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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题18.2 平行四边形的判定专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G．
(1)求证：．
(2)分别连接，试判断与的关系，并证明．
2．（2024·新疆昌吉·模拟预测）如图，是平行四边形的一条对角线，，垂足分别是E、F．求证：
(1)
(2)四边形是平行四边形．
3．（八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
4．（八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若求的度数．
5．（八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，点在上，点在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若为的角平分线，且，，求的周长．
6．（八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形中，且分别交对角线于点、，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
7．（八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四边形中，，E为中点，延长到点F，使．
(1)求证：；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，，，求四边形的面积．
8．（八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求平行四边形的面积．
9．（2023·辽宁沈阳·一模）如图，已知是等边三角形，D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F时，，连接、和．
(1)判断四边形是怎样的四边形，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
10．（2024·山西临汾·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以点M利N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)直接写出点E到的距离．
11．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长；
(3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由．
12．（八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，对角线交于点为上两点，连接，且
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若为的三等分点，求的长度．
13．（八年级下·全国·随堂练习）如图，在平行四边形中，点F是的中点，连结并延长，连接并延长，交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求平行四边形的面积．
14．（八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，连接，若平分，求的长．
15．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，①四边形是平行四边形，线段分别交于点E、O、F，②，③．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）爱动脑筋的小明发现： 在本题①、②、③三个已知条件中，有一个多余条件，去掉这个条件，四边形是平行四边形的结论依然成立，可以去掉的这个条件是 （直接写出这个条件的序号），并证明四边形是平行四边形．
16．（八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点O作，垂足为O，交于点M，若的周长为12，求四边形的周长．
17．（八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．
18．（八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形中，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点．
①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系；
②如图3，当点在线段上时，求证：．
19．（九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．
(1)用含的代数式表示的长．
(2)当点在边上运动时，求证：．
(3)当点在内部时，求的取值范围．
(4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值．
20．（八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接交于点O，若，，求的长．
21．（八年级上·山东济南·期末）已知：如图，在四边形中，，平分交于点E，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接、，若，求的度数．
22．（八年级上·吉林·期末）如图，在中，为对角线，垂直平分分别交、于点E、F，交于点O．
(1)试说明：；
(2)试说明：；
(3)如果在中，，，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿和各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
23．（2021·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平行四边形 中，分别平分和，交于点E，交于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接分别交于点G、H，连接与交于点M，与交于点N，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形除外）．
24．（九年级上·北京东城·期末）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
直接写出的度数为______；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
25．（八年级上·福建泉州·阶段练习）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)四边形______平行四边形（是或不是）
(2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有；
(3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
26．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形中，，，点、在对角线上，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长、分别交、于点、，连接并延长交于点，连接并延长交于，在不添加其它线的条件下，直接写出图中所有的平行四边形．
27．（八年级下·广东湛江·期中）如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若恰好平分，连接、，求证：四边形是平行四边形；
(3)若，，，求平行四边形的面积．
28．（八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，的延长线交于H．
(1)求证：；
(2)求证：点H是的中点；
(3)若，求．
29．（八年级下·吉林长春·期中）如图，中，E、F分别是、上的点，且，连接交于O．
(1)连接、，判断四边形的形状并说明理由．
(2)若，，的面积为2，求的面积．
(3)若，，，延长交的延长线于G，当时，则的长为______．
30．（八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，，，，．
(1)如图1，、、之间的数量关系为______；
(2)如图2，点为的中点，连接．
①求证：．
②判断与的位置关系，并说明理由．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题18.2 平行四边形的判定专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G．
(1)求证：．
(2)分别连接，试判断与的关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）证明：如图，连接，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，．
2．（2024·新疆昌吉·模拟预测）如图，是平行四边形的一条对角线，，垂足分别是E、F．求证：
(1)
(2)四边形是平行四边形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
3．（八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
4．（八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：在中，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
5．（八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，点在上，点在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若为的角平分线，且，，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵为的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
6．（八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形中，且分别交对角线于点、，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为．
【详解】（1）证明：∵在平行四边形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故的长为．
7．（八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四边形中，，E为中点，延长到点F，使．
(1)求证：；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵E为中点，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形为平行四边形；
（3）∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
8．（八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点F是的中点，
∴．
在和中，
∴≌，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，过点D作于点G，过点B作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴平行四边形的面积为．
9．（2023·辽宁沈阳·一模）如图，已知是等边三角形，D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F时，，连接、和．
(1)判断四边形是怎样的四边形，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见详解
(2)
【详解】（1）
解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）
四边形是平行四边形，
，且，
四边形是梯形．
过点作于点，
，，
，
，，
，
，
∴，
．
10．（2024·山西临汾·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以点M利N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)直接写出点E到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，
由作法得平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点E作于点Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即点E到的距离为．
11．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长；
(3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形的周长为
(3)，理由见解析
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，，
，
平行四边形的周长为：；
（3），
，
即，
中，，
，
，
，
．
12．（八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，对角线交于点为上两点，连接，且
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若为的三等分点，求的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴
即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∵E，F为的三等分点，
∴
∴
