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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题17.7 一次函数与反比例函数的综合专练（30道）
解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作轴于点D，连接．直线与x轴的负半轴交于点E．
(1)求k的值；
(2)若，求四边形的面积．
2．（九年级下·广东惠州·阶段练习）如图，直线分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，轴，为垂足，且．
(1)求反比例函数解析式；
(2)在第一象限内，直接写出一次函数值大于反比例函数值的的取值范围．
3．（九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点．
(1)求a，b，k的值；
(2)点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，当时，直接写出m的取值范围．
4．（2023·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于，两点，连接，的面积为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)当时，请你直接写出的取值范围．
(3)若为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
5．（九年级下·浙江杭州·阶段练习）设正比例函数，反比例函数．如图，在直角坐标系中，函数和函数的图象交于点A和点B，已知点 A 的横坐标是1．
(1)求，的值．
(2)写出点B的坐标．
(3)若点在函数的图象上，点在函数的图象上，当时，求a的取值范围．
6．（九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求这两个函数的表达式：
(2)点为轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数及一次函数的图象于，两点，当点位于点上方时，请直接写出的取值范围．
7．（九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，反比例函数的图像一支分别交，于点C，D．延长交反比例函数的图像的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求直线的函数表达式；
(3)求的面积．
8．（2024·河南·一模）如图，点，在反比例函数的图象上，连接．
(1)求反比例函数的解析式和m的值．
(2)在直线l（直线l上各点的纵坐标均为）上是否存在一点P，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
9．（2023·山东青岛·一模）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求与的值；
(2)为轴上的一动点，连接，若的面积为面积的，求的值．
10．（2023·吉林·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴，轴分别交于点，．
(1)求的值及反比例函数的解析式．
(2)将线段沿轴向右平移得到，当点在反比例函数的图象上时，直接写出四边形的面积．
11．（2023·河南平顶山·一模）如图，双曲线与直线交于，两点，点和点在双曲线上，点为轴上的一点．
(1)求双曲线的表达式和，的值；
(2)请直接写出使得的的取值范围；
(3)若为等腰三角形，请直接写出此时点的坐标．
12．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点．
(1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标；
(2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小．
13．（2024·四川内江·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点作轴，垂足为，
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
(3)一次函数的图像上是否存在一点，使得求．若存在，求出点坐标，若不存在说明理由．
14．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，四边形的面积是．
(1)求点A，D的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点M是四边形内部反比例函数图象上一动点(不含边界)，当直线经过点M时，请直接写出m的取值范围．
15．（九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为6．
(1)求k的值；
(2)结合图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是y轴上一点，连接 ， ，若，求点P的坐标．
16．（九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知直线与反比例函数 的图象分别交于点和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)如图1，
①求直线的解析式和反比例函数关系式；
②求点B的坐标
(2)如图2，将沿射线方向平移得到，若点O，B的对应点同时落在函数上，求n的值；
17．（2023·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中有，，，．反比例函数的图象如图所示．
(1)若反比例函数经过点B，且交于点D，求证：D为的中点．
(2)若反比例函数与的边界恰有两个公共点，请直接写出k的取值范围，
18．（九年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)直接写出当时，自变量x的取值范围；
(3)已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值．
19．（九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标；
(3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式．
20．（九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数在第四象限内的图像交于点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（九年级上·广东东莞·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)直接写出_______； _______；
(2)请结合图象直接写出不等式的解集是_______；
(3)在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)当时，根据图象直接写出的取值范围．
23．（九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标.
