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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题16.4 分式的应用专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2024·山西吕梁·一模）为全力做好2024年春运期间新能源汽车充电服务，国网山西电动汽车启动节日保障模式：24小时服务高速充电站．张师傅在某高速服务站充电时了解到以下信息：
①该服务站有数量相同的甲、乙两种型号的充电桩；
②购买甲型充电桩花费了12万元，购买乙型充电桩花费了18万元；
③已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价少万元．
求甲、乙两种型号充电桩的单价．
2．（2024·湖南常德·一模）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多元，且用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量一样．
(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍，求最多购买乒乓球拍多少副．
3．（2024·广东珠海·一模）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢，某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？
4．（八年级上·山东聊城·阶段练习）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，从一开始就安排甲乙两工程队合作，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
5．（九年级下·重庆巴南·阶段练习）小明沿着鱼洞滨江公路散步，从家到A地需要分钟，返回时，发现一条小路可以返回家，距离缩短了米，速度比原来每分钟少走了米，返回的时间缩短了3分钟．
(1)求小明沿滨江公路从家到A地走过的距离是多少？
(2)小明出发5分钟后，爸爸发现小明忘记带手机，然后沿着家到A地的滨江公路去追小明，到了A地发现小明不在，沿着原路快步回家，速度是原来的倍，结果比小明早到家2分钟，求爸爸沿滨江公路从家到A地的速度是多少？
6．（九年级下·重庆·阶段练习）不负好时光，添绿正当时，植树造林是实现天蓝、地绿、水净的重要途径．为自觉践行“绿树青山就是金山银山”的发展理念，某中学在“3.12植树节”当天组织了一批教师和学生分组进行植树活动，若每组植棵，则多出棵树；若每组植棵，则还差棵树．（用方程解决下列问题）
(1)求共需要植树多少棵？
(2)当植完一半的树时，天气预报显示可能会下雨，于是大家把植树速度提高了，结果比原计划提前了小时结束植树，求原计划每小时植树多少棵？
7．（八年级下·湖南衡阳·阶段练习）某中学初三学生在开学前去商场购进两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买款书包共花费元，购买款书包共花费元，且购买款书包数量是购买款书包数量的倍，已知购买一个款书包比购买一个A款书包多花元．
(1)求购买一个款书包、一个款书包各需多少元？
(2)为调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了两款书包，每款书包不少于个，总花费恰好为元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，款书包销售单价比第一次购买时提高了，款书包按第一次购买时销售单价的九折出售，求此次款书包有几种购买方案．
8．（2024·重庆·一模）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料
(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框 (不计材料损耗)
9．（八年级上·河南商丘·期末）为了创建文明典范城市，某小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到A种类型的垃圾桶比B种类型的垃圾桶贵20元，用600元购买A种类型的垃圾桶数量和用500元购买B种类型的垃圾桶数量相同．
(1)求购买一个A种类型的垃圾桶和购买一个B种类型的垃圾桶各需要多少元？
(2)若该小区计划共采购8个分类垃圾桶（两种都买），且总费用低于880元，请列出所有的购买方案．
10．（九年级下·重庆北碚·阶段练习）清明节传承了中华文明的祭祀文化，是中华民族最隆重盛大的祭祖大节.清明节来临之际，某商家共花费4500元购买了一批艾粄和青团.已知商家购买艾粄的费用比购买青团费用的3倍少1500元.
