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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
16.2 分式方程解的情况专练（增根、无解等）（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知关于 的方程 有增根，求的值．
2．（八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x的分式方程的解是非负数，求m的取值范围．
3．（八年级上·山东威海·期末）已知是关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程的解为正数，求的取值范围．
4．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程．
(1)若，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求的值．
5．（八年级上·江西宜春·期末）已知关于的分式方程．
(1)若这个方程的解是正数，请求出取值范围；
(2)若这个方程无解，请你直接写出的值．
6．（八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值．
7．（八年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围．
8．（八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的分式方程
(1)若分式方程有增根，求m的值；
(2)若分式方程的解是负数，求m的取值范围．
9．（八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的分式方程 ．
(1)若方程的增根为，求a的值；
(2)若方程无解，求a的值．
10．（八年级上·河北保定·期中）已知关于的方程．
(1)当时，求该方程的解；
(2)若方程有增根，求的值．
11．（八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）已知关于x的分式方程．
①当时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
（2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．
12．（七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知
(1)若该方程有增根，求a的取值
(2)若该方程的解为正数，求a的取值
13．（八年级下·四川达州·期末）若关于的分式方程的解为负数，求的取值范围．
14．（八年级上·安徽芜湖·期末）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
15．（八年级下·四川成都·阶段练习）已知不等式组的解集为，且关于y的方程的解为正数，求m的取值范围．
16．（八年级上·山西朔州·期末）已知关于x的方程
(1)当时，求方程的解；
(2)当m取何值时，此方程无解；
(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
17．（2022八年级上·全国·专题练习）若关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解，求所有的整数m的和.
18．（八年级上·湖北鄂州·期末）若关于x的方程无解，求 m 的值．
19．（八年级上·广东广州·期末）已知关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
20．（2022八年级上·全国·专题练习）（1）a为何值时，关于x的分式方程的解为．
（2）当m为何值时，关于x的方程有增根．
（3）已知，求的值．
21．（八年级上·山东烟台·期中）若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围．
22．（八年级上·山东烟台·期中）关于x的分式方程
(1)若方程的增根为，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
23．（八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时分式方程无解；
(3)若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
24．（八年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于x的分式方程
(1)若解得方程有增根，且增根为x=-2，求m的值
(2)若方程无解，求m的值
25．（八年级下·四川资阳·阶段练习）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．
26．（2021·湖北荆州·一模）若关于的一元一次不等式组的解集是，求关于的分式方程的非负整数解．
27．（八年级上·广东惠州·期末）已知：．
（1）化简A；
（2）若点与点关于y轴对称，求A的值；
（3）关于x的方程的解为正数，求k的取值范围．
28．（2021九年级·全国·专题练习）若关于x的分式方程有任意解，试求的值．
29．（八年级上·山东青岛·期中）已知关于x的方程．
（1）m取何值时，方程的解为x＝4；
（2）m取何值时，方程有增根．
30．（八年级下·山西·阶段练习）阅读下列材料，解答后面的问题：
若关于x的方程的根大于0，求a的取值范围．
解：去分母，得，∴，∵，∴，∴．
又∵,即, ∴，，
∴a的取值范围是a＞ 2且．
问题：若方程的根是负数，试求a的取值范围．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
16.2 分式方程解的情况专练（增根、无解等）（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知关于 的方程 有增根，求的值．
【答案】或
【详解】解：，
去分母，得：，
整理，得：；
∵方程有增根，
∴，
∴或；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上：或．
2．（八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x的分式方程的解是非负数，求m的取值范围．
【答案】且
【详解】解：将分式方程两边同乘以，得，
解得：．
∵方程的解是非负数，
∴，
解得；
又∵，即，
∴，
综上m的取值范围为且．
3．（八年级上·山东威海·期末）已知是关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程的解为正数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【详解】（1）解：原方程为，
解得，
检验：当时，．
∴是原方程的根；
（2）解：解分式方程得，
∵分式方程的解是正数，
∴且，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围是：且．
4．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程．
(1)若，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求的值．
【答案】(1)
(2)或4
【详解】（1）解：当时，原方程为，
方程两边同时乘以得：，
解这个方程得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解.
（2）
方程两边同时乘以得：，
原方程有增根，则或，
即或，代入整式方程得或
解得或4.
