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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题18.1 平行四边形的性质（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2023·山东滨州·模拟预测）如图，在平行四边形的边、上分别截取、，使得，连接，点M、N是线段上两点，且，连接、.
(1)求证：；
(2)若，，求的大小.
2．（八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点E，于点H．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
3．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知：如图，在中，点E、F分别在BC、AD上，．
求证：
(1)；
(2)．
4．（八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，．
(1)求证：与互相平分；
(2)，，，求的面积．
5．（八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知在平行四边形中，点F在边上，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点A作于点G，交于点E，若，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，若G为的中点，，平行四边形的面积为144，求的长．
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）将纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．
(1)求证：；
(2)若的面积等于8，，试求的面积．
7．（八年级下·全国·随堂练习）如图，在中，、分别平分、，交于点E、G．
(1)求证：，；
(2)过点E作，垂足为F．若的周长为56，，求的面积．
8．（八年级上·山东淄博·期末）如图，E是平行四边形内一点，，，．
(1)求证：；
(2)求证：是为等腰直角三角形；
(3)判断的数量关系并说明理由．
9．（九年级下·北京·开学考试）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为12，求四边形的周长．
10．（八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求．
11．（2021·黑龙江哈尔滨·三模）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
12．（八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
13．（八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E、．
(1)求证：≌；
(2)若与交于点O，求证：．
14．（九年级上·北京海淀·期中）如图，的对角线交于点过点且分别与交于点．
(1)求证：；
(2)记四边形的面积为，平行四边形的面积为，用等式表示和的关系．
15．（八年级下·广东佛山·期末）如图，在平行四边形中，，点E为的中点，连接并延长与的延长线相交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：是的平分线．
16．（八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点作交于点．过点作交、于点、．
(1)如图1，若，求平行四边形的面积；
(2)如图2，若，试探究，，之间的数量关系，并证明．
17．（八年级下·山西临汾·期中）如图，的对角线和相交于点O，过点O且与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若，求四边形的周长．
18．（八年级下·湖北武汉·期中）已知为平行四边形．
(1)如图1，若于M，于N，求证：；
(2)如图2，若为两条对角线，求证：．
19．（八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接．
(1)若，求的长度；
(2)求证：；
(3)求证：．
20．（八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点在上，点在上．
(1)若，求和的度数；
(2)若四边形是平行四边形，求证：．
21．（八年级下·湖南常德·期中）如图，在中，对角线相交于点O，已知，， ．
(1)求证：；
(2)过A作于E，求．
22．（八年级下·河南南阳·期中）如图，已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，于E，于F．
(1)求证：；
(2)过点D作，交的延长线于点G．求证：．
23．（八年级下·浙江湖州·期中）如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，连接；
①若，求平行四边形的周长；
②若四边形的面积是面积的倍，请用含的代数式表示．
24．（八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，分别平分， ，交于点，．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若 的周长为， ，求的面积．
25．（八年级下·广西玉林·期末）如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作于点，若，，求的长．
26．（八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平行四边形中，连接，的角平分线交与点，的角平分线交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点A作，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出与互余的角．
27．（八年级下·广西南宁·期末）已知平行四边形，E为边上的中点．
(1)如图1，若，求证：平分；
(2)若F为边上一点，连接；
①如图2，若，，求；
②如图3，若，请你写出线段之间的数量关系，并证明．
28．（八年级下·陕西榆林·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接．
(1)求证：；
(2)若，的周长是16，求的周长．
29．（八年级下·江西南昌·期中）如图，在平行四边形中，的平分线与BC的延长线交于点E，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若点F为的中点，于G，且，求的长．
30．（2023八年级下·全国·专题练习）在中，，点M为的中点，以为斜边作，连接，如图．
(1)填空：与相等的角是 ___________；
(2)求证：；
(3)利用前面的结论，，求的长．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题18.1 平行四边形的性质（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2023·山东滨州·模拟预测）如图，在平行四边形的边、上分别截取、，使得，连接，点M、N是线段上两点，且，连接、.