(1)商家购买艾粄和青团各花费多少元？
(2)若每袋艾粄的进价比每袋青团的进价高5元，且购进艾粄的数量是青团数量的1.5倍，则每袋青团的进价为多少元？
11．（八年级下·四川宜宾·阶段练习）某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买锅笔的数量多8．一学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20，且购买笔记本的数量是10的倍数．
(1)请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
(2)探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
12．（2024·安徽合肥·一模）某超市购进一批商品，在销售的过程中发现商品比较畅销，准备第二次购入．第二次购进商品的单价比第一次购进的单价贵3元，已知该超市第一次用360元购进商品的件数与第二次用480元购进商品的件数相同．问该超市第一次购进商品的单价是多少元？
13．（八年级下·河南南阳·阶段练习）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．现购进蓝文化衫每件的进价比红文化衫每件的进价少5元，且用元购进蓝文化衫的数量与用元购进红文化衫的数量相同．
(1)学校购进红、蓝两种颜色的文化衫每件进价分别是多少元？
(2)若该校购进蓝文化衫的数量比红文化衫的数量的2倍少件，且购进红文化衫、蓝文化衫的总数量不少于件，则学校最少购进红文化衫多少件？
(3)在（2）的条件下，若红文化衫、蓝文化衫的售价分别是元/件和元/件，且将购进的两种文化衫全部售出后，使销售两种文化衫的总利润不高于元，那么该校购进两种文化衫的方案有多少种？
14．（2024·山西临汾·一模）太原钟楼街镌刻着千年府城繁华的历史印记，在春节期间，各地游客在老街过大年．其中印有山西地图的冰箱贴成了各地游客最喜爱的伴手礼．现有A，B两款冰箱贴．A款冰箱贴的单价比B款冰箱贴的单价少4元．且用280元购买A款冰箱贴的数量与用312元购买B款冰箱贴的数量相等．求A，B两款冰箱贴的单价．
15．（九年级下·江苏扬州·阶段练习）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A、B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A、B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
16．（八年级下·河南南阳·阶段练习）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升油价：9元/升续航里程：千米每千米行驶费用：元 新能源车电池电量：60千瓦时电价：0.6元/千瓦时续航里程：千米每千米行驶费用：元
若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
(1)分别求出这两款车的每千米行驶费用；
(2)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
17．（九年级下·重庆·阶段练习）为迎接端午节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个艾草香包，根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产400个艾草香包，甲车间单独先工作10天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产200个艾草香包．
(1)从开始加工到完成这批艾草香包一共需要多少天？
(2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产10天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的艾草香包数量之比为3∶2，且改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个艾草香包？
18．（八年级上·湖北武汉·期末）武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多0.8万元，
(1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？
(2)甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？
(3)甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过52万元，且乙工程队的施工天数大于6天，直接写出甲工程队施工天数．（天数为整数）
19．（八年级下·上海闵行·期中）今年“子弹头”新型高速列车投入沪杭线运行，已知上海到杭州全程约为公里，如果“子弹头”列车行驶的平均速度比原来特快列车行驶的平均速度每分钟快公里，那么它从上海到杭州比原来特快列车少用分钟，问“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要多少分钟？
20．（九年级下·江苏宿迁·阶段练习）某市为了解决居民用水问题，计划将该市自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的2倍．若由甲、乙队先合做10天，则余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？
21．（2024八年级下·全国·专题练习）为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对两类科研项目投资研发．已知研发1个类科研项目比研发1个类科研项目少投资25万元，且投资400万元研发类科研项目的个数与投资500万元研发类科研项目的个数相同．
