2022-2023学年四川省雅安市天立学校高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年四川省雅安市天立学校高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 72.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-07 12:56:12 | ||
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文档简介
2022-2023学年四川省雅安市天立学校高二（下）期中数学试卷（理科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在平行六面体顶点连接的向量中，与向量相等的向量有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
2.甲、乙名同学准备报名参加，，三个社团，每人报且只报一个社团，不同的报名方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在件产品中，有件合格品，件次品．从这件产品中任意抽出件，抽出的件中恰有件次品的概率为( )
A. B. C. D.
5.命题“有一个偶数是素数”的否定是( )
A. 任意一个奇数是素数 B. 存在一个偶数不是素数
C. 存在一个奇数不是素数 D. 任意一个偶数都不是素数
6.已知一组样本数据，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为( )
A. B. C. D.
7.已知向量不共线，，则( )
A. 与共线 B. 与共线
C. ，，，四点不共面 D. ，，，四点共面
8.的展开式中二项式系数和为( )
A. B. C. D.
9.九章算术中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这人分成两组一组人，一组人，派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为( )
A. B. C. D.
10.已知四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，则等于( )
A. B. C. D.
11.已知，，和为空间中的个单位向量，且，则不可能等于( )
A. B. C. D.
12.设集合，，，，，，，，那么集合中满足条件的元素的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的展开式中的常数项为______用数字作答
14.设随机变量的分布列如下其中，则随机变量的期望 ______．
15.已知条件：，，是的充分条件，则实数的取值范围是______．
16.点是底面边长为，高为的正三棱柱表面上一点，是该棱柱内切球的一条直径，则的取值范围为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
；
．
18.本小题分
考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据见下表：
成绩
性别 合格 不合格 合计
男性
女性
合计
完成此表；
根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由．
参考公式：相关性检验的临界值表：
卡方值计算公式：其中．
19.本小题分
已知命题：对于任意，不等式恒成立，命题：实数满足．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
20.本小题分
平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为．
求线段的长；
若，，，判断能否构成空间的一组基底，若能，用此基底表示向量；若不能，说明理由．
21.本小题分
据世界田联官方网站消息，原定于年月、日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至年月至月举行据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加年月至月在广州举行的米接力的角逐接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．
甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列．
22.本小题分
请用二项式定理解决下列问题，写出必要的过程：
求除以的余数；
证明：，且．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：平行六面体，
与向量相等的向量有，，，
故选：．
利用空间向量相等的定义求解即可．
本题考查空间向量相等的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于甲有种报名方式，对于乙也有种报名方式，
故不同的报名方式有种．
故选：．
按照分步乘法计数原理计算可得．
本题考查分步乘法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由可得或，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
先解不等式可得或，然后检验充分性及必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：抽出的件中恰有件次品，包括一件次品和两件正品，共有种
从这件产品中任意抽出件，共有种
抽出的件中恰有件次品的概率为
故选：．
分别求出从这件产品中任意抽出件，抽出的件中恰有件次品的情况，即可求出概率．
本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于存在量词命题：，，否定为：，，
所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”．
故选：．
根据存在量词命题：，，否定为：，，即可解得正确结果．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：把代入，
得，
则在样本点处的残差为．
故选：．
在已知线性回归方程中，取代入求得预测值，减去实际值即可得残差．
本题考查线性回归方程的应用，考查残差的求法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，不共线，故A错误，
，则，即与不共线，故B错误，
若，则，
则，得，即，则，，，四点共面，
故选：．
根据向量共线和四点共面的条件进行判断即可．
本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量共线和四点共面的条件是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：的展开式中二项式系数和为．
