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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题17.2 一次函数的综合应用专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别为，直线与坐标轴交于C、D两点．
(1)求交点E的坐标；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)求四边形的面积．
2．（八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，直线与轴交于点A，与轴于点．
(1)求A，两点的坐标；
(2)过点作直线与轴交于点，且，求的面积．
3．（八年级下·北京西城·开学考试）如图，直线与轴交于点A，与直线交于点B，且直线与轴交于点C，求的面积．
4．（八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与直线交于点，与x轴交于点D．
(1)直接写出点A、点B的坐标和m的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
5．（八年级上·海南海口·期末）已知一次函数．
(1)画出图象；
(2)利用图象直接写出不等式的解集；
(3)求出图象与两坐标轴所围成的图形面积．
6．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标．
7．（八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点， 的图象与轴，轴分别交于点，且两个函数图象相交于点．
(1)填空：______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（八年级上·贵州六盘水·期末）如图，一次函数的图象经过两点，与轴交于点．
(1)根据图象，求一次函数的表达式；
(2)将直线向下平移3个单位后经过点，求的值；
(3)点为轴上的一动点，当的面积为5时，求点的坐标．
9．（八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．
备用图
(1)求线段的中点坐标；
(2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标．
10．（七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段上一点（不与点A，B重合），以边作如图所示的，且，，连接．
(1)请判断线段与的关系，并说明理由；
(2)当时，求点D的坐标．
11．（八年级上·广西崇左·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点，动点在直线上运动．求：
(1)直线的解析式；
(2)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标．
12．（八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，点的坐标为，点为轴正半轴上的动点，连结，过点作直线的垂线交轴于点，垂足为点，连结．
(1)求出两点的坐标；
(2)求证：；
(3)在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
13．（八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，且与直线交于点A．
(1)分别求出点A，B，C的坐标；
(2)直接写出不等式的解集．
14．（八年级上·山东济南·期末）如图，一次函数分别与坐标轴交于两点，分别与坐标轴交于两点，，两直线交于点．
(1)求的值及点坐标；
(2)点在直线上，连结，若，求出点坐标；
(3)点在坐标轴上，点在直线上，若线段被直线垂直平分，请直接写出点坐标．
15．（八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点．
(1)填空： ______， ______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若，请直接写出的取值范围______．
16．（八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求点的坐标；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，直线分别交x轴y轴于点C和点D，两条直线交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)在直线上求点M，使得．
18．（八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于点A，B，与直线 交于点 C．
(1)求点 C 的坐标；
(2)求的面积；
(3)点 D 在直线 上且在点 C 的右侧，如果的面积和的面积相等，求点D 的坐标．
19．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，直线、的函数关系式分别是：和，动点在上运动．
(1)求点的坐标，并回答当取何值时？
(2)点在运动过程中，当为等腰三角形时，求点的坐标；
(3)是否存在点，使将分成的两部分面积之比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（八年级上·河北保定·期中）已知：如图点在正比例函数图象上，点B坐标为，连接，，点C是线段的中点，点P在线段上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒
(1)求该正比例函数的解析式：
(2)当秒，且时，求点Q的坐标：
(3)连接，在点P、Q运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由
21．（八年级上·四川成都·期末）如图，在直角坐标系中，已知直线，直线，直线与y轴交于点C．
(1)直接写出点A的坐标为______．
(2)若点D在直线上，点E在直线上，且轴．．求点D的坐标．