24．（2023·湖南娄底·一模）如图，函数的图象过点和两点．
(1)求和的值；
(2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标；
(3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标．
26．（九年级上·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)根据函数图像，请直接写出不等式的解集；
(4)在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
27．（九年级上·广东佛山·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求函数的表达式；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于反比例函数值时的取值范围；
(3)求的面积；
(4)点是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，直接写出点的坐标．
28．（2023九年级上·全国·专题练习）过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形，如图所示．
(1)已知矩形的面积等于8，求双曲线的解析式；
(2)若已知矩形的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式？如果能，请予求出；如果不能，说明理由．
29．（九年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，连接．已知，的面积为．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)若为线段上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
30．（九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第二、四象限内的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图像直接写出的解集；
(3)在轴上取一点，当取得最大值时，求点的坐标；
(4)若点是双曲线上一点，且，求点的横坐标．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题17.7 一次函数与反比例函数的综合专练（30道）
解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作轴于点D，连接．直线与x轴的负半轴交于点E．
(1)求k的值；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)8 (2)6
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为：．
（2）∵轴，，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴点B的纵坐标为6，代入中，得：，
解得：，
∴，
∵，
设直线的解析式为：，
则有，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
2．（九年级下·广东惠州·阶段练习）如图，直线分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，轴，为垂足，且．
(1)求反比例函数解析式；
(2)在第一象限内，直接写出一次函数值大于反比例函数值的的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵直线分别交x、y轴于点A、C
∴令则
令则
∵轴
∴轴
∴
∴
把代入，得
则
设反比例函数解析式
把代入
得
∴；
（2）解：∵在第一象限内，一次函数值大于反比例函数值
∴结合图象，得的取值范围为
3．（九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点．
(1)求a，b，k的值；
(2)点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，当时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：因为一次函数的图象过，两点，
所以，
，
解得．
因为反比例函数的图象过A，
所以．
（2）解：由函数图象知：当或时．
4．（2023·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于，两点，连接，的面积为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)当时，请你直接写出的取值范围．
(3)若为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
【答案】(1)(2)或，(3)
【详解】（1）解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，
∴把，代入得，
，解得，，
∴一次函数解析式为
过点作轴于点，
∵
∴
又
∴
∴
∴，
∴
∴
∵在双曲线上，
∴
∴
（2）解：联立方程组得，
解得， ，
∴
根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有或，
∴当时，求x的取值范围为或，
（3）解：作点关于轴的对称点，连接，交x轴于点，连接交x轴于点M，则，OM=1，
连接，则的值最小，设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为
当时，，解得，，
∴
∴
∴
，
∴
．
5．（九年级下·浙江杭州·阶段练习）设正比例函数，反比例函数．如图，在直角坐标系中，函数和函数的图象交于点A和点B，已知点 A 的横坐标是1．
(1)求，的值．
(2)写出点B的坐标．
(3)若点在函数的图象上，点在函数的图象上，当时，求a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【详解】（1）解：，是正比例函数，
，
，
，
点 A 的横坐标是1，当时，，
，
将代入，得，
综上可得，，；
（2）解：将与联立，得，
可得，
解得，，
当时，，
点B的坐标为；
（3）解：点在函数的图象上，点在函数的图象上，
，，
，
，
当时，，整理得，
，
，
，
解得；
当时，，整理得，
，
，
，
解得，
综上可得，a的取值范围为或．
6．（九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求这两个函数的表达式：
(2)点为轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数及一次函数的图象于，两点，当点位于点上方时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【详解】（1）解：将代入，得
；
将代入得
将，代入得
解得
；
（2）当点位于点上方时，在点右侧且在轴左侧，或者在点右侧
点横坐标为，点横坐标为4，
的取值范围为：或．
7．（九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，反比例函数的图像一支分别交，于点C，D．延长交反比例函数的图像的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求直线的函数表达式；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)12