故选：．
根据的展开式中二项式系数和为，计算即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这人分成两组一组人，一组人，派去两地执行公务，
基本事件总数，
大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数，
大夫、不更恰好在同一组的概率为．
故选：．
基本事件总数，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出大夫、不更恰好在同一组的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：取的中点，连接、，如图所示，
四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，
所以，，，且，所以平面；
又平面，所以；
又，所以；
又，所以；
所以．
故选：．
根据题意画出图形，结合图形即可求出的值．
本题考查了空间向量的数量积运算问题，也考查了空间中的位置关系应用问题，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：设向量分别对应向量，
由可知三个向量两两夹角为，
如图，当与重合时，所求值为；
当与重合时，所求值为；
当平面时，所求值为．
故选：．
首先由三个向量和为向量得到三向量共面且两两成度，再分情况考虑，不难得解．
此题考查了向量的几何意义，分类讨论，数形结合等，难度适中．
12.【答案】
【解析】解：由于只能取或，且“”，
因此个数值中有个是，个是和个是三种情况：
中有个取值为，另外个从，中取，共有方法数：；
中有个取值为，另外个从，中取，共有方法数：；
中有个取值为，另外个从，中取，共有方法数：．
总共方法数是即元素个数为．
故选：．
从条件“”入手，讨论所有取值的可能性，分别为个数值中有个是，个是和个是三种情况
本题考查了组合数的计算公式及其思想、集合的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：展开式的通项为，
令，得，
所以．
故答案为：．
利用二项展开式的通项即可求得的展开式中的常数项．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
．
故答案为：．
根据概率之和等于可得出，的关系，再根据期望公式即可得解．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质与期望，方程思想，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：，即，可得，
又条件：，且是的充分条件，
，可得．
故答案为：．
求出，根据充分必要条件的判断即可求得结论．
本题考查了不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：是“正三棱柱表面上的动点”的动点，
且内接球的半径为，
是该棱柱内切球的一条直径，如图所示；
，
将之转化成点到内切球球心的距离，
当点位于底面中心时最小，为，
点位于顶角时最大，为，
的取值范围是．
根据题意，画出图形，结合图形，得出内接球的半径，利用平面向量的线性运算，把转化为点到内切球球心的距离的取值范围，从而求出它的取值范围．
本题考查了空间图形的应用问题，也考查了平面向量的线性表示与运算问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．
17.【答案】解：；
．
【解析】根据向量加法法则求解即可．
本题考查向量加法法则，属于基础题．
18.【答案】解：列联表如下：
成绩
性别 合格 不合格 合计
男性
女性
合计
，
有的把握认为性别与考试是否合格有关．
【解析】根据表格中的数据列出列联表即可；利用独立性检验公式求出，进行判断即可．
本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意，命题：对于任意，不等式恒成立，
若命题为真命题，则有，
解得，即实数；
根据题意，命题：实数满足，
若命题为真命题，则有，必有，
由命题“”为真命题，“”为假命题，可知、一真一假，
若真假，则有，此时无解；
若假真，则有，解得或，
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】根据题意，由二次函数的性质可得，解可得答案；
根据题意，分析为真命题时的取值范围，由复合命题真假的判断方法可得、一真一假，由此分种情况讨论，求出的取值范围，综合即可得答案．
本题考查复合命题真假的判断，涉及二次函数的基本性质，属于基础题．
20.【答案】解：，
．
．
若向量，， 共面，则存在实数，使，
则，显然不成立，故向量，，不共面，能构成空间的一组基底．
．
【解析】本题考查利用空间向量求线段的长，考查向量不共面的证明，考查用基底向量表示空间向量，属于中档题．
由，两边平方后根据已知条件能求出结果
假设向量，， 共面，则存在实数，使，无解，从而得向量，，不共面，能构成空间的一组基底，利用向量的运算可得．
21.【答案】解：甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，
显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．
由可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为，
的可能取值为，，，，
，，，，
故的分布列为：
【解析】根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；
根据及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列．
本题主要考查离散型随机变量分布列，属于基础题．
22.【答案】解：，
由展开式可知，前项都能被整除，最后一项是，
而
其展开式的前项都能被整除，最后一项是，
所以除以的余数是；
证明：因为
，
即，故，即原不等式成立．
【解析】利用二项展开式得到被除余数为，再将写成，展开后被除即得余数为；
先考虑的展开式，利用放缩法得到，从而得到结论．
本题考查的知识点：赋值法，二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在平行六面体顶点连接的向量中，与向量相等的向量有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
2.甲、乙名同学准备报名参加，，三个社团，每人报且只报一个社团，不同的报名方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在件产品中，有件合格品，件次品．从这件产品中任意抽出件，抽出的件中恰有件次品的概率为( )
