2022-2023学年黑龙江省佳木斯八中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省佳木斯八中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中不正确的是( )
A. 正四棱锥的侧面都是正三角形
B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
C. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D. 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
2.已知复数在复平面上对应的点为，则( )
A. 的虚部为 B. C. D. 是纯虚数
3.已知函数，的图象在区间内至多存在条对称轴，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.若，，三点共线，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰长为，上底长为的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )
A. B. C. D.
7.如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，为的中点，点在以为直径的半圆上，已知以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知向量与向量均为单位向量，且它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有( )
A. 的最小正周期为
B. 是的最小值
C. 在区间上的值域为
D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
10.下列命题中正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B. 棱柱的面中，至少有两个面互相平行
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
D. 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
11.已知，，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
12.已知向量，满足，，且，则( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 与的夹角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数其中是虚数单位的虚部是 ．
14.如图，底面半径为，高为的圆柱，在点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路线的长是______．
15.下列四个命题中：已知，则；
；
若，则；
在锐角中，已知，则其中真命题的编号有______．
16.已知，，当 ______时，向量，不能作为平面向量的一组基底．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知复数，其中为虚数单位，．
若是纯虚数，求的值；
在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
18.本小题分
设，，向量，，，且，．
求，的值；
求的值．
19.本小题分
已知锐角，，满足，，求．
20.本小题分
欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数自然对数的底数，圆周率，两个单位虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
将复数表示成为虚数单位的形式；
求的最大值．
21.本小题分
已知向量．
求函数的最小正周期和严格增区间；
求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值．
22.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，且．
求角的大小；
若，且，求边长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故A错误；
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故B正确；
用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确；
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确．
故选：．
由正四棱锥的概念判断；由旋转体的结构特征判断．
本题考查多面体与旋转体的结构特征，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：：因为复数在复平面上对应的点为，
则，所以复数的虚部为，故A错误；
：，故B错误；
：，故C错误；
：，为纯虚数，故D正确．
故选：．
根据题意得，根据虚部的概念、模的求法、共轭复数的概念、纯虚数的概念依次判断选项，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数的图象在区间内至多存在条对称轴，
，，．
故选：．
由题意，根据余弦函数图象的对称轴，求得的取值范围．
本题主要考余弦函数图象的对称轴，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以
．
故选：．
利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得．
本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系在三角函数值求解中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
若，，三点共线，则，
所以，
解得或．
故选：．
由题意可得，再利用向量共线求解即可．
本题考查向量共线相关知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图如下图：
则，
则把直观图还原为平面图形如下图：
这个平面图形的面积为．
故选：．
由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，再计算平面图形的面积即可．
本题考查的知识点是斜二测画法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：两个半圆的面积之比为，则半径之比为，
即，，
故，，，
故，，
所以．
故选：．
根据面积比得到，确定，，再根据计算得到答案．
本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，，
则，
故向量在向量上的投影向量为．
故选：．
由已知条件求出，再由投影向量公式计算即可求出答案．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于项，由图象可知，，所以，故A正确；
对于项，因为，所以，所以．
因为，所以，
所以．
取，则，
所以是的最小值，故B正确；
对于项，因为，所以，
根据正弦函数的图象可知，
当，即时，函数有最小值为；
当，即时，函数有最大值为，故C错误；
对于项，把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数解析式为，故D正确．
故选：．
由图象可推出；然后求出，根据，可推得取，则，代入，可得出项；求出，即可根据正弦函数的图象，得出值域；利用图象平移，即可得出项．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，
而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误；
由棱柱定义可知棱柱的面中，至少有两个面互相平行，故B正确；
一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确；
一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥，故D错误．
故选：．
依据棱柱定义判断选项A、；一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和可以判断；根据正棱锥定义即可判断．
本题主要考查棱柱的结构特征，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，
则，故A正确；
对于，，，
则，故B错误；
对于，设，，，
，
，
，，
故，故C正确；
对于，设，
则，
故，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及特殊值法，即可依次求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，，且，
，即，即，故A正确；
，与不垂直，故B错误；
，且，与的夹角为，故C正确，D错误．
故选：．
由已知求得判断；再由数量积是否为判断；由数量积求两个向量的夹角判断与．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
则的虚部为．
故答案案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：沿母线把圆柱展开，可得它的侧面展开图为矩形，此矩形的边长分别为，，
则蚂蚁爬行的最短距离等于此矩形的对角线长，等于．
故答案为：．
根据题意可得，蚂蚁爬行的最短距离等于圆柱侧面展开图构成的矩形的对角线长，利用勾股定理，即可求出蚂蚁爬行的最短距离．
本题主要考查圆柱的侧面展开图的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：对于：因为，所以，所以，即，解得，故不正确；
对于：由诱导公式知，故正确；
对于：因为，所以由二倍角的余弦公式有：，故正确；
对于：因为在锐角中，，所以，
所以，
所以，故不正确．
故答案为：．
利用诱导公式和三角恒等变换知识逐一判定各命题的真假即可．
本题考查诱导公式和三角恒等变换，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：要使向量，不能作为平面向量的一组基底，则向量，共线，
，
，
，
，
即当时，向量，不能作为平面向量的一组基底．
故答案为：．
利用向量共线即可求出结果．
本题考查的知识点：向量共线的充要条件，三角函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：若是纯虚数，
则，解得；
在复平面内对应的点在第二象限，
则，解得，
故的取值范围为．
【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】解 由得
即，所以 分
由得，
所以 分
因为，，
所以，分
所以 分
【解析】由得，利用向量的数量积的坐标表示可求；由结合向量平行的坐标表示可求
由，，可求，进而可求
本题主要考查了向量的基本运算的坐标表示，向量的数量积的性质的坐标表示，属于基础试题
19.【答案】解：，，，
，，
．
【解析】利用同角三角函数平方关系可求得和，由，利用两角和差正弦公式可求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：，
；
，
．
即的最大值为．
【解析】由已知结合复数代数形式的加减运算得答案；
由已知结合复数模的定义求解．
本题考查复数的指数形式，考查复数代数形式的加减运算及复数模的求法，是基础题．
21.【答案】解：已知向量，，
所以．
故函数的最小正周期为；
由，解得：，，
故函数的严格增区间为．
由于，得．
故当，即时，取得最大值，最大值为；
当，即时，取得最小值，最小值为．
【解析】首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间．
直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可．
本题考查了平面向量数量积运算公式，三角函数的图像和性质，是中档题．
22.【答案】解：在中，根据余弦定理，且，
，
，
又，
；
，
，
由正弦定理，得，
，
，
．
，
．
【解析】此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．
利用余弦定理列出关系式，与已知等式结合整理后求出的值，根据为三角形内角，利用特殊角的三角函数值求出的度数；
由三角形内角和定理列出关系式，将度数代入表示出，根据与的值，利用正弦定理表示出，根据的范围利用正弦函数值域即可确定出的范围．
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