22．（八年级上·甘肃张掖·期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，且点A的横坐标为2，直线与x轴交于点B，直线与x轴、y轴分别交于点，点D．
(1)求直线的函数表达式和点D的坐标；
(2)设是直线上一点，当的面积为10时，求点P的坐标；
(3)直线上是否存在一点Q，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，顶点坐标为，，，线段与轴交于点，的坐标为．
(1)的解析式为________；点的坐标________；
(2)求的面积；
(3)当时，求的值．
24．（八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，直线分别与x轴、y轴相交于点C、E，两条直线相交于点D．
(1)求点D的坐标_______；
(2)点Q为线段上的一个动点，连接．
①若直线将的面积分为两部分且使，试求点Q的坐标；
②将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，点在轴正半轴上，且，点是一次函数的图象在轴上方的一点，连接，已知．
(1)点坐标为______，点坐标为______：
(2)求点的坐标；
(3)在线段上分别取点，连接，使得轴，在轴上取一点，连接，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，直线和直线相交于点A，直线与x轴交于点C．点P在线段AC上，轴于点D，交直线于点Q．且，已知A点的横坐标为4．
(1)求点C的坐标；
(2)如图2，平分线交x轴于点M．①求直线QM的解析式．②将直线QM绕着点M旋转45°．旋转后的直线与y轴交于点N．直接写出点N的指标．
27．（八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C．
(1)求点A、点B、点C的坐标，并求出的面积；
(2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，交于点M、N，
①若线段，请求出此时点N的坐标；
②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（八年级下·福建泉州·期中）已知一次函数．
(1)无论k为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；
(2)如图1，当时，一次函数的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线：上一点，若，求Q点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线：交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值．
29．（八年级下·河南濮阳·期末）如图，直线的函数表达式为，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的1.5倍？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
30．（七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为y轴正半轴上一点，点B的坐标为，点B到y轴的距离是到x轴距离的3倍．
(1)求出点A，点B的坐标；
(2)若点C为y轴负半轴上一点，且三角形的面积为9，求点C的坐标：
(3)在（2）的条件下，若点是y轴右侧的点，且三角形的面积为12，，求点P的坐标及的值．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题17.2 一次函数的综合应用专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别为，直线与坐标轴交于C、D两点．
(1)求交点E的坐标；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)求四边形的面积．
【答案】(1)点E的坐标是
(2)
(3)4
【详解】（1）解：由题意得
，解得，
故直线的解析式是，
则，
解得 ，
故点E的坐标是；
（2）解：由图象可知，时，的图象在的图象的上方，
故不等式 的解集是；
（3）解：当时，则，解得，
当时，则，解得，
则点C的坐标是，点D的坐标是，
∴
2．（八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，直线与轴交于点A，与轴于点．
(1)求A，两点的坐标；
(2)过点作直线与轴交于点，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2)的面积为或
【详解】（1）解：对于，当时，，
解得，
则点A的坐标为，
当时，，则点的坐标为．
（2）解：当点在轴的正半轴上时，如图①，
∵，
∴，
∴的面积；
当点在轴的负半轴上时，如图②，
∵，
∴，
∴的面积，
综上所述，的面积为或．
3．（八年级下·北京西城·开学考试）如图，直线与轴交于点A，与直线交于点B，且直线与轴交于点C，求的面积．
【答案】的面积为4
【详解】解：令中，得，
解得：，
∴，
令中，得，
∴，
解方程组，得：，
∴，
过点B作轴，则，
令中，得，解得：，
∴，
∴，,
∴
．
4．（八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与直线交于点，与x轴交于点D．
(1)直接写出点A、点B的坐标和m的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；；
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，
当时，，
当时，，
解得：，
∴，；
把代入，
∴，
∴；
（2）∵，
当，则，
解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
由图象可得不等式的解集为．
5．（八年级上·海南海口·期末）已知一次函数．
(1)画出图象；
(2)利用图象直接写出不等式的解集；