A. B. C. D.
5.命题“有一个偶数是素数”的否定是( )
A. 任意一个奇数是素数 B. 存在一个偶数不是素数
C. 存在一个奇数不是素数 D. 任意一个偶数都不是素数
6.已知一组样本数据，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为( )
A. B. C. D.
7.已知向量不共线，，则( )
A. 与共线 B. 与共线
C. ，，，四点不共面 D. ，，，四点共面
8.的展开式中二项式系数和为( )
A. B. C. D.
9.九章算术中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这人分成两组一组人，一组人，派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为( )
A. B. C. D.
10.已知四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，则等于( )
A. B. C. D.
11.已知，，和为空间中的个单位向量，且，则不可能等于( )
A. B. C. D.
12.设集合，，，，，，，，那么集合中满足条件的元素的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的展开式中的常数项为______用数字作答
14.设随机变量的分布列如下其中，则随机变量的期望 ______．
15.已知条件：，，是的充分条件，则实数的取值范围是______．
16.点是底面边长为，高为的正三棱柱表面上一点，是该棱柱内切球的一条直径，则的取值范围为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
；
．
18.本小题分
考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据见下表：
成绩
性别 合格 不合格 合计
男性
女性
合计
完成此表；
根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由．
参考公式：相关性检验的临界值表：
卡方值计算公式：其中．
19.本小题分
已知命题：对于任意，不等式恒成立，命题：实数满足．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
20.本小题分
平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为．
求线段的长；
若，，，判断能否构成空间的一组基底，若能，用此基底表示向量；若不能，说明理由．
21.本小题分
据世界田联官方网站消息，原定于年月、日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至年月至月举行据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加年月至月在广州举行的米接力的角逐接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．
甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列．
22.本小题分
请用二项式定理解决下列问题，写出必要的过程：
求除以的余数；
证明：，且．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：平行六面体，
与向量相等的向量有，，，
故选：．
利用空间向量相等的定义求解即可．
本题考查空间向量相等的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于甲有种报名方式，对于乙也有种报名方式，
故不同的报名方式有种．
故选：．
按照分步乘法计数原理计算可得．
本题考查分步乘法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由可得或，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
先解不等式可得或，然后检验充分性及必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：抽出的件中恰有件次品，包括一件次品和两件正品，共有种
从这件产品中任意抽出件，共有种
抽出的件中恰有件次品的概率为
故选：．
分别求出从这件产品中任意抽出件，抽出的件中恰有件次品的情况，即可求出概率．
本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于存在量词命题：，，否定为：，，
所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”．
故选：．
根据存在量词命题：，，否定为：，，即可解得正确结果．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：把代入，
得，
则在样本点处的残差为．
故选：．
在已知线性回归方程中，取代入求得预测值，减去实际值即可得残差．
本题考查线性回归方程的应用，考查残差的求法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，不共线，故A错误，
，则，即与不共线，故B错误，
若，则，
则，得，即，则，，，四点共面，
故选：．
根据向量共线和四点共面的条件进行判断即可．
本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量共线和四点共面的条件是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：的展开式中二项式系数和为．
故选：．
根据的展开式中二项式系数和为，计算即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这人分成两组一组人，一组人，派去两地执行公务，
基本事件总数，
大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数，
