＋2×(－11)＋16＝18.
【变式1-3】已知函数f(x)＝cos x＋aln x在x＝处取得极值，则a＝
【答案】
【解析】∵f(x)＝cos x＋aln x，∴f′(x)＝－sin x＋.
∵f(x)在x＝处取得极值，∴f′＝－＋＝0，解得a＝，经检验符合题意.
【变式1-4】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－
【答案】A
【解析】由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，
即解得或
经检验满足题意，故＝－.
【变式1-5】已知函数在处有极小值，且极小值为，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】．因为在处有极小值，且极小值为，
所以，即，解得或．
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
在处有极小值．
当时，，则在上单调递增，无极值．
【变式1-6】已知函数f(x)＝ln x－ax存在极大值0，则a的值为
【答案】
【解析】∵f′(x)＝－a，x>0，
当a≤0时，f′(x)＝－a>0恒成立，函数f(x)单调递增，不存在最大值；
当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝；
当00，函数单调递增，当x>时，f′(x)<0，函数单调递减，
∴f(x)max＝f＝ln －1＝0，解得a＝.
【变式1-7】设函数，若的极小值为，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由已知得：，
令，有，且上递减，上递增，
∴的极小值为，即，得.故选：B.
题型2 利用函数的极值求参数范围
根据函数极值求参数范围问题主要转化为函数的零点问题。
从极值的定义出发，极值点的个数问题与导函数的零点个数问题关系密切，但需要注意极值点个数与导函数零点个数之间并不是充分必要条件。
主要使用的方法有：二次函数根的分布、分离参数法、分类讨论法。
类型1 单极值点型
【例2】函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为( )
A．(1,5) B．[1,5) C．(1,5] D．(－∞，1)∪(5，＋∞)
【答案】B
【解析】由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，则f′(－1)f′(1)＜0，
即(1－a)(5－a)＜0，解得1＜a＜5.
当a＝1时，函数f(x)＝x3＋x2－x－4在区间(－1,1)恰有一个极值点，
当a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1,1)没有一个极值点，故选B.
【变式2-1】函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
函数在上有且仅有一个极值点，
在上只有一个变号零点.令，得.
设在单调递减，在上单调递增，，
又，得当，在上只有一个变号零点.故选：B.
【变式2-2】已知a∈R，若f(x)＝ex在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a的取值范围是( )
A．a＜0 B．a＞0 C．a≤1 D．a≥0
【答案】B
【解析】f′(x)＝(ax2＋x－1)，若f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，
则f′(x)＝0在(0,1)上有且只有一个零点，显然＞0，
问题转化为g(x)＝ax2＋x－1在(0,1)上有且只有一个零点，
故g(0)·g(1)＜0，即解得：a＞0，故选B.
【变式2-3】若函数f(x)＝(x2＋ax＋3)ex在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2) C．(－∞，－3] D．(－∞，－3)
【答案】C
【解析】f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋3)ex＝[x2＋(a＋2)x＋a＋3]ex.令g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋3，
由题意知或即或
解得a≤－3，故选C．
【变式2-4】已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．（0，2] D．[2，+∞）
【答案】A
【解析】∵函数f（x）的定义域是（0，+∞），
∴f′（x）k，
∵x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点，
∴x＝2是导函数f′（x）＝0的唯一根，
∴ex﹣kx2＝0在（0，+∞）无变号零点，即k在x＞0上无变号零点，令g（x），
因为g'（x），
所以g（x）在（0，2）上单调递减，在x＞2 上单调递增，
所以g（x）的最小值为g（2），所以必须k，故选：A．
类型2 多极值点型
【例3】设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2【答案】(2,6)
【解析】由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2【变式3-1】已知函数有两个不同的极值点，则满足条件的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，定义域为，
则
因为函数有两个不同的极值点
所以有两个不同的正实数根，
则有，解得所以满足条件的取值范围为故选：D.