(3)求出图象与两坐标轴所围成的图形面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵一次函数的解析式是：，
∴当时，，
当时，．
∴该函数经过点和，
其图象如图所示：
（2））根据（1）中的图示知，
当时，函数值，即，
不等式的解集是．
（3）根据（1）中的图示知，
图象与两坐标轴所围成的图形面积是直角的面积，且，，
则，
即图象与两坐标轴所围成的图形面积是．
6．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)存在，或
【详解】（1）解：将代入得，
∴，
将代入得，
∴，
∴；
（2）存在．设，因点M在射线上，故．
因点，则，
因点，则点A到y轴距离为8，点M到y轴距离为，
过点A作于点D（如图），则
，
∵，
∴，
∴，则．
∵，
∴，
∴点M的坐标为或．
7．（八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点， 的图象与轴，轴分别交于点，且两个函数图象相交于点．
(1)填空：______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的面积为50
(3)存在点M，且
【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点，
，解得，
，解得；
（2）一次函数中，当时，；当时，，
，
一次函数中，当时，，
，
，
的面积为；
（3）的面积与四边形的面积比为，，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
存在点M，且．
8．（八年级上·贵州六盘水·期末）如图，一次函数的图象经过两点，与轴交于点．
(1)根据图象，求一次函数的表达式；
(2)将直线向下平移3个单位后经过点，求的值；
(3)点为轴上的一动点，当的面积为5时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：由题意得，，
把代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：将直线向下平移3个单位后的解析式为，
在中，当时，，
∴；
（3）解：如图，
设，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或．
9．（八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．
备用图
(1)求线段的中点坐标；
(2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
令，解得：，
，
令，解得：，
，
线段的中点坐标为；
（2）设，
当点在直线上方时，
，
，
，，，
，
，，
，解得，
点的坐标为；
当点在直线下方时，
，
，
，，，
，
，，
，解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
（3）过作于，过作轴，过作于，过作于，
设，
又点的坐标为，，
∴，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，，
，
解得，
，
设直线的解析式是，
将点，代入得：，
解得：，
直线解析式为，
令，得，解得，
点的坐标为，．
10．（七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段上一点（不与点A，B重合），以边作如图所示的，且，，连接．
(1)请判断线段与的关系，并说明理由；
(2)当时，求点D的坐标．
【答案】(1)，理由见详解；
(2)．
【详解】（1）解：猜想：；
证明：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令，则，
，
，
令，则，
，
；
，，
，
∵点，点，
，
在和中，
，
，，
，
，即，
，
，；
（2）解：过点C作于E，过点D作于F，如图所示：
设，
，，
，
，，
，
在中，，
，
解得，
，，
，
，，
，
，
，
，
∴点D的坐标为．
11．（八年级上·广西崇左·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点，动点在直线上运动．求：
(1)直线的解析式；
(2)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：设直线的解析式是，且，
根据题意得：，
解得：，
∴直线的解析式是；
（2）解：∵，当时，，
∴，且，
∴，
∴的面积为，
设点的坐标为，
∴的面积为，
解得或，
当时，；当时，；
则点的坐标为或．
12．（八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，点的坐标为，点为轴正半轴上的动点，连结，过点作直线的垂线交轴于点，垂足为点，连结．
(1)求出两点的坐标；
(2)求证：；
(3)在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)点的坐标为或
【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点，点，
当时，；当时，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
，
，，
，
∵，
，
，
；
（3）解：当为等腰三角形时，点的坐标为或，
①如图
∵，
∴，
显然，
，
过作轴，显然，
，
当是等腰三角形时，只能或，
当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点时，则在中，，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
当为等腰三角形时，点的坐标为或．
13．（八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，且与直线交于点A．
(1)分别求出点A，B，C的坐标；
(2)直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：对于直线，
当时，，
当时，，
解得：，
∴；
联立得：，解得：，
∴点；
（2）解：观察图象得：当时，，
即不等式的解集为．