(1)求证：；
(2)若，，求的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点E，于点H．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，即，
，
平分，
，
，
又，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
．
3．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知：如图，在中，点E、F分别在BC、AD上，．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）
证明： 四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（2）
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
又，
．
4．（八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，．
(1)求证：与互相平分；
(2)，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵在中，点是对角线，的交点，
，
，，
，
在和中，
（），
．
，，
与互相平分．
（2）解：在中，，
，
．
由勾股定理得，
，
．
，，
，即，
，
∴．
5．（八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知在平行四边形中，点F在边上，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点A作于点G，交于点E，若，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，若G为的中点，，平行四边形的面积为144，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)8
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点作交于点，交于点，
，
由（1）可得：，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，过点作于点，于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）可得：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
在中，，即，
，
由解得：，
，
．
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）将纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．
(1)求证：；
(2)若的面积等于8，，试求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）
证明：四边形为平行四边形，
，，，
由折叠可知
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）
如图，连接，
由（1）知，，
，
，
，即，
，
，
．
7．（八年级下·全国·随堂练习）如图，在中，、分别平分、，交于点E、G．
(1)求证：，；
(2)过点E作，垂足为F．若的周长为56，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)84
【详解】（1）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）
如图，过E作于H．
∵，平分，
∴．
∵的周长为56，
∴，
∴．
8．（八年级上·山东淄博·期末）如图，E是平行四边形内一点，，，．
(1)求证：；
(2)求证：是为等腰直角三角形；
(3)判断的数量关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长交于F，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：，
理由如下：由（2）可得是等腰直角三角形，
∴，，
由（2）可得，
∴，
∵，
∴．
9．（九年级下·北京·开学考试）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为12，求四边形的周长．
【答案】(1)见详解
(2)24
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴四边形的周长为24．
10．（八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴；
∵，，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图，过E作于G，
则，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
11．（2021·黑龙江哈尔滨·三模）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解．
(2)13
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
12．（八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)18
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
由（1）知，
，
，
，
即的周长为18．
13．（八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E、．
(1)求证：≌；
(2)若与交于点O，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【详解】（1）证明：，
，即，
，，
，
，
；
（2）连接，交于点O，
≌，
，
∴，
，
四边形是平行四边形，
14．（九年级上·北京海淀·期中）如图，的对角线交于点过点且分别与交于点．
(1)求证：；
(2)记四边形的面积为，平行四边形的面积为，用等式表示和的关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
15．（八年级下·广东佛山·期末）如图，在平行四边形中，，点E为的中点，连接并延长与的延长线相交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：是的平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，连接并延长与的延长线相交于点F，
∴，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线．
16．（21-22八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点作交于点．过点作交、于点、．
(1)如图1，若，求平行四边形的面积；
(2)如图2，若，试探究，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)平行四边形的面积为30；
(2)．理由见解析
【详解】（1）解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴过点O，
∴．
∴平行四边形的面积；
（2）解：．理由如下：
过点E作，与的延长线交于点H，如图2，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平行四边形中，，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．（八年级下·山西临汾·期中）如图，的对角线和相交于点O，过点O且与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长；
答：四边形的周长为．
18．（八年级下·湖北武汉·期中）已知为平行四边形．
(1)如图1，若于M，于N，求证：；
(2)如图2，若为两条对角线，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵于，于，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于，过点作于，则：，
由（1）可知： ，
在和中，根据勾股定理得：
，，
，
在和中，根据勾股定理得：
，，
，
∵，
∴
．
19．（八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接．
(1)若，求的长度；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
；
（2）证明：如图，延长交于，
四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
（3）证明：，
，
20．（八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点在上，点在上．
(1)若，求和的度数；
(2)若四边形是平行四边形，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：∵，
∴在中，由三角形内角和定理可得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，即．
21．（八年级下·湖南常德·期中）如图，在中，对角线相交于点O，已知，， ．
(1)求证：；
(2)过A作于E，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)AE=
【详解】（1）∵四边形是平行四边形
∴，，
∴
∴是直角三角形，
∴；
（2）∵是直角三角形，
∴
∵
∴．
22．（八年级下·河南南阳·期中）如图，已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，于E，于F．
(1)求证：；
(2)过点D作，交的延长线于点G．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明方法一：
∵是平行四边形
∴（平行四边形对边相等），（平行四边形对边平行）
∴
∵，
∴
在和中，
∵
∴
∴
∵（平行四边形对角线互相平分）
即
∴
证明方法二：
∵，
∴
∴
∵是平行四边形
∴（平行四边形的对角线互相平分）
在和中，
∵
∴
∴
（2）∵，
∴
23．（八年级下·浙江湖州·期中）如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，连接；
①若，求平行四边形的周长；
②若四边形的面积是面积的倍，请用含的代数式表示．
【答案】(1)证明见解析
(2)，②
【详解】（1）证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
（2）由（1）得是等边三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的面积是面积的倍，
∴，
∴．
24．（八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，分别平分， ，交于点，．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若 的周长为， ，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：在中，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
（2）如图，作，
∵的周长为，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
25．（八年级下·广西玉林·期末）如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作于点，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
在与中，
；
（2）如图，连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
26．（八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平行四边形中，连接，的角平分线交与点，的角平分线交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点A作，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出与互余的角．
【答案】(1)见解析
(2)，，，，
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴．
∵平分，平分，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵平分，平分，
∴．
∴．
∴
∵，
∴
∵，
∴,
∴,
∴与互余；
∴
∴
∵,
∴
∴与互余；与互余；与互余；与互余；
∴与互余有，，，，．
27．（八年级下·广西南宁·期末）已知平行四边形，E为边上的中点．
(1)如图1，若，求证：平分；
(2)若F为边上一点，连接；
①如图2，若，，求；
②如图3，若，请你写出线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①5；②，见解析
【详解】（1）证明：∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）①延长，交延长线于点G，如图，
四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴
∴，，
∵，，
∴，
∴；
②，证明如下：
延长，交延长线于点G，如图，
由①可知
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
即．
28．（八年级下·陕西榆林·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接．
(1)求证：；
(2)若，的周长是16，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴,
∵，
∴是的垂直平分线，
∴,
∵的周长是16，
∴，
∴的周长．
29．（八年级下·江西南昌·期中）如图，在平行四边形中，的平分线与BC的延长线交于点E，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若点F为的中点，于G，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵为的平分线，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵F为的中点，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
在和中，，
∴．
∴，
∴．
30．（2023八年级下·全国·专题练习）在中，，点M为的中点，以为斜边作，连接，如图．
(1)填空：与相等的角是 ___________；
(2)求证：；
(3)利用前面的结论，，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)10
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：在上截取，连接，
∵，
∴，
∵点M为的中点，
∴，，
∴，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
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