(1)研发一个类科研项目所需的资金是多少万元？
(2)该公司今年计划投资研发两类科研项目共40个，且该公司投入研发两类科研项目的总资金不超过4400万元，则该公司投资研发类科研项目至少是多少个？
22．（2024·湖南长沙·一模）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵8元，且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．
(1)求A，B两种文具的单价；
(2)若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过2080元，则年级组至少购买B种文具多少件？
23．（2024·黑龙江大庆·一模）从年到年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列．年某“G”次等级列车行驶的里程，它的平均速度是年普通“Z”等级列车的倍，所用的时间比年普通“Z”等级列车少2小时．求某次“G”等级列车2024年的平均速度．
24．（2024·山西大同·一模）某电器商场经过市场调查发现某品牌甲、乙两种节能冰箱深受消费者喜欢，电器商场决定购进这两种节能冰箱销售．已知甲种节能冰箱的进价比乙种节能冰箱的进价贵2400元，分别用3.6万元购进这两种节能冰箱时，甲种节能冰箱的数量是乙种节能冰箱数量的．
(1)求甲、乙两种节能冰箱的进价分别是多少；
(2)该电器商场准备用20万元购进甲、乙两种节能冰箱共40台，求最多购进甲种节能冰箱多少台．
25．（2024·山西朔州·一模）在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸福感”成为了某镇政府的核心任务．2023年，该镇主要的两种作物总产量如表：
类别 小麦 大豆
总产量/万公斤 1440 270
通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000亩．
(1)求小麦的种植面积．
(2)为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜，要求改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一．求改种蔬菜的土地的最大面积．
26．（2024·云南昆明·模拟预测）昆明“南博会”期间，某商铺经营某种旅游纪念品．该商铺第一次批发购进该纪念品共花费3000元，很快全部售完接着，该商铺第二次批发购进该纪念品共花费9000元．已知第二次所购进该纪念品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次的进价比第一次的进价提高了．求第一次购进该纪念品的进价是多少元？
27．（八年级上·黑龙江牡丹江·期末）学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，计划用600元购买图书，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
(1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
(3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数．
28．（2023·广西南宁·二模）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人．
(1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人；
(2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问：
①A、B两种游船每艘分别有多少个座位；
②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案．
29．（八年级上·广西贺州·期末）某校为响应政府号召，准备购买甲，乙两种型号的分类垃圾桶．购买时发现，甲种型号的单价比乙种型号的单价少50元，用3000元购买甲种垃圾桶的个数与用3300元购买乙种垃圾桶的个数相同．
(1)求甲、乙两种型号垃圾桶的单价各是多少元？
(2)若某校需要购买分类垃圾桶6个，总费用不超过3100元，求所有不同的购买方式．
30．（2024·贵州·一模）为了加强劳动教育，落实五育并举，贵阳市某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地，计划来年将基地内的土地全部种植甲、乙两种蔬菜，每平方米的乙种蔬菜的种植成本比甲种蔬菜多20元．设每平方米的甲种蔬菜的种植成本是x元，解答下列问题：
(1)每平方米的乙种蔬菜的种植成本是 元；（用含x的式子表示）
(2)经测算，当种植甲种蔬菜的总成本是3000元，种植乙种蔬菜的总成本是7500元时，甲种蔬菜的种植面积为乙种蔬菜的，求每平方米的乙种蔬菜的种植成本．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题16.4 分式的应用专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2024·山西吕梁·一模）为全力做好2024年春运期间新能源汽车充电服务，国网山西电动汽车启动节日保障模式：24小时服务高速充电站．张师傅在某高速服务站充电时了解到以下信息：
①该服务站有数量相同的甲、乙两种型号的充电桩；
②购买甲型充电桩花费了12万元，购买乙型充电桩花费了18万元；
③已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价少万元．
求甲、乙两种型号充电桩的单价．
【答案】甲型充电桩的单价为0.8万元，则乙型充电桩的单价为万元.
【详解】解：设乙型充电桩的单价为万元，则甲型充电桩的单价为万元.
由由题意得：
解得
经检验：是原分式方程的解，.
答：甲型充电桩的单价为0.8万元，则乙型充电桩的单价为万元.