14．（八年级上·山东济南·期末）如图，一次函数分别与坐标轴交于两点，分别与坐标轴交于两点，，两直线交于点．
(1)求的值及点坐标；
(2)点在直线上，连结，若，求出点坐标；
(3)点在坐标轴上，点在直线上，若线段被直线垂直平分，请直接写出点坐标．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为或
【详解】（1）解：已知分别与坐标轴交于两点，，
∴，
解得，，
∴解析式为：
∵一次函数与一次函数交于点，
∴，
解得，，
∴．
（2）解：直线的解析式为，令，则；令，则；
直线的解析式为，令，则；令，则；
∴，，，且，
∴，，
∴，
∵点在直线上，
∴设，
第一种情况：如图所示，，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，，，，，
∴，
∴，
即，
整理得，，解得，，
∴；
第二种情况：如图所示，，且，
∴，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：第一种情况，如图所示，点在轴上，连接，
∵，，
∴，
∴
线段被直线垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∵点在直线：的图象上，
∴；
第二种情况，如图所示，点在轴上，连接，
∵，，
∴，
∴
线段被直线垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∵点在直线：的图象上，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
15．（八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点．
(1)填空： ______， ______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若，请直接写出的取值范围______．
【答案】(1)3，6
(2)50
(3)存在，
(4)
【详解】（1）是一次函数与的图象的交点，
，解得，
，解得，
故答案为：3，6；
（2）一次函数中，当时，；当时，，
，，
一次函数中，当时，，
，
，
，
的面积为50；
（3）如图：
在线段上存在一点，使得的面积与四边形的面积比为，
的面积与四边形的面积比为，
，
，即，
，
点在线段上，
点的坐标为；
（4），
时，，
故答案为：．
16．（八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求点的坐标；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或或
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，；当时，，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∵，，，
∴，
∴，
即的面积为；
（3）存在，
点在轴上时，设点的坐标为，
①时，点与原点重合，此时点坐标为；
②时，则，
∵，，，
∴，
解得：，
∴；
点在轴上时，设点的坐标为，，
①时，点与原点重合，此时点坐标为；
②时，则，
∵，，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，当点的坐标为或或时，是直角三角形．
17．（八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，直线分别交x轴y轴于点C和点D，两条直线交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)在直线上求点M，使得．
【答案】(1)点A的坐标为
(2)点M的坐标为或
【详解】（1）解；联立，解得，
∴点A的坐标为；
（2）解：如图，当点M在点A下方时，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
在中，当时，，
∴点M的坐标为；
如图，当点M在点A上方时，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
在中，当时，，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或．
18．（八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于点A，B，与直线 交于点 C．
(1)求点 C 的坐标；
(2)求的面积；
(3)点 D 在直线 上且在点 C 的右侧，如果的面积和的面积相等，求点D 的坐标．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【详解】（1）解：解方程组
得：
所以点C的坐标是．
（2）解：对直线 ，当 时，；
当 时，解方程 ,得 ，
∴， ，
∴，，
∴的面积为：．
（3）解：若 ，则 ，
∵点C的纵坐标为3，
∴点D的纵坐标为6，
把代入得：，
解得：，
∴点D的坐标为．
19．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，直线、的函数关系式分别是：和，动点在上运动．
(1)求点的坐标，并回答当取何值时？
(2)点在运动过程中，当为等腰三角形时，求点的坐标；
(3)是否存在点，使将分成的两部分面积之比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或
【详解】（1）将和联立并解得：，
解得：，
故点，则，
当时，；
（2），则，
①当时，
则点的横坐标对应在轴上的点为的中点，
故点；
②当时，
，
故点，；
③当时，如图，过点P作，
则，
直线：与x轴夹角为，
是等腰直角三角形，
，
故点；
（3）将分成的两部分面积之比为，
则或，
故点或．
20．（八年级上·河北保定·期中）已知：如图点在正比例函数图象上，点B坐标为，连接，，点C是线段的中点，点P在线段上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒
(1)求该正比例函数的解析式：
(2)当秒，且时，求点Q的坐标：
(3)连接，在点P、Q运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由