【详解】（1）解：∵A点的坐标为，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，，
∴，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：设直线的解析式为：，
∵，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，则，
∴，
∴，
设直线的解式为：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解式为：；
（3）解：．
8．（2024·河南·一模）如图，点，在反比例函数的图象上，连接．
(1)求反比例函数的解析式和m的值．
(2)在直线l（直线l上各点的纵坐标均为）上是否存在一点P，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)存在，
【详解】（1）∵点，在反比例函数的图象上，
∴．
∴．
∴．
（2）存在．
由（1）可得，，．
设经过点A，B的直线的解析式为．
则
解得
∴直线的解析式为．
过点O作，交直线于一点，则这个点即为点P．
由平行线之间的距离处处相等，可以得出．
∴直线的直线解析式为．
∴当时，，
此时点．
9．（2023·山东青岛·一模）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求与的值；
(2)为轴上的一动点，连接，若的面积为面积的，求的值．
【答案】(1)，；
(2)或．
【详解】（1）解：把代入，得，
，
把代入，得，
，
把代入，得，
，；
（2）解：当时，，
，
为轴上的动点，
，
，，
，，的面积为面积的，
，
或．
10．（2023·吉林·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴，轴分别交于点，．
(1)求的值及反比例函数的解析式．
(2)将线段沿轴向右平移得到，当点在反比例函数的图象上时，直接写出四边形的面积．
【答案】(1)，反比例函数的解析式为
(2)四边形的面积为8
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
，
，
，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：令，则，
把代入，解得，
，
由题意可知，四边形是平行四边形，
四边形的面积．
11．（2023·河南平顶山·一模）如图，双曲线与直线交于，两点，点和点在双曲线上，点为轴上的一点．
(1)求双曲线的表达式和，的值；
(2)请直接写出使得的的取值范围；
(3)若为等腰三角形，请直接写出此时点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)使得的的取值范围是或
(3)点的坐标为或或或
【详解】（1）直线过点和，
，，
，
双曲线过点，
双曲线的表达式为；
（2）
观察图象，可得当或时，反比例函数值大于一次函数值，
即使得的x的取值范围是或；
（3） ，
设点C的坐标为，
，
，
，
为等腰三角形，
当时，
解得∶，
点C的坐标为，此时以点A、B、C为顶点不能组成三角形，
当时，
，
解得：，，
点C的坐标为或；
当时，
解得：，，
点C的坐标为或；
综上，C点的坐标为或或或
12．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点．
(1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标；
(2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小．
【答案】(1)，
(2)见解析
【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为，
则，
由题意，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵当且仅当时等号成立，
∴当且仅当时，取得最小值，
此时点的坐标为；
（2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为，
则，
由题意，，
∴当，即时，，
即，∴四边形的周长小于四边形的周长；
当，即时，，
即，∴四边形的周长等于四边形的周长；
当，即时，，
即，∴四边形的周长大于四边形的周长．
13．（2024·四川内江·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点作轴，垂足为，
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
(3)一次函数的图像上是否存在一点，使得求．若存在，求出点坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上，
∴，得，
即；
把代入得，
，
∴；
把、代入中得
，
解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）根据函数图象可得：不等式的解集是：或；
（3）设直线与轴交于点，
把代入可得：，
即；
，轴，垂足为，
，
设点坐标为，
解得：或；
因此，存在在点使得，点的坐标为或．
14．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，四边形的面积是．
(1)求点A，D的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点M是四边形内部反比例函数图象上一动点(不含边界)，当直线经过点M时，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)点A，D的坐标分别是，，反比例函数的表达式为；
(2)；
【详解】（1）解：∵，
∴，
设点，则，
∵点D是的中点，
∴，
∵点D在函数图象上，
∴，
解得：，
∵平行四边形面积，，
∴，
∴，
∴点，，；
（2）解：当点A与点M重合时，
，
解得：，
当点D与点M重合时，
，
解得：，
∵点M是四边形内部反比例函数图象上一动点(不含边界)，
∴．
15．（九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为6．
(1)求k的值；
(2)结合图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是y轴上一点，连接 ， ，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【详解】（1）
，
∴，
∴
（2）
∵点A与点B是关于原点成中心对称
∴，
∴不等式的解集为：或
（3）
设，依题意得：
∴或
16．（九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知直线与反比例函数 的图象分别交于点和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)如图1，
①求直线的解析式和反比例函数关系式；
②求点B的坐标
(2)如图2，将沿射线方向平移得到，若点O，B的对应点同时落在函数上，求n的值；
【答案】(1)①，， ②
(2)
【详解】（1）①将点代入，得，
∴直线的解析式为，
将点代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
②当时，得，，
∴交点B的坐标为；
（2）令中得，令得，
∴，
∴，
∴，
设点B向右平移a个单位，再向下平移a个单位，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
17．（2023·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中有，，，．反比例函数的图象如图所示．
