2022-2023学年江苏省连云港市海州高级高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省连云港市海州高级高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.，互为共轭复数，，则( )
A. B. C. D.
2.的三内角，，所对边分别为，，，若，则角的大小为( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，则角的值为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象关于对称，且，则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，，是线段上的两个三等分点，则下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
10.某人向正东方向走后，向右转，然后朝新方向走，结果他离出发点恰好是，那么的值可能为( )
A. B. C. D.
11.计算下列各式，结果为的是( )
A. B.
C. D.
12.如图，中，，点在线段上，与交于点，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. ：：
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于第______象限．
14.若，则______．
15.已知，的两个单位向量，且，则______．
16.设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
若复数，当实数为何值时：
是实数；
对应的点在第二象限．
18.本小题分
已知向量，，．
若，求的值；
若向量，求的值．
19.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，．
求；
若，且的面积为，求的周长．
20.本小题分
已知中，点在线段上，且，延长到，使设．
用表示向量；
若向量与共线，求的值．
21.本小题分
如右下图所示，某人为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高，选与塔底同在水平面内的两个观测点与，在点测得塔底在北偏东方向，然后向正东方向前进米到达，测得此时塔底在北偏东方向．
求点到塔底的距离；
若在点测得塔顶的仰角为，求铁塔的高．
注：结果保留根号
22.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，且．
求；
若的面积为；
已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
求内角的角平分线长的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，互为共轭复数，，
．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．
利用余弦定理即可得出．
【解答】
解：由余弦定理可得，
而，
．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：，，显然，
．
故选：．
根据向量共线得，则．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为在中，，，，
所以由正定理得：，
由于，
所以．
故选：．
根据正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题．
根据题意得：，结合向量加法的平行四边形法则及平面向量的基本运算可求．
【解答】
解：根据题意得：，
又，，
所以．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二倍角公式，属于基础题．
由条件，两边平方，根据二倍角公式和同角三角函数的平方关系即可求出．
【解答】
解：，
，
，
故选A．
7.【答案】
【解析】解：由，均为单位向量，且，的夹角为，
则，
则在方向上的投影向量为，
故选：．
由平面向量数量积运算，结合投影的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影的运算，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：函数，其中，，，
由于它的的图象关于对称，
，化简可得，
，，
，故，
再根据，可得，
则，故．
故选：．
根据辅助角公式以及三角函数的性质可得，根据对称，可得将诱导公式与二倍角公式相结合即可得结果．
本题主要考查了辅助角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
由已知结合向量的线性运算即可求解．
【解答】
解：由题意得，则，A正确；
，则，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选AB．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，作出图象，如下图所示，
由题意得，
由余弦定理得，
解得或．
故选：．
根据题意，作出图象，结合余弦定理，即可得答案．
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，A正确；
对于，，B错误；
对于，原式，C错误；
对于，原式，正确．
故选：．
对于，利用辅助角的正弦公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于，利用二倍角的正切公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于，利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数值即可求解判断．
本题主要考查了二倍角公式及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于：因为，
所以，即A正确；
对于：设，，
由选项A知，，
所以，
因为，即点是的中点，
所以，
所以，解得，，
所以，，
所以，即B错误；
对于：，
，
，
所以，即C正确；
对于：由上可知，，
所以：：：，即D正确．
故选：．
选项A，由已知可得：：，进而得；选项B，设，，以为基底表示，可构造关于和的方程组，解之，即可作出判断；选项C，根据向量的线性运算法则即可判断；选项D，根据，利用三角形面积比即可判断．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】四
【解析】解：由，得，
所以复数对应的点为，该点位于第四象限．
故答案为：四．
根据复数的除法运算化简，再由复数的几何意义，即可得解．
本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
把所求式子中的角度变为，利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将已知的等式值代入即可求出值．
此题考查了两角和与差的余弦函数公式，灵活变换所求式子的角度，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，的两个单位向量，且，
可得，所以，
可得．
故答案为：．
利用向量的模求解向量的数量积，然后转化求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．
16.【答案】
【解析】解：因为，
则，，
又，
故由正弦定理可得：
，
又为锐角三角形，
故可得，
解得，
则，
由于，在上单调递增，
当，当，
故，即．
故答案为：．
根据已知条件，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换将目标式化为角的函数关系，再求的取值范围，根据函数值域即可求得结果．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及余弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
17.【答案】解：因为，是实数，
则，解得或；
若对应的点在第二象限，
则，解得，
即的取值范围为．
【解析】根据已知条件，结合复数的分类，即可求解；
根据复数的几何意义，即可列不等式求解．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】解：，，
若，
则，
即，
得，
；
，
则，
，
，
则，
即，
的值为．
【解析】由已知向量的坐标结合向量垂直的坐标运算可求的值；
根据数量积的坐标运算，结合三角函数的性质即可求解．
本题考查向量的数量积的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，属中档题．
19.【答案】解：因为，则，
由已知可得，
可得，
因此，；
由三角形的面积公式可得，
解得，
由余弦定理可得，
因为，解得，
所以的周长为．
【解析】利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长．
本题考查了三角恒等变形及解三角形，属于中档题．
20.【答案】解：，
为的中点，
，
可得，
而．
由，得，
与共线，
设，
即，
根据平面向量基本定理，得，
解得．
【解析】本题考查了向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
由是中点，得，从而算出，再由向量减法法则即可得到；
根据的结论，可得关于向量的表示式，而，结合向量共线建立方程组，解之即可得到实数的值．
21.【答案】解：由题意可得，，，可得，
由正弦定理可得：，即，
可得；
由可得，
，即，可得，
在中，，
所以．
即铁塔的高为．
【解析】由题意可得，，的值，进而求出的大小，由正弦定理可得的值；
由及正弦定理可得的值，在直角三角形中，由的正切值可得的值．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
22.【答案】解：由正弦定理得，即，
由余弦定理有，又，
所以；
由知，又的面积为，
则，解得，
也，
则
，
当且仅当时，等号取得到，
所以；
由题，，
所以，
因为，所以，
所以，
又，，
故，
由基本不等式，当且仅当时，等号取得到，
故，
故，所以．
【解析】由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值．
本题考查了向量运算和正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
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