【答案】(1)
(2)
(3)当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，与全等．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为，
把代入中得：
解得：，
∴该正比例函数的解析式为；
（2）解：当时，，
如图，过点Q作轴于点H，
∵，
∴．
在中，当时，解得，
∴．
（3）解：∵，点C是线段的中点，
∴，．
①当时，
∵，
∴，，
解得：．
∵
∴．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
②当时，
∴，
解得：．
∵，
∴．
∴．
解得：．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
综上所述：当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，与全等．
21．（八年级上·四川成都·期末）如图，在直角坐标系中，已知直线，直线，直线与y轴交于点C．
(1)直接写出点A的坐标为______．
(2)若点D在直线上，点E在直线上，且轴．．求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）联立，
解得，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
（2），
．
，
．
轴，
∴D点和E点的横坐标相同．
设，，
则，
，
或，
解得或，
或，
∴点D的坐标为或．
22．（八年级上·甘肃张掖·期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，且点A的横坐标为2，直线与x轴交于点B，直线与x轴、y轴分别交于点，点D．
(1)求直线的函数表达式和点D的坐标；
(2)设是直线上一点，当的面积为10时，求点P的坐标；
(3)直线上是否存在一点Q，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的函数表达式为；
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为或或
【详解】（1）解：当时，，
∴，
设直线的函数表达式为，
将点代入得，
，
∴直线的函数表达式为，
当时，，
（2）当时，，解得，
∵，
∴，
∵是直线上一点，
∵的面积为10，
或
∴点的坐标为或；
（3）设，
∵，
∴，
①当时，
，解得或8，
∴点的坐标为或；
②当时，
，解得，
∴点的坐标为；
综上所述：点的坐标为或或．
23．（八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，顶点坐标为，，，线段与轴交于点，的坐标为．
(1)的解析式为________；点的坐标________；
(2)求的面积；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【详解】（1）设的解析式为：，
∵，，
∴，
解得：，
∴的解析式为：，
∵点在轴上，
∴点．
故答案为：；．
（2）∵，
∴．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或．
24．（八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，直线分别与x轴、y轴相交于点C、E，两条直线相交于点D．
(1)求点D的坐标_______；
(2)点Q为线段上的一个动点，连接．
①若直线将的面积分为两部分且使，试求点Q的坐标；
②将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，②点或
【详解】（1）解：∵两条直线相交于点D，
∴，解得，
则点．
（2）∵直线与y轴相交于点B，
∴令，得，则点，
∵直线与y轴相交于点E，
∴令，得，则点，
则，
①过点D作轴于点H，过点Q作轴于点M，如图，
则，
∴，
设，由题意知，则，
∴
∵，
∴，解得，
则Q的坐标为．
②当点D落在x轴正半轴上，为点时，过点D作轴于点H，如图，
∵，，
∴，
由翻折得，
在和中，
，
∴，
∴，
由翻折得，
∴，
∴轴，则点Q的纵坐标为4，
∵点Q在直线，
∴，解得，
那么点；
当点D落在y轴负半轴上，为点时，过点D作轴于点H，过点Q作，，垂足分别为点M、N，如图，
由翻折得，，
∵，
∴，
即，
在中，由勾股定理得，
则，解得，
∵点Q在直线，
∴，
那么点；
即点或．
25．（八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，点在轴正半轴上，且，点是一次函数的图象在轴上方的一点，连接，已知．
(1)点坐标为______，点坐标为______：
(2)求点的坐标；
(3)在线段上分别取点，连接，使得轴，在轴上取一点，连接，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为
(3)存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或，理由见详解
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，
∴令，则；令，则；
∴，，
故答案为：，．
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∴，即，
解得，，即点的纵坐标为，
∵点是一次函数的图象在轴上方的一点，
∴，
解得，，
∴点的坐标为．
（3）解：存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或，理由如下，
已知，，
设所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴所在直线的解析式为，
∵点在线段上，轴，
∴设，
令，解得：，
∴，
∴，
第一种情况：如图所示，，，即是等腰直角三角形，
∴点，则，且，
∴由得，，
解得，，
∴；
第二种情况：如图所示，，，即是等腰直角三角形，
∴，则，且，
∴由得，，
解得，，
∴；
第三种情况：如图所示，，，即是等腰直角三角形，过点作于点，
∴是的中点，且，