【变式3-2】已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D． (0，＋∞)
【答案】B
【解析】∵f(x)＝x(ln x－ax)，∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，故f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，
令f′(x)＝0，则2a＝，设g(x)＝，则g′(x)＝，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x→0时，g(x)→－∞，
当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，∴只需0<2a<1 0【变式3-3】式若函数f(x)＝xln x－x2－x＋1有两个极值点，则a的取值范围为________．
【答案】(2,6)
【解析】因为f(x)＝xln x－x2－x＋1(x>0)，所以f′(x)＝ln x－ax，f″(x)＝－a＝0，
得f′(x)有极大值点x＝，由于x→0时f′(x)→－∞；当x→＋∞时，f′(x)→－∞，
因此原函数要有两个极值点，只要f′＝ln－1>0，解得0【变式3-4】已知函数f（x）x3ax2+x在区间（，3）上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（2，） D．（2，）
【答案】C
【解析】函数f（x）x3ax2+x，求导f′（x）＝x2﹣ax+1，
由f（x）在（，3）上既有极大值又有极小值，则f′（x）＝0在（，3）内应有两个不同实数根．
，解得：2＜a，实数a的取值范围（2，），
类型3 存在极值点型
【例4】若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________．
【答案】
【解析】f′(x)＝3x2－4cx＋1，由f′(x)＝0有两个不同的根，可得Δ＝(－4c)2－12>0，∴c>或c<－.
【变式4-1】若f(x)＝ax3＋3x＋2无极值，则a的范围是________．
【答案】
【解析】f′(x)＝3ax2＋3，
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，f(x)无极值．
当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝± .
易知－和 分别是f(x)的极小值点和极大值点．综上知a的范围是[0，＋∞).
【变式4-2】若函数f（x）＝x3﹣3bx+b在区间（0，1）内有极小值，则b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣1，0）
【答案】
【解析】由题意，得f′（x）＝3x2﹣3b，
令f′（x）＝0，则x＝±，
∵函数在（，）上f′（x）＜0，函数递减，在（，+∞）上f′（x）＞0，函数递增
∴x时，函数取得极小值
∵函数f（x）＝x3﹣3bx+b在区间（0，1）内有极小值，
∴01，
∴b∈（0，1）
【变式4-3】已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上有极值，则t的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x＋4－＝，
令f′(x)＝0得x＝1或x＝3，经检验知x＝1或x＝3是函数f(x)的两个极值点，
由题意知，t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，解得0＜t＜1或2＜t＜3.
【变式4-4】若函数f（x）x2+x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（2，） B．[2，） C．（2，） D．[2，）
【答案】C
【解析】∵函数f（x）x2+x+1，
∴f′（x）＝x2﹣ax+1，
若函数f（x）x2+x+1在区间（，3）上有极值点，
则f′（x）＝x2﹣ax+1在区间（，3）内有零点
由x2﹣ax+1＝0可得a＝x
∵x∈（，3），∴2≤a，
当a＝2时，函数f（x）的导函数等于零时值只有1，可是两边的单调性相同，所以a不能等于2．
【变式4-5】函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，，
因函数在内有极值，则时，有解，
即在时，函数与直线y=a有公共点，
而，即在上单调递减，，则，
显然在零点左右两侧异号，所以实数的取值范围是.故选：C
【变式4-6】设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则( )
A．a<－1 B．a>－1 C．a>－ D．a<－
【答案】A
【解析】因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a，又函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程
y′＝ex＋a＝0有大于零的解，当x>0时，－ex<－1，所以a＝－ex<－1.故选A.