5．（八年级上·江西宜春·期末）已知关于的分式方程．
(1)若这个方程的解是正数，请求出取值范围；
(2)若这个方程无解，请你直接写出的值．
【答案】(1)且；
(2)或或．
【详解】（1）解：方程两边同乘以
得：，
解得：
由题意得：
且；
（2）由（1）得：，
由题意得：或，
解得：或或，
故答案为：3或10或．
6．（八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值．
【答案】的值为
【分析】本题考查解分式方程，分式方程的同解问题，先解出后一个分式方程，再将所得解代入前一个方程即可得解．注意检验．
【详解】解：在方程的两边同乘，可得：．
解得．
经检验，是方程的解．
把代入方程，得：．
解得．
经检验，是方程的解．
∴的值为．
7．（八年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围．
【答案】且
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
解得，
关于的分式方程的解为正数，
，
解得：且，
即实数的取值范围为且．
8．（八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的分式方程
(1)若分式方程有增根，求m的值；
(2)若分式方程的解是负数，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方程的增根为，
原方程去分母并整理得，
将代入方程得，
解这个方程得，
故m的值为7．
（2）由（1）得
解这个方程得
∵方程的解是负数
∴，
解不等式得，
∴当时，分式方程的解是负数．
9．（八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的分式方程 ．
(1)若方程的增根为，求a的值；
(2)若方程无解，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：，
去分母并整理得：，
由于方程的增根为，
，
解得；
（2）解：去分母并整理得：，
①当时，该整式方程无解，此时；
②当时，要使该整式方程无解，则，
解得或，
把代入整式方程，的值不存在，
把代入整式方程，，
综上所述，或．
10．（八年级上·河北保定·期中）已知关于的方程．
(1)当时，求该方程的解；
(2)若方程有增根，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，原方程为：，
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）
方程两边同乘，得，
解得：，
∵方程有增根，
∴当时，，即，
解得：．
11．（八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）已知关于x的分式方程．
①当时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
（2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．
【答案】（1）①；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4
【详解】解：（1）①当时，分式方程为：，
去分母得到，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根；
②，
去分母得到，
解得：，
由题意得：，
解得：，
∴，
解得：，
∴a的值为3；
（2），
去分母得到，
解得，
∵方程有整数解，
∴或且，
解得：或3或0或4且，
∴或0或4，
∴此时整数m的值为3或0或4．
12．（七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知
(1)若该方程有增根，求a的取值
(2)若该方程的解为正数，求a的取值
【答案】(1)或6
(2)且
【详解】（1）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项合并，得，
化系数为为1，得，
∵该方程有增根，
∴或，
即 或，
解得：或6；
（2）解：∵方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵当或6时，方程有增根，
∴且．
13．（八年级下·四川达州·期末）若关于的分式方程的解为负数，求的取值范围．
【答案】且
【详解】解：
去分母得：，
整理得：，
解得：，
根据题意得： ，
解得：，
又∵，
∴；
又∵
∴，
则的取值范围为且．
14．（八年级上·安徽芜湖·期末）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
【答案】1
【详解】解：，
解①得，；
解②得，，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴不等式组的解集为，整数解为：1，2，3，4；
∴，
解得，；
解分式方程得，；
∵方程的解为非负数，且
∴；即；
综上：且
∵a是整数，
∴；
∴．
15．（八年级下·四川成都·阶段练习）已知不等式组的解集为，且关于y的方程的解为正数，求m的取值范围．
【答案】且
【详解】解：不等式组，
解得，
即，
，
，，
解得：，．
分式方程为：，
去分母得：，
解得：，
解为正数，
，且．
且．
16．（八年级上·山西朔州·期末）已知关于x的方程
(1)当时，求方程的解；
(2)当m取何值时，此方程无解；
(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)且
【详解】（1）解：分式方程去分母得：，
整理得：，
（1）当时，，
解得：，
经检验：是原方程的解；
（2）解：∵分式方程无解，
∴，
∴，
当时，，
∴时该分式方程无解；
（3）解：解关于x的分式方程得：，
∵方程有解，且解为正数，
∴ ，
解得：且．
17．（2022八年级上·全国·专题练习）若关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解，求所有的整数m的和.