2．（2024·湖南常德·一模）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多元，且用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量一样．
(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍，求最多购买乒乓球拍多少副．
【答案】(1)每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元
(2)最多购买乒乓球拍副
【详解】（1）解：设每副乒乓球拍的价格是元，则每副羽毛球拍的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴（元）．
答：每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元；
（2）设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为．
答：最多购买乒乓球拍副．
3．（2024·广东珠海·一模）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢，某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？
【答案】第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元
【详解】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是x元，则第二次购进该“龙辰辰”玩具每件的进价是元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元．
4．（八年级上·山东聊城·阶段练习）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，从一开始就安排甲乙两工程队合作，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；
(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元，理由见解析．
【详解】（1）设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天．根据题意，得 ．
解得．
经检验，是原方程的根．
．
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要天，
则有．
解得．
需要施工费用：（万元）．
．
工程预算的施工费用不够用，需追加预算万元．
5．（九年级下·重庆巴南·阶段练习）小明沿着鱼洞滨江公路散步，从家到A地需要分钟，返回时，发现一条小路可以返回家，距离缩短了米，速度比原来每分钟少走了米，返回的时间缩短了3分钟．
(1)求小明沿滨江公路从家到A地走过的距离是多少？
(2)小明出发5分钟后，爸爸发现小明忘记带手机，然后沿着家到A地的滨江公路去追小明，到了A地发现小明不在，沿着原路快步回家，速度是原来的倍，结果比小明早到家2分钟，求爸爸沿滨江公路从家到A地的速度是多少？
【答案】(1)米
(2)米/分
【详解】（1）解：设滨江公路从家到A地走过的距离是米，
由题意可得：，
解得，
答：设滨江公路从家到A地走过的距离是米；
（2）解：设爸爸沿滨江公路从家到A地的速度为米/分，
由题意可得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
答：爸爸沿滨江公路从家到A地的速度为米/分．
6．（九年级下·重庆·阶段练习）不负好时光，添绿正当时，植树造林是实现天蓝、地绿、水净的重要途径．为自觉践行“绿树青山就是金山银山”的发展理念，某中学在“3.12植树节”当天组织了一批教师和学生分组进行植树活动，若每组植棵，则多出棵树；若每组植棵，则还差棵树．（用方程解决下列问题）
(1)求共需要植树多少棵？
(2)当植完一半的树时，天气预报显示可能会下雨，于是大家把植树速度提高了，结果比原计划提前了小时结束植树，求原计划每小时植树多少棵？
【答案】(1)共需要植树棵
(2)原计划每小时植树棵
【详解】（1）解：设一共有组，
根据题意得：
解得：，
，
答：共需要植树棵；
（2）设原计划每小时植树棵，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：原计划每小时植树棵．
7．（八年级下·湖南衡阳·阶段练习）某中学初三学生在开学前去商场购进两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买款书包共花费元，购买款书包共花费元，且购买款书包数量是购买款书包数量的倍，已知购买一个款书包比购买一个A款书包多花元．
(1)求购买一个款书包、一个款书包各需多少元？
(2)为调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了两款书包，每款书包不少于个，总花费恰好为元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，款书包销售单价比第一次购买时提高了，款书包按第一次购买时销售单价的九折出售，求此次款书包有几种购买方案．
【答案】(1)购买一个A款书包需要50元，购买一个B款书包需要80元
(2)此次A款书包有三种购买方案
【详解】（1）解：设款书包有个，则款书包有个，根据题意列方程得，
解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴款书包有（个），款书包有个，
∴，，
∴购买一个款书包需要元，购买一个款书包需要元；
（2）解：设购买个款书包，个款书包，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴能被整除，
∴或或，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴此次款书包有三种购买方案．
8．（2024·重庆·一模）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料
(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框 (不计材料损耗)
【答案】(1)制作甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米
(2)应安排米材料制作甲种边框
【详解】（1）解：设制作一个乙种边框需用材料米，则制作一个甲种边框需用材料米，
由题意得：
解得：，
经检验是原分式方程的解，
当时，，
答：制作一个甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米；
（2）设应安排米材料制作甲种边框，由题意得：
解得：，
答：应安排米材料制作甲种边框．
9．（八年级上·河南商丘·期末）为了创建文明典范城市，某小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到A种类型的垃圾桶比B种类型的垃圾桶贵20元，用600元购买A种类型的垃圾桶数量和用500元购买B种类型的垃圾桶数量相同．
(1)求购买一个A种类型的垃圾桶和购买一个B种类型的垃圾桶各需要多少元？
(2)若该小区计划共采购8个分类垃圾桶（两种都买），且总费用低于880元，请列出所有的购买方案．
【答案】(1)购买一个A种类型的垃圾桶需要120元，购买一个B种类型的垃圾桶需要100元
(2)共有3种购买方案，详见解析
【详解】（1）解：设购买一个B种类型的垃圾桶需要x元，则购买一个A种类型的垃圾桶需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：购买一个A种类型的垃圾桶需要120元，购买一个B种类型的垃圾桶需要100元．
（2）解：设该小区购买m个A种类型的垃圾桶，则购买个B种类型的垃圾桶，
依题意得：，
解得：，
又∵m，均为正整数，
∴m可以为1，2，3，
∴该小区共有3种购买方案，
方案1：购买1个A种类型的垃圾桶，7个B种类型的垃圾桶；
方案2：购买2个A种类型的垃圾桶，6个B种类型的垃圾桶；
方案3：购买3个A种类型的垃圾桶，5个B种类型的垃圾桶
10．（九年级下·重庆北碚·阶段练习）清明节传承了中华文明的祭祀文化，是中华民族最隆重盛大的祭祖大节.清明节来临之际，某商家共花费4500元购买了一批艾粄和青团.已知商家购买艾粄的费用比购买青团费用的3倍少1500元.