又∵，，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即，
∴，，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或．
26．（八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，直线和直线相交于点A，直线与x轴交于点C．点P在线段AC上，轴于点D，交直线于点Q．且，已知A点的横坐标为4．
(1)求点C的坐标；
(2)如图2，平分线交x轴于点M．①求直线QM的解析式．②将直线QM绕着点M旋转45°．旋转后的直线与y轴交于点N．直接写出点N的指标．
【答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）解：当时，，即点A的坐标为，
将点A的坐标代入得：，
解得：，
故直线的表达式为：，
令y=0，得
解得，
∴；
（2）解：①延长交y轴于点H，
∵点A的坐标为，
∴，
∵，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
∵轴，则，
∵平分线交x轴于点M，则，
∴，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
把，代入，得
，
∴，
∴；
②作交直线于点E，作交直线于点F，
令，
解得，
∴．
由旋转的性质可知，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
设直线的表达式为，
把，代入，得
，
∴，
∴，
当时，，
∴．
27．（八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C．
(1)求点A、点B、点C的坐标，并求出的面积；
(2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，交于点M、N，
①若线段，请求出此时点N的坐标；
②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)、、，3
(2)①点N的坐标为或者；②存在，点的坐标为或或
【详解】（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B，
故把代入得：；
把代入得：，
∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、，
∵直线与交于点C，
联立得方程组：，
解得：，
故点；
则的面积；
（2）解：①设点、的坐标分别为、
根据题意可得：，
解得：或，
所以点N的坐标为或者；
②设、、的坐标分别为、、，
当时，如图：
，，
，，，
，
，，
即：，
解得：，
∴Q点坐标为：
当时，如图：
则，即：，
解得：，
；
∴Q点坐标为：
当时，如图：
则，即：，
解得：，
；
∴Q点坐标为：
综上，点的坐标为或或．
28．（八年级下·福建泉州·期中）已知一次函数．
(1)无论k为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；
(2)如图1，当时，一次函数的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线：上一点，若，求Q点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线：交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）解：整理得
∵不论k取何值时，上式都成立
∴当，即时，
∴无论k为何值，函数图象必过定点；
（2）当时，一次函数为，
当时，；当时，，；
∴点A坐标为；点B坐标为；
∵点Q在直线：上，
∴设点Q坐标为；
①如图，当点Q位于AB右侧时，根据题意得．
∴．
解得．
点Q坐标为；
②如图，当点Q位于AB左侧时，此时，
过点Q作轴，交于点Ｎ，则点Ｎ的纵坐标为，
由，得，，
∴．
∴，
解得，
∴Q恰好位于x轴上，此时Q坐标为；
综上所述：若，Q点的坐标为或；
（3）由（2）可得直线AB：，联立得，
解得．
∴
∵点C在x轴的负半轴，设
则，
∵，
∴
解得
∴点C的坐标为
∵动点M的坐标为．
∴点M在直线上．
∴点C关于直线对称的点F的坐标为，
连接，，则，
则为的最小值；
作轴，垂足为G，
在中，
∴的最小值为．
29．（八年级下·河南濮阳·期末）如图，直线的函数表达式为，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的1.5倍？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点或
【详解】（1）设直线的函数解析式为，
将、代入得：
，
解得：，
∴直线的函数解析式为．
（2）联立
解得
∴点C的坐标为．
当时，，
∴点D的坐标为．
∴．
（3）假设存在点P，使得面积是面积的1.5倍．
∵面积是面积的1.5倍，
∴，
∴或3，
当时，，
此时点P的坐标为；
当时，
综上可知，在直线上存在点或，使得面积是面积的1.5倍．
30．（七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为y轴正半轴上一点，点B的坐标为，点B到y轴的距离是到x轴距离的3倍．
(1)求出点A，点B的坐标；
(2)若点C为y轴负半轴上一点，且三角形的面积为9，求点C的坐标：
(3)在（2）的条件下，若点是y轴右侧的点，且三角形的面积为12，，求点P的坐标及的值．
【答案】(1)
(2)
(3)当点P的坐标为时，的值为43；当点P的坐标为时，的值为13
【详解】（1）解：∵点为轴正半轴上一点，
∴，
∵点B的坐标为，点B到轴的距离是到轴距离的3倍，
∴，
解得，
∴，
，．
（2）过点B作轴交y轴于点D，
设点C的坐标为，
，且点C为y轴负半轴上一点，
，
∵三角形的面积为9，
∴，
，
解得 ，
∴点C的坐标为．
（3）由（2）知点C的坐标为，
，
∵点是轴右侧的点，
∴，
∵三角形PAC的面积为12，
，
，
解得 ，
，
，
∴点P的坐标为或，
当点P的坐标为时， ，
当点P的坐标为时， ，
综上所述，当点P的坐标为时，的值为43；当点P的坐标为时，的值为13．
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