13．（八年级下·全国·随堂练习）如图，在平行四边形中，点F是的中点，连结并延长，连接并延长，交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点F是的中点，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形，
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
14．（八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，连接，若平分，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
由（）得：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
15．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，①四边形是平行四边形，线段分别交于点E、O、F，②，③．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）爱动脑筋的小明发现： 在本题①、②、③三个已知条件中，有一个多余条件，去掉这个条件，四边形是平行四边形的结论依然成立，可以去掉的这个条件是 （直接写出这个条件的序号），并证明四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）②，见解析
【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）在本题①、②、③三个已知条件中，去掉②条件，四边形是平行四边形的结论依然成立，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
16．（八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点O作，垂足为O，交于点M，若的周长为12，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知，
又，
垂直平分，
，
的周长为12，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形的周长．
17．（八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)26
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，，
，
，
，
，即，
，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
.，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长．
18．（八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形中，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点．
①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系；
②如图3，当点在线段上时，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：①，
理由如下：连接，如图所示：
由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②证明：过点作交于点，如图所示：
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，则，
，
．
19．（九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．
(1)用含的代数式表示的长．
(2)当点在边上运动时，求证：．
(3)当点在内部时，求的取值范围．
(4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)或；
(2)见解析；
(3)；
(4)1或．
【详解】（1）解：，，，
，
，
．
四边形为平行四边形，
．
①当时，，
②当时，
（2）证明：连接，如图，
在中，为对角线的中点，
经过点，，
四边形为平行四边形，
，
．
在和中，
，
，
（3）解：①当点与点重合时，如图，
由题意得：为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
②当点落在边上时，如图，
由题意得：为等边三角形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
．
．
在和中，
，
，
，
，
，
，
当点在内部时，的取值范围为：
（4）①当点在边上运动时，经过点时，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②当点在边上运动时，如果，则，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，如图，
，
，
．
综上，当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为1或．
20．（八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接交于点O，若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点G，H分别是，的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接交于点O，
如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵点G是的中点，
∴是的中位线，
∴．
21．（八年级上·山东济南·期末）已知：如图，在四边形中，，平分交于点E，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接、，若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【详解】（1）证明：∵，
∴,
又，
∴,
∴；
，
∴,
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）证明：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵中，，
∴，
（3）解：∵为等边三角形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
22．（八年级上·吉林·期末）如图，在中，为对角线，垂直平分分别交、于点E、F，交于点O．
(1)试说明：；
(2)试说明：；
(3)如果在中，，，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿和各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，
在和中，
，
（），
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
()；
（3）解：垂直平分，
，
，
，
，
的周长是
，
故的周长也是，
①当P在上，Q在上，
，
，
在和中
，
()，
，
②当P在上，Q在上，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
，
；
③当P在上，Q在上，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中
，
()，
，
；
综上所述：m与n满足的数量关系是．
23．（2021·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平行四边形 中，分别平分和，交于点E，交于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接分别交于点G、H，连接与交于点M，与交于点N，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形除外）．
【答案】(1)见解析
(2)平行四边形、平行四边形、平行四边形、平行四边形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别平分和，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴图中所有的平行四边形（平行四边形除外）为平行四边形、平行四边形、平行四边形、平行四边形．
24．（九年级上·北京东城·期末）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
直接写出的度数为______；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)，详见解析
(2)①；②
【详解】（1）解：，理由如下：
是等边三角形，
，，
，
将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
；
（2）解：①如图，当时，
则，
，
，
；
②，理由如下：
延长到，使，连接，，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
又为正三角形，
，
．
25．（八年级上·福建泉州·阶段练习）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)四边形______平行四边形（是或不是）
(2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有；
(3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)四边形的面积不变，为定值
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：是；
（2）证明：由（1）知四边形为平行四边形，则，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴和为等边三角形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴．
∴；
（3）四边形的面积不变，为定值．
理由如下：由（2）得，则，
故，是定值，
作于点，
∵，
∴，则，
∴，
综上，四边形的面积不变，为定值．
26．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形中，，，点、在对角线上，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长、分别交、于点、，连接并延长交于点，连接并延长交于，在不添加其它线的条件下，直接写出图中所有的平行四边形．
【答案】(1)见详解
(2)、、、
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴即，
∴；
（2）图中的平行四边形有：、、、，理由如下，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边；
∵，
∴四边形是平行四边形，
综上所述，图中的平行四边形有：、、、．
27．（八年级下·广东湛江·期中）如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若恰好平分，连接、，求证：四边形是平行四边形；
(3)若，，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：由（1）知，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵，，，
∴，
∴平行四边形的面积的面积．
28．（八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，的延长线交于H．
(1)求证：；
(2)求证：点H是的中点；
(3)若，求．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)6
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点C作交的延长线于点G，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由（1）可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴和互相平分，
∴点H是的中点；
（3）解：由（2）可得，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∵点H是的中点，
∴．
29．（八年级下·吉林长春·期中）如图，中，E、F分别是、上的点，且，连接交于O．
(1)连接、，判断四边形的形状并说明理由．
(2)若，，的面积为2，求的面积．
(3)若，，，延长交的延长线于G，当时，则的长为______．
【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析；
(2)；
(3)4；
【详解】（1）解：四边形是平行四边形；
证明：由题意，在中，，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积为．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
30．（八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，，，，．
(1)如图1，、、之间的数量关系为______；
(2)如图2，点为的中点，连接．
①求证：．
②判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①见详解；②，理由见详解
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
故，，
在四边形中，，
故，
∵在三角形中，，
∴，
所以、、之间的数量关系为；
（2）解：①延长至点P，使，连接，，如图所示：
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
则，
由（1）知，，
故，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
即；
②，理由如下：
延长交于点，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴
∴在中，，
即．
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