(1)商家购买艾粄和青团各花费多少元？
(2)若每袋艾粄的进价比每袋青团的进价高5元，且购进艾粄的数量是青团数量的1.5倍，则每袋青团的进价为多少元？
【答案】(1)购买青团费用为元，则购买艾粄的费用为元；
(2)元.
【详解】（1）解：设购买青团费用为x元，则购买艾粄的费用为元，
，
解得，
则，
答：购买青团费用为元，则购买艾粄的费用为元；
（2）设每袋青团的进价为x元，则每袋艾粄的进价为元，
则
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意，
答；每袋青团的进价为元.
11．（八年级下·四川宜宾·阶段练习）某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买锅笔的数量多8．一学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20，且购买笔记本的数量是10的倍数．
(1)请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
(2)探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
【答案】(1)笔记本的单价为5元/本，钢笔的单价为10元/支
(2)见解析
【详解】（1）设笔记本的单价为元本，则钢笔的单价为元本．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
此时．
答：笔记本的单价为5元/本，钢笔的单价为10元/支．
（2）设购买钢笔支，笔记本本．根据题意，得
，
化简得．
由题意，得，，且是10的倍数，
∴或或 ．
故有以下方案：方案一：购买钢笔30支，笔记本20本；
方案二：购买钢笔25支，笔记本30本；
方案三：购买钢笔20支，笔记本40本．
12．（2024·安徽合肥·一模）某超市购进一批商品，在销售的过程中发现商品比较畅销，准备第二次购入．第二次购进商品的单价比第一次购进的单价贵3元，已知该超市第一次用360元购进商品的件数与第二次用480元购进商品的件数相同．问该超市第一次购进商品的单价是多少元？
【答案】9元
【详解】解：设该超市第一次购进商品的单价是元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该超市第一次购进A商品的单价是9元．
13．（八年级下·河南南阳·阶段练习）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．现购进蓝文化衫每件的进价比红文化衫每件的进价少5元，且用元购进蓝文化衫的数量与用元购进红文化衫的数量相同．
(1)学校购进红、蓝两种颜色的文化衫每件进价分别是多少元？
(2)若该校购进蓝文化衫的数量比红文化衫的数量的2倍少件，且购进红文化衫、蓝文化衫的总数量不少于件，则学校最少购进红文化衫多少件？
(3)在（2）的条件下，若红文化衫、蓝文化衫的售价分别是元/件和元/件，且将购进的两种文化衫全部售出后，使销售两种文化衫的总利润不高于元，那么该校购进两种文化衫的方案有多少种？
【答案】(1)红文化衫每件的进价为元，蓝文化衫每件的进价为元；
(2)该校最少购进红文化衫件；
(3)该校购进两种文化衫的方案有种．
【详解】（1）解：设红文化衫每件的进价为x元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴（元），
答：红文化衫每件的进价为元，蓝文化衫每件的进价为元；
（2）解：设购进红文化衫m件，
根据题意，得，
解得，
答：该校最少购进红文化衫件；
（3）解：，
解得，
由（2）得，
∴，
（种），
m取得的正整数总共有种，
即该校购进两种文化衫的方案有34种．
14．（2024·山西临汾·一模）太原钟楼街镌刻着千年府城繁华的历史印记，在春节期间，各地游客在老街过大年．其中印有山西地图的冰箱贴成了各地游客最喜爱的伴手礼．现有A，B两款冰箱贴．A款冰箱贴的单价比B款冰箱贴的单价少4元．且用280元购买A款冰箱贴的数量与用312元购买B款冰箱贴的数量相等．求A，B两款冰箱贴的单价．
【答案】A款冰箱贴的单价为35元，B款冰箱贴的单价为39元
【详解】
解：设A款冰箱贴的单价为x元，则B款冰箱贴的单价为元．
根据题意，得．
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴．
答：A款冰箱贴的单价为35元，B款冰箱贴的单价为39元．
15．（九年级下·江苏扬州·阶段练习）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A、B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A、B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
【答案】(1)A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元
(2)购买16个A型充电桩、9个B型充电桩时总费用最小
【详解】（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价万元，
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，
∴．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个，
根据题意，得：，
解得：，即
∵m为整数，