【答案】
【详解】解：整理不等式组，得，
不等式组有解，
不等式组的解集为，
即，
解得．
化简分式方程，得，
解得，
由题意知，分式方程有意义，
，
，即，
分式方程有非负整数解，
是3的非负整数倍，
或3
m=-5或，
所有的整数的和为．
18．（八年级上·湖北鄂州·期末）若关于x的方程无解，求 m 的值．
【答案】或或
【详解】解：方程两边同乘以，得：
，
化简得：，
当时，原方程无解，
可能的增根是或，
当时，，
当时，，
当或时，原方程无解，
m=-1.5或或时原方程无解．
19．（八年级上·广东广州·期末）已知关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
【答案】(1)
(2)且
【详解】（1）解：把代入得：
，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴原方程的解．
（2）解：，
方程两边乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵，即，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：且．
20．（2022八年级上·全国·专题练习）（1）a为何值时，关于x的分式方程的解为．
（2）当m为何值时，关于x的方程有增根．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）m为或6；（3）2
【详解】解：（1）代入方程中得：，，
解得：，
经检验：是原方程的根；
（2），
去分母，得：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
∵方程有增根，
，
当时，代入中得：
，
解得：，
当时，代入中得：
，
解得：，
∴当m为或6时，关于x的方程有增根；
（3），
，
，
解得：，
，
的值为2．
21．（八年级上·山东烟台·期中）若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围．
【答案】且
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，
∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，
∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
22．（八年级上·山东烟台·期中）关于x的分式方程
(1)若方程的增根为，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
【答案】(1)
(2)或
(3)1或或
【详解】（1）∵，
去分母得：，
移项并合并同类项，得：，
当方程的增根为时，，
∴；
（2）当方程有增根时，方程的增根为或，
当时，，
当时，，
解得：，
∴或；
（3）∵
当方程无增根，且时，方程无解，
∴得，
当方程有增根，且时，，方程无解，
当方程有增根，且时，，方程无解，
∴当或或时，方程无解．
23．（八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时分式方程无解；
(3)若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)3、29、55、185
【详解】（1）解：把，代入分式方程中，得
方程两边同时乘以，
∴，
检验：把代入≠0，
所以原分式方程的解是．
答：分式方程的解是．
（2）把代入分式方程得
方程两边同时乘以，
①当时，即，方程无解；
②当时，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，．
综上所述，或时，分式方程无解．
（3）把代入分式方程，得：
方程两边同时乘以，
整理得：
∴
，且为正整数，为整数
必为195的因数，
∵195=3×5×13
的因数有1、3、5、13、15、39、65、195
但1、3、5 小于11，不合题意，故可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解为3、5、13、15、17
由于为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，只可以取3、29、55、185
所以满足条件的可取3、29、55、185这四个数．
24．（八年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于x的分式方程
(1)若解得方程有增根，且增根为x=-2，求m的值
(2)若方程无解，求m的值
【答案】(1)
(2)或或
【详解】（1）解：
方程两边同乘 得：
移项合并同类项得：
将代入得：
解得：
（2）解：由（1）可知：
∵方程无解：
①整式方程无解：，解得：
②分式方程有增根：或x+2=0，解得：
当时：
当时：，解得：
故当或或时，方程无解．
25．（八年级下·四川资阳·阶段练习）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．
【答案】9
【详解】解：解不等式组
由①得：y<11，
由②得：y≥2a-5，
∵不等式组至少有4个整数解，即y=10，9，8，7；
∴2a-5≤7，
解得：a≤6．
解关于x的分式方程，
得：x=，
∵分式方程有正整数解，
∴a-2是8的约数，且≠4，≠0，a≠2，
解得：a=3或6或10（舍去），
所以所有满足条件的整数a的值为3，6．
那么符合条件的所有整数a的和为3+6=9．
26．（2021·湖北荆州·一模）若关于的一元一次不等式组的解集是，求关于的分式方程的非负整数解．
【答案】，2，3．
【详解】解：
不等式的解集是；
不等式的解集是x<5．
∵不等式组的解集为．
∴a<5．
原分式方程可化为．
两边都乘以（y-1）得，（2y-a）-（4-y）=y-1．
用含y的式子表示a，得，
a=2y-3．
∴2y-3<5．
解得，y<4．
∵y取非负整数且y≠1，
∴y=0，2，3．
27．（八年级上·广东惠州·期末）已知：．
（1）化简A；
（2）若点与点关于y轴对称，求A的值；
（3）关于x的方程的解为正数，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）且且．
【详解】解：（1）原式=
=
=；
（2）点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，
，
将代入原式：；
（3）∵即，
，
又∵的解为整数，
∴
∴，
又∵分式要有意义和除数不能为0，
∴，
解得且，
∴，且，
∴且
综上所述，且且．
28．（2021九年级·全国·专题练习）若关于x的分式方程有任意解，试求的值．
【答案】8．
【详解】解：去分母得：，
整理得：，
可得，即，
解得：，
则原式．
29．（八年级上·山东青岛·期中）已知关于x的方程．
（1）m取何值时，方程的解为x＝4；
（2）m取何值时，方程有增根．
【答案】（1）m＝﹣2；（2）m＝﹣3
【详解】解：（1）方程两边同乘以（x﹣3），
得：x＝2x﹣6﹣m，
m＝x﹣6，
把x＝4代入，得m＝﹣2．
答：m取﹣2时，方程的解为x＝4；
（2）∵x＝3是方程的增根，
∴把x＝3代入m＝x﹣6，
得m＝﹣3．
答：m取﹣3时，方程有增根．
30．（八年级下·山西·阶段练习）阅读下列材料，解答后面的问题：
若关于x的方程的根大于0，求a的取值范围．
解：去分母，得，∴，∵，∴，∴．
又∵,即, ∴，，
∴a的取值范围是a＞ 2且．
问题：若方程的根是负数，试求a的取值范围．
【答案】a的取值范围是且
【详解】试题分析：去分母，得，∴，∵，∴，∴，又∵，即且，∴，且，解得且，因此，a的取值范围为且．
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