(1)若反比例函数经过点B，且交于点D，求证：D为的中点．
(2)若反比例函数与的边界恰有两个公共点，请直接写出k的取值范围，
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）
证明：反比例函数经过点，
，解得
在中，，
，
设，
将代入可得，
解得，
联立，
解得（舍）或，
，
，
故D为的中点．
（2）解：，，，
，
当过点时，；当过点时，；
∴当反比例函数与的边界恰有两个公共点，．
18．（九年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)直接写出当时，自变量x的取值范围；
(3)已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值．
【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：
(2)或
(3)当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2．
【详解】（1）解：把代入得，
∴反比例函数的解析式为：
把代入得，
把，代入；
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵不等式的解集即为：的解集，
∴或
（3）如图，
由可知，
∴，
∵，
的面积为．
∴四边形的面积为
解得
∵P点坐标为，点P可能在x轴正半轴或负半轴，
∴或
∴当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2．
19．（九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标；
(3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：将，代入得，
，，
解得：，，
∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
（2）解：∵轴，
∴，
设，
当时，，
∴，
当时，
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，
当时，
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，
综上所述：满足的坐标为：或；
（3）解：设平移后的解析式为：，
联立反比例函数得，
，
即：，
设两个交点为，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即：，
，
解得：或，
∴或．
20．（九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数在第四象限内的图像交于点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得到：，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
由函数图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像上方，
∴当时，；
（3）解：在双曲线上存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形，理由如下：
如图所示，设直线交y轴于点，
，
由一次函数解析式可得，
∵，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
即点P的坐标为，
∴在双曲线上存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形，此时点P的坐标为．
21．（九年级上·广东东莞·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)直接写出_______； _______；
(2)请结合图象直接写出不等式的解集是_______；
(3)在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，1；
(2)或；
(3)存在，点P的坐标为或或．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，则，
∴反比例函数的表达式为，
又∵点在反比例函数的图象上．
∴，
故答案为：3，1；
（2）解：∵，，
观察图象可知，不等式的解集为或，
故答案为：或；
（3）解：在y轴上存在一点P，使是等腰三角形；理由如下：
∵，，
∴，
设点P坐标为，
①当时，得： ，
解得：或，
此时点P坐标为或；
②当时，得：，此时无解；
③当时，得：，
解得：，
此时点P坐标为，
综上，点P的坐标为或或．
22．（九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)当时，根据图象直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【详解】（1）解：将代入中，
得，
解得，
反比例函数解析式为∶，
点在反比例函数上，
，
将、代入，
得，
解得，
一次函数的解析式为∶．
（2）由（1）得，直线的解析式为∶，
令，则，
令，则，
此函数图象与轴交点坐标为，与轴交点坐标为，
．
（3）一次函数和反比例函数交于，两点，
横坐标分别为，
一次函数图像要位于反比例函数图像上方，即在点A的右侧，点B的左侧，
或．
23．（九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标.
【答案】(1)，
(2)
(3)、、或
【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
又∵点B的坐标为也在上，
∴，
∵A的坐标为，B的坐标为都在一次函数的图象上，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵直线与x轴交于点，
∴，
∴，
∵A的坐标为，B的坐标为，
∴；
（3）解：当点P在x轴上，
设点，则，
若时，如图所示，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
当时，如图，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点的坐标为；
当点在y轴上时，
设点，则，
若时，如图所示，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
当时，如图，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点的坐标为；
综上可得点P的坐标为、、或．
24．（2023·湖南娄底·一模）如图，函数的图象过点和两点．
(1)求和的值；
(2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标；
(3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)和的值分别为，；
(2)，
(3)点或。
【详解】（1）解：函数的图像过点和两点，
，
解得，
故和的值分别为，；
（2）解：，
，
设直线的解析式为：，
把代入，得，解得，
∴直线的解析式为：，
过点作轴于点，交直线于点，
设，
，
，
，
或（不符合题意舍去）
，
（3）解：，直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
点在直线上，，
，即，
直线的解析式为：；
当时，，
∴，
当时，，
∴，
根据题意，分两种情况进行讨论：
①以为直角边，为直角顶点；
如图，过做轴于点，可知：，
，
，
又，
，又，
，
，
故点到点的平移规律是：向左移个单位，向上移个单位得点坐标，
，且在第二象限，
即；