∴m=．
∴该停车场有3种购买机床方案，
方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩，总费用；
方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩，总费用；
方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩，总费用．
∴购买方案三总费用最少，最少费用（万元）．
16．（八年级下·河南南阳·阶段练习）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升油价：9元/升续航里程：千米每千米行驶费用：元 新能源车电池电量：60千瓦时电价：0.6元/千瓦时续航里程：千米每千米行驶费用：元
若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
(1)分别求出这两款车的每千米行驶费用；
(2)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【答案】(1)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元
(2)当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低
【详解】（1）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）解：设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
17．（九年级下·重庆·阶段练习）为迎接端午节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个艾草香包，根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产400个艾草香包，甲车间单独先工作10天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产200个艾草香包．
(1)从开始加工到完成这批艾草香包一共需要多少天？
(2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产10天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的艾草香包数量之比为3∶2，且改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个艾草香包？
【答案】(1)天
(2)个
【详解】（1）解：设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要天．
，
解得，
答：从开始加工到完成这批布艺红包袋，一共需要天．
（2）解：设甲车间每天生产个，乙车间每天生产个布艺红包袋．
（个），
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意．
∴改进后甲每天产量：（个）．
答：改进工艺后，甲车间每天生产个布艺红包袋．
18．（八年级上·湖北武汉·期末）武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多0.8万元，
(1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？
(2)甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？
(3)甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过52万元，且乙工程队的施工天数大于6天，直接写出甲工程队施工天数．（天数为整数）
【答案】(1)甲需25天，乙需50天
(2)甲每天的施工费用为万元，乙每天的施工费用为1.2万元；
(3)20天或21天
【详解】（1）解：设单独完成此项工程，甲需工x天，则乙需2x天，
由题意得：，．
解得，
检验：当时，，原分式方程的解为，
故甲需25天，乙需50天；
（2）解：设乙每天的施工费用为y万元，则甲每天的施工费用为万元，
由题意得：，
解得，
，
故甲每天的施工费用为万元，乙每天的施工费用为1.2万元；
（3）解：设甲工程队施工天数为天，则甲工程队完成了此工程的，乙工程队完成了此工程的，
乙工程队所用时间为天，
，
解得：，
甲工程队施工天数为20天或21天．
19．（八年级下·上海闵行·期中）今年“子弹头”新型高速列车投入沪杭线运行，已知上海到杭州全程约为公里，如果“子弹头”列车行驶的平均速度比原来特快列车行驶的平均速度每分钟快公里，那么它从上海到杭州比原来特快列车少用分钟，问“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要多少分钟？
【答案】分钟
【详解】
解：设“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要小时，
由题意可得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
经检验是原方程的解，
答：“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要分钟．