大夫、不更恰好在同一组的概率为．
故选：．
基本事件总数，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出大夫、不更恰好在同一组的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：取的中点，连接、，如图所示，
四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，
所以，，，且，所以平面；
又平面，所以；
又，所以；
又，所以；
所以．
故选：．
根据题意画出图形，结合图形即可求出的值．
本题考查了空间向量的数量积运算问题，也考查了空间中的位置关系应用问题，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：设向量分别对应向量，
由可知三个向量两两夹角为，
如图，当与重合时，所求值为；
当与重合时，所求值为；
当平面时，所求值为．
故选：．
首先由三个向量和为向量得到三向量共面且两两成度，再分情况考虑，不难得解．
此题考查了向量的几何意义，分类讨论，数形结合等，难度适中．
12.【答案】
【解析】解：由于只能取或，且“”，
因此个数值中有个是，个是和个是三种情况：
中有个取值为，另外个从，中取，共有方法数：；
中有个取值为，另外个从，中取，共有方法数：；
中有个取值为，另外个从，中取，共有方法数：．
总共方法数是即元素个数为．
故选：．
从条件“”入手，讨论所有取值的可能性，分别为个数值中有个是，个是和个是三种情况
本题考查了组合数的计算公式及其思想、集合的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：展开式的通项为，
令，得，
所以．
故答案为：．
利用二项展开式的通项即可求得的展开式中的常数项．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
．
故答案为：．
根据概率之和等于可得出，的关系，再根据期望公式即可得解．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质与期望，方程思想，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：，即，可得，
又条件：，且是的充分条件，
，可得．
故答案为：．
求出，根据充分必要条件的判断即可求得结论．
本题考查了不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：是“正三棱柱表面上的动点”的动点，
且内接球的半径为，
是该棱柱内切球的一条直径，如图所示；
，
将之转化成点到内切球球心的距离，
当点位于底面中心时最小，为，
点位于顶角时最大，为，
的取值范围是．
根据题意，画出图形，结合图形，得出内接球的半径，利用平面向量的线性运算，把转化为点到内切球球心的距离的取值范围，从而求出它的取值范围．
本题考查了空间图形的应用问题，也考查了平面向量的线性表示与运算问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．
17.【答案】解：；
．
【解析】根据向量加法法则求解即可．
本题考查向量加法法则，属于基础题．
18.【答案】解：列联表如下：
成绩
性别 合格 不合格 合计
男性
女性
合计
，
有的把握认为性别与考试是否合格有关．
【解析】根据表格中的数据列出列联表即可；利用独立性检验公式求出，进行判断即可．
本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意，命题：对于任意，不等式恒成立，
若命题为真命题，则有，
解得，即实数；
根据题意，命题：实数满足，
若命题为真命题，则有，必有，
由命题“”为真命题，“”为假命题，可知、一真一假，
若真假，则有，此时无解；
若假真，则有，解得或，
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】根据题意，由二次函数的性质可得，解可得答案；
根据题意，分析为真命题时的取值范围，由复合命题真假的判断方法可得、一真一假，由此分种情况讨论，求出的取值范围，综合即可得答案．
本题考查复合命题真假的判断，涉及二次函数的基本性质，属于基础题．
20.【答案】解：，
．
．
若向量，， 共面，则存在实数，使，
则，显然不成立，故向量，，不共面，能构成空间的一组基底．
．
【解析】本题考查利用空间向量求线段的长，考查向量不共面的证明，考查用基底向量表示空间向量，属于中档题．
由，两边平方后根据已知条件能求出结果
假设向量，， 共面，则存在实数，使，无解，从而得向量，，不共面，能构成空间的一组基底，利用向量的运算可得．
21.【答案】解：甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，
显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．
由可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为，
的可能取值为，，，，
，，，，
故的分布列为：
【解析】根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；
根据及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列．
本题主要考查离散型随机变量分布列，属于基础题．
22.【答案】解：，
由展开式可知，前项都能被整除，最后一项是，
而
其展开式的前项都能被整除，最后一项是，
所以除以的余数是；
证明：因为
，
即，故，即原不等式成立．
【解析】利用二项展开式得到被除余数为，再将写成，展开后被除即得余数为；
先考虑的展开式，利用放缩法得到，从而得到结论．
本题考查的知识点：赋值法，二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
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