②以为直角边，为直角顶点；同①理得，将点向左移个单位，向上移个单位得点坐标，得．
综上所述：点或
25．（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2；
∴A，B；
把A、B的坐标代入得；
解得；
∴一次函数的解析式为．
（2）∵；
由图象可知，当时，．
（3）∵一次函数为；
∴D；
∵A，
∴；
∴，
设点P的坐标为： ，；
∴，；
当P在直线下方时，如图1，则；
；
解得；
∴点P．
当P在直线AB的上方时，如图2，则；
；
解得；
∴点P；
综上可得：点P的坐标为： 或 ．
26．（九年级上·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)根据函数图像，请直接写出不等式的解集；
(4)在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)或
(4)的坐标为：或或或
【详解】（1）解：根据题意，将点代入反比例函数，
可得 ，解得，
∴反比例函数解析式为，
又∵点在的图像上，
∴可有，
∴点的坐标为，
将点，代入一次函数，
可得，解得，
∴；
（2）设直线与轴交于点，
对于直线：，
令，则有，
∴，
∴，
∴；
（3）根据题意，由图像可知不等式的解集为：
或；
（4）∵，
∴，
如下图，
当以为等腰三角形的腰时，点坐标，，；
当以为等腰三角形的底时，点坐标，
综上分析满足条件的点P的坐标为：或或或．
27．（九年级上·广东佛山·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求函数的表达式；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于反比例函数值时的取值范围；
(3)求的面积；
(4)点是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)点的坐标为或
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
，，
，
，，
，
；
（2）解：由（1）可得：，，
由图象可得：当或时，一次函数值大于反比例函数值，
一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为：或；
（3）解：如图，设一次函数与轴的交点为点，
，
在中，当时，，
解得：，
，
，
；
（4）解：令一次函数与轴的交点为，
，
在中，当时，，
，
，
的面积等于的面积，
点到直线的距离等于点到直线的距离，
将直线向上或向下平移1个单位，得到直线、，直线、与双曲线在第一象限的交点即为点，如图，
，
，，
联立，
解得：或（不符合题意，舍去），
；
联立，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
综上所述：点的坐标为或．
28．（2023九年级上·全国·专题练习）过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形，如图所示．
(1)已知矩形的面积等于8，求双曲线的解析式；
(2)若已知矩形的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式？如果能，请予求出；如果不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)无法确定，理由见解析
【详解】（1）解：（1）设点，则，，
，，矩形的面积等于8
，即
所以双曲线的解析式为：；
（2）（2）设点，则，，
，，矩形的周长为8
，即，
则，此时会随的变化而变化，所以无法确定的值
所以不能由此确定双曲线的解析式，因为会随点的坐标变化而变化．
29．（九年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，连接．已知，的面积为．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)若为线段上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）解：过点作于点，如解图1所示，则．
∵，
∴．
又∵，
∴．
由反比例函数中的几何意义，可知，
∴（正值已舍去）．
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：或．
（3）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小，如解图2所示．
把点，分别代入，得，，即点，．
∴．
易得直线的解析式为．
∴．
30．（九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第二、四象限内的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图像直接写出的解集；
(3)在轴上取一点，当取得最大值时，求点的坐标；
(4)若点是双曲线上一点，且，求点的横坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点的坐标为
(4)点的横坐标为或或或
【详解】（1）解：点在第二象限，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为，
∴，
∴，解得，，即，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，解得，，
∴反比例函数：，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，解得，，
∴，．
（2）解：由（1）知，，且点，在一次函数的图像上，
∴，解得，，
∴一次函数解析式为，
∴令时，则，解得，即一次函数与轴的交点为，
∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第二、四象限内的点和点，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴的解集为：．
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，
∴，且点，
设所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
当点三点共线时，取得最大值，且点在轴上，
∴令时，，
∴点的坐标为．
（4）解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，直线与轴交于点，
∵直线的解析式为，令，则，
∴，即，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴设，
①如图所示，连接，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，过点作延长线于点，
设所在直线的解析式为，且，，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵，轴，
∴点的横坐标为，且点在直线的图像上，
∴当时，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，整理得，，解得，，，
∴点的坐标为或，即点的横坐标为或；
②如图所示，连接，过点作轴于点，延长交于点，过点作延长线于点，过点作于点，
设直线所在直线的解析式为，且，，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在一条直线上，且轴，
∴点的横坐标为，且点在直线的图像上，
∴当时，，即
∴，，，
∴，
∴，整理得，，解得，，，
∴点的横坐标为或；
综上所述，点的横坐标为或或或．
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