20．（九年级下·江苏宿迁·阶段练习）某市为了解决居民用水问题，计划将该市自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的2倍．若由甲、乙队先合做10天，则余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？
【答案】这项工程的规定时间是20天
【详解】解：设这项工程的规定时间是天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定时间是20天．
21．（2024八年级下·全国·专题练习）为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对两类科研项目投资研发．已知研发1个类科研项目比研发1个类科研项目少投资25万元，且投资400万元研发类科研项目的个数与投资500万元研发类科研项目的个数相同．
(1)研发一个类科研项目所需的资金是多少万元？
(2)该公司今年计划投资研发两类科研项目共40个，且该公司投入研发两类科研项目的总资金不超过4400万元，则该公司投资研发类科研项目至少是多少个？
【答案】(1)研发一个类科研项目所需资金是100万元
(2)今年研发类科研项目至少24个
【详解】（1）设研发一个类科研项目所需资金为万元，则研发一个类科研项目所需资金为万元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
．
答：研发一个类科研项目所需资金是100万元．
（2）设今年研发类科研项目个，则研发类科研项目个，根据题意，
得，
解得．
答：今年研发类科研项目至少24个．
22．（2024·湖南长沙·一模）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵8元，且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．
(1)求A，B两种文具的单价；
(2)若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过2080元，则年级组至少购买B种文具多少件？
【答案】(1)A种文具的单价是24元，B种文具的单价是16元
(2)年级组至少购买B种文具40件
【详解】（1）解：设A种文具的单价为元，则B种文具的单价为元，由题意列方程，
得，
解方程，得，
经检验，是分式方程的解，
答：A种文具的单价是24元，B种文具的单价是16元；
（2）解：设学校购买B种文具件，则购买A种文具件，根据题意，得
，
解得，
答：年级组至少购买B种文具40件．
23．（2024·黑龙江大庆·一模）从年到年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列．年某“G”次等级列车行驶的里程，它的平均速度是年普通“Z”等级列车的倍，所用的时间比年普通“Z”等级列车少2小时．求某次“G”等级列车2024年的平均速度．
【答案】
【详解】解：设年普通Z等级列车的平均速度为，则年G等级列车平均速度为，
根据题意得，，
即，
解得 ，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴
答：某次G等级列车列车年的平均速度为．
24．（2024·山西大同·一模）某电器商场经过市场调查发现某品牌甲、乙两种节能冰箱深受消费者喜欢，电器商场决定购进这两种节能冰箱销售．已知甲种节能冰箱的进价比乙种节能冰箱的进价贵2400元，分别用3.6万元购进这两种节能冰箱时，甲种节能冰箱的数量是乙种节能冰箱数量的．
(1)求甲、乙两种节能冰箱的进价分别是多少；
(2)该电器商场准备用20万元购进甲、乙两种节能冰箱共40台，求最多购进甲种节能冰箱多少台．
【答案】(1)甲种节能冰箱的进价是6000元/台，乙种节能冰箱的进价是3600元/台；
(2)最多购进甲种节能冰箱23台
【详解】（1）解：设乙种节能冰箱的进价是元/台．
根据题意，得．
解，得．
经检验：是原方程的解．
．
答：甲种节能冰箱的进价是6000元/台，乙种节能冰箱的进价是3600元/台．
（2）解：设购进甲种节能冰箱台．
根据题意，得．
解，得．
∵取最大的正整数，
∴．
答：最多购进甲种节能冰箱23台．
25．（2024·山西朔州·一模）在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸福感”成为了某镇政府的核心任务．2023年，该镇主要的两种作物总产量如表：
类别 小麦 大豆
总产量/万公斤 1440 270
通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000亩．
(1)求小麦的种植面积．
(2)为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜，要求改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一．求改种蔬菜的土地的最大面积．
【答案】(1)20000亩
(2)4000亩
【详解】（1）解：设小麦的种植面积为亩，
由题意得 ，
即，
方程两边同乘，
得 ，
解得 ．
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
答：小麦的种植面积为20000亩；
（2）解：设改种蔬菜的面积为亩，
根据题意得．
解得．
答：改种蔬菜的最大面积为4000亩．
