2023-2024学年湖南省郴州市嘉禾县博雅学校高一（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省郴州市嘉禾县博雅学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.如图所示，函数在下列哪个区间上是增函数( )
A. B. C. D.
3.将化成分数指数幂的形式是( )
A. B. C. D.
4.函数的图象是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，那么下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则
6.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
7.设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，，则为( )
A. B. C. D.
10.已知是定义在上的奇函数，，则下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12.设正实数、满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的单调递增区间是______．
14.幂函数的图象与轴没有交点，则 ______．
15.若函数的定义域是，则函数的定义域为 ．
16.设定义在上的偶函数，在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，集合．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，求的最小值；
已知，，且，证明：．
19.本小题分
设：实数满足，：．
若，且，都为真命题，求的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知二次函数满足，且．
求函数的解析式；
求函数在区间上的最大值和最小值．
21.本小题分
已知是定义在上的函数．
判断函数的奇偶性．
利用函数单调性的定义证明是其定义域上的增函数．
22.本小题分
某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备通过市场分析发现，每月需投入固定成本元，生产台需另投入成本元，且若每台售价元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．
求制造商所获月利润元关于月产量台的函数关系式；
当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．
先求出集合，然后求并集即可．
【解答】
解：集合，，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：观察函数图象，在、上随的增大，函数的图象是下降的，
在上随的增大，函数的图象是上升的，
因此函数在、上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上是增函数．
故选：．
利用函数图象上升所对区间确定函数单调递增区间即可．
本题考查学生分析问题解决问题的能力，函数的单调性的判断，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用分数指数幂的意义及运算化简即可．
本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数、函数的图象、绝对值的概念等基础知识，属于基础题．
本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．
【解答】
解：函数
故选：．
5.【答案】
【解析】解：若，则错，若，则不成立；
B.若，则错，若，则不成立；
C.若且，则对，若且，则
D.若且，则错，若，则不成立．
故选：．
根据不等式的性质，对、、、四个选项通过举反例进行一一验证．
此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．
6.【答案】
【解析】解：对于，与，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．
对于，与，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数；
对于，与，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数，正确；
对于，与，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数，
故选：．
判断两个函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否是相同函数．
本题考查函数是否是相同函数的方法，定义域相同，对应法则相同两个函数是相同函数，是判断的依据．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．
解得的范围，即可判断出结论．
【解答】
解：由，解得或，
故”是“”的充分不必要条件，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性问题，考查分段函数的性质，中档题．
根据函数在各个区间都单调减，且在分段点处满足，求出的范围即可．
【解答】
解：时，在递减，
则，解得：，
时，在递减，
则，解得：，
当时，，解得：，
综合，的取值范围是，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合与元素的关系的应用，涉及到分类讨论思想，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
由已知对与，分别求出的值，再求出对应的集合，，进而可以判断求解．
【解答】
解：因为集合，，，
则，解得或，
当时，集合，集合与集合元素的互异性矛盾，故，
当时，集合，集合，故成立，
当时，解得或，
当时，集合，集合，故成立，
当时，集合与集合元素的互异性矛盾，故，
综上，实数为或，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，因为是定义在上的奇函数，所以，A正确；
对于，不能确定与即与的大小关系，B错误；
对于，又，为奇函数，则有，即，C正确；
对于，无法比较，及，的大小关系．
故选：．
根据题意，由奇函数的性质依次分析选项，即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意的值，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，故，故选项C错误，选项D正确；
，，故选项A错误，选项B正确．
故选：．
利用配凑法求出函数解析式，进而得解．
本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式及结论的应用，属于基础题．
由已知结合基本不等式及相关变形结论，分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：因为，，
所以，
当且仅当且即时取等号，此时取得最小值，A正确；
由，当且仅当时取得最大值，B正确；
，当且仅当时取等号，
故即最大值为，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值，D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：可得或，的对称轴为：，开口向上，
由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间是．
故答案为：．
求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．
本题考查复合函数的单调性的求法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据幂函数的定义，得；
，
解得或；
当时，，图象与轴没有交点，满足题意；
当时，，图象与轴有交点，不满足题意；
综上，．
故答案为：．
根据幂函数的定义，求出的值，再验证是否满足题意即可．
本题考查了幂函数的定义及其应用的问题，解题时应根据幂函数的定义，结合函数的图象与性质进行解答，是基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域的求法，考查运算能力，属于基础题．
由函数的定义域是，即，那么函数的定义域满足，求解的范围可得定义域．
【解答】
解：由函数的定义域是，
即，
那么函数的定义域满足，
两边平方，可得，
即函数的定义域为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性、绝对值不等式，属于中档题．
根据函数是偶函数，可将转化成，进而利用函数的单调性结合其定义域，可得关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围
【解答】
解：因为函数是偶函数
所以，，
因为，所以，
又因为函数是定义在上的偶函数，且函数在区间上单调递减，
所以，
解得．
故答案为：．
17.【答案】解：由知：，
得，即实数的取值范围为；
由，得：
若即时，，符合题意；
若即时，需或，
得或，即，
综上知．
即实数的取值范围为．
【解析】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答题时要分类讨论，以防错解或漏解．
本题的关键是根据集合，集合且，理清集合、的关系，求实数的取值范围；
若，分两种情况进行讨论求解即可．
18.【答案】解：由题干可知，故，原式变形：．
当且仅当，解得大病时，取到等号．
所以最小值．
由题干知，，，变形得到．
则原式变形：．
当且仅当时，即，时取等号，所以成立．
【解析】可化为，再由基本不等式求其最值．
由条件可得，结合基本不等式完成证明．
本题主要考查基本不等式的简单应用，属于基础题．
19.【答案】解：若，则：，，
：且，都为真命题，
，
的取值范围为．
：，
是的充分不必要条件，
，
，，
实数的取值范围为．
【解析】先解一元二次不等式求出，再求交集即可．
由是的充分不必要条件，得到集合之间的关系，列出不等式组求解即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，充要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：设二次函数，由于，故；
所以，
二次函数满足，所以，
所以，；
故．
由得，故函数的对称轴方程为，
当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为．
【解析】直接利用待定系数法求出函数的解析式；
利用二次函数的性质求出函数的最值．
本题考查的知识点：二次函数的解析式的求法，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
21.【答案】解：因为定义域为，关于原点对称，
又，
所以是奇函数．
证明：设，
则，
因为，
所以，，
所以，
即，
所以函数在上是增函数．
【解析】利用函数奇偶性的定义，先判断定义域为，关于原点对称，再判断与的关系即可．
设，作差变形为，再判断其正负号即可．
本题考查了函数奇偶性的定义以及函数单调性的定义及证明，考查转化思想，是基础题．
22.【答案】解：当时，；
当时，，
所以．
当时，，
所以当时，；
当时，，
当且仅当，即时，取等号，
因为，
所以当时，最大，
故当月产量为台时，所获的月利润最大，最大月利润为元．
【解析】根据月利润售价月产量成本，分和两种情况写出函数关系式即可；
分别利用配方法和基本不等式的性质来求两段函数的最大值，取较大者即可．
本题考查分段函数的实际应用，训练了利用配方法与基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
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