【课后练习】
1．若函数f（x）＝（x2+ax+3）ex在（0，+∞）内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣3） D．（﹣∞，﹣3]
【答案】D
【解析】函数的导数f′（x）＝（2x+a）ex+（x2+ax+3）ex＝[x2+（a+2）x+a+3]ex，
若函数f（x）＝（x2+ax+3）ex在（0，+∞）内有且仅有一个极值点，
等价为f′（x）＝0在[0，+∞）上只要一个变号根，
即f′（0）＜0，即可此时a+3＜0，得a＜﹣3，
当a＝﹣3时，f′（x）＝（x2﹣x）ex，
由f（x）＝0得x＝0或x＝1，即x＝1是函数的一个极值点，满足条件，综上a≤﹣3，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]，
2、已知函数有三个极值点，则a的取范围是（ ）
A．（0，e） B． C．（e，+∞） D．
【答案】函数的导数f′（x）＝ex+xex﹣ax2﹣ax，
若函数有三个极值点，
等价为f′（x）＝ex+xex﹣ax2﹣ax＝0有三个不同的实根，
即（1+x）ex﹣ax（x+1）＝0，即（x+1）（ex﹣ax）＝0，
则x＝﹣1，则ex﹣ax＝0，有两个不等于﹣1的根，则a，
设h（x），则h′（x），
则由h′（x）＞0得x＞1，由h′（x）＜0得x＜1且x≠0，
则当x＝1时，h（x）取得极小值h（1）＝e，
当x＜0时，h（x）＜0，
作出函数h（x），的图象如图，
要使a有两个不同的根，则满足a＞e，即实数a的取值范围是（e，+∞），
3、已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或
【答案】B
【解析】由题意得：，因为在x=1处取得极大值，
所以，解得或，
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去，
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以在处取得极大值，故满足题意，综上.
4、已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．4 B．11 C．4或11 D．3或9
【答案】B
【解析】因为，由题有，即，
解得或，检验：当时，不合题意，舍掉；
当'时，，令，得或；
令得.
所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，
则.
5、已知f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若f（t）＝g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（ ）
A．（ln2，1） B．（，ln2） C．（，） D．（，）
【答案】B
【解析】令f（t）＝g（s）＝a，即et＝lns＝a＞0，
∴t＝lna，s＝ea，
∴s﹣t＝ea﹣lna，（a＞0），
令h（a）＝ea﹣lna，h′（a）＝ea
∵y＝ea递增，y递减，
故存在唯一a＝a0使得h′（a）＝0，
0＜a＜a0时，ea，h′（a）＜0，
a＞a0时，ea，h′（a）＞0，
∴h（a）min＝h（a0），即s﹣t取最小值时，f（t）＝a＝a0，
由零点存在定理验证0的根的范围：
a0时，0，
a0＝ln2时，0，故a0∈（，ln2），
6、已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax+a（a＞0）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），则f（x1）+f（x2）的最大值为（ ）
A．﹣1﹣ln2 B．1﹣ln2 C．2﹣ln2 D．3﹣ln2
【答案】D
【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）2x﹣a，
由题意可知2x2﹣ax+1＝0在（0，+∞）上有两个不同的解x1，x2，
所以x1+x2，x1x2，且，解得a＞2，
所以f（x1）+f（x2）＝lnx1+x12﹣ax1+a+lnx2+x22﹣ax2+a，
＝ln（x1x2）+x12+x22﹣a（x1+x2）+2a2a﹣ln2﹣1（a﹣4）2+3﹣ln2≤3﹣ln2，
当a＝4时，等号成立，故f（x1）+f（x2）的最大值为3﹣ln2．
7、已知函数，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）
①当a＝0时，f′（x），∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a≠0时，令f′（x）＝0得ax2+x+1＝0，△＝1﹣4a．
（ⅰ）当△≤0，即时，f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
（ⅱ）当△＞0，即时，方程ax2+x+1＝0的两个实根分别为 ，．
若，则x1＜0，x2＜0，此时，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增若a＜0，则x1＞0，x2＜0，
此时，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0f（x）单调递减，
综上，当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；
当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
（2）由（1）得当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）无极值；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；
则f（x）有极大值，其值为，其中．
而，
∴，
设函数h（x）＝lnx，x＞0，则h′（x）0，
则h（x）＝lnx在（0，+∞）上为增函数．
又h（1）＝0，故h（x）＞0等价于x＞1．
因而0等价于x1＞1．
即在a＜0时，方程ax2+x+1＝0的大根大于1，
设 （x）＝ax2+x+1，由于 （x）的图象是开口向下的抛物线，
且经过点（0，1），对称轴，则只需 （1）＞0，即a+2＞0
解得a＞﹣2，而a＜0，
故实数a的取值范围为（﹣2，0）