26．（2024·云南昆明·模拟预测）昆明“南博会”期间，某商铺经营某种旅游纪念品．该商铺第一次批发购进该纪念品共花费3000元，很快全部售完接着，该商铺第二次批发购进该纪念品共花费9000元．已知第二次所购进该纪念品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次的进价比第一次的进价提高了．求第一次购进该纪念品的进价是多少元？
【答案】第一次购进该纪念品的进价是元
【详解】解：设第一次购进该纪念品的进价是元，
根据题意，得，
解得．
经检验，在原方程的解，且符合题意；
答：第一次购进该纪念品的进价是元．
27．（八年级上·黑龙江牡丹江·期末）学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，计划用600元购买图书，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
(1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
(3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数．
【答案】(1)甲种图书每本30元，乙种图书每本20元；
(2)6种；
(3)30人．
【详解】（1）设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
．
答：甲种图书的单价为30元本，乙种图书的单价为20元本．
（2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
可取的值有6个．
共有6种购买方案；
（3）由题意可得：此次“首届科技节”获奖学生人数为人．
28．（2023·广西南宁·二模）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人．
(1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人；
(2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问：
①A、B两种游船每艘分别有多少个座位；
②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案．
【答案】(1)七年级教师有26人，学生有274人
(2)①A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位；②见解析
【详解】（1）解：设八年级教师有x人，学生有y人，
依题意，得：，
解得：，
∴．
答：七年级教师有26人，学生有274人；
（2）
解：①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位；
②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，
依题意，得：，
∴．
又∵a，b均为非负整数，
∴，，，，，
∴共有5种租船方案，方案1：租用13艘B型船；方案2：租用2艘A型船，10艘B型船；方案3：租用4艘A型船，7艘B型船；方案4：租用6艘A型船，4艘B型船；方案5：租用8艘A型船，1艘B型船．
29．（八年级上·广西贺州·期末）某校为响应政府号召，准备购买甲，乙两种型号的分类垃圾桶．购买时发现，甲种型号的单价比乙种型号的单价少50元，用3000元购买甲种垃圾桶的个数与用3300元购买乙种垃圾桶的个数相同．
(1)求甲、乙两种型号垃圾桶的单价各是多少元？
(2)若某校需要购买分类垃圾桶6个，总费用不超过3100元，求所有不同的购买方式．
【答案】(1)甲种垃圾桶的单价为500元，乙种垃圾桶的单价为550元
(2)共有3种购买方式：①购买甲种型号的垃圾桶4个，乙种型号的垃圾桶2个；②购买甲种型号的垃圾桶5个，乙种型号的垃圾桶1个；③购买甲种型号的垃圾桶6个，乙种型号的垃圾桶0个
【详解】（1）解：设甲种垃圾桶单价为元，则乙种垃圾桶单价为元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是所列方程的根，
则．
答：甲种垃圾桶的单价为500元，乙种垃圾桶的单价为550元；
（2）解：设购买甲种垃圾桶个，则购买乙种垃圾桶个，
根据题意得：，
解得：．
是正整数，
当时，；
当时，；
当时，；
∴共有3种购买方式：
①购买甲种型号的垃圾桶4个，乙种型号的垃圾桶2个；
②购买甲种型号的垃圾桶5个，乙种型号的垃圾桶1个；
③购买甲种型号的垃圾桶6个，乙种型号的垃圾桶0个．
30．（2024·贵州·一模）为了加强劳动教育，落实五育并举，贵阳市某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地，计划来年将基地内的土地全部种植甲、乙两种蔬菜，每平方米的乙种蔬菜的种植成本比甲种蔬菜多20元．设每平方米的甲种蔬菜的种植成本是x元，解答下列问题：
(1)每平方米的乙种蔬菜的种植成本是 元；（用含x的式子表示）
(2)经测算，当种植甲种蔬菜的总成本是3000元，种植乙种蔬菜的总成本是7500元时，甲种蔬菜的种植面积为乙种蔬菜的，求每平方米的乙种蔬菜的种植成本．
【答案】(1)
(2)每平方米的乙种蔬菜的种植成本为50元
【详解】（1）解：∵每平方米的乙种蔬菜的种植成本比甲种蔬菜多20元，
∴每平方米的乙种蔬菜的种植成本是元，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，
∴，
答：每平方米的乙种蔬菜的种植成本为50元．
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