2022-2023学年广东省清远市四校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年广东省清远市四校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 54.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-07 13:12:59 | ||
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文档简介
2022-2023学年广东省清远市四校联盟高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，其中为虚数单位若复数为实数，则的值为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列既是奇函数，在上又是单调递增函数的是( )
A. B. C. D.
4.设向量， ，则等于( )
A. B. C. D.
5.要得到的图象，只要将的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
6.如图所示，是的边上的中点，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，则
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知，，则下列结论中正确的个数为( )
与同向共线的单位向量是；
与的夹角余弦值为；
向量在向量上的投影向量为；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下关于平面向量的说法中，正确的是( )
A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等
C. 平行向量也叫做共线向量 D. 零向量的方向是任意的
10.下列不等式中成立的是( )
A. B.
C. D.
11.已知，，则( )
A. B. C. D.
12.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 函数的图像关于直线对称 B. 函数的图像关于点对称
C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，且，则______．
14.函数的定义域为______．
15.复数满足，则的虚部为______， ______．
16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，已知 的顶点，，．
求顶点的坐标；
已知点，判断，，三点的位置关系，并做出证明．
18.本小题分
已知向量，．
求；
已知，且，求向量与向量的夹角．
19.本小题分
的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
Ⅰ求角；
Ⅱ若，，求的面积．
20.本小题分
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点
求的值；
若角满足，求的值．
21.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数的最小正周期；
Ⅱ求函数在区间上的最小值和最大值．
22.本小题分
对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润利润销售额成本为万元，当基底产出该中药材吨时，年利润为万元．
年利润单位：万元关于年产量单位：吨的函数关系式；
当年产量为多少时精确到吨，所获年利润最大？最大年利润是多少精确到吨？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为复数，复数为实数，
所以，解得．
故选：．
根据复数的概念列出方程，求解即可．
本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：原命题“，有”
命题“，有”的否定是：
，使．
故选：．
全称命题：“，”的否定是特称命题：“，非”，结合已知中原命题“，都有有”，易得到答案．
本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“，”的否定是特称命题：“，非”，是解答此类问题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是正弦函数，是奇函数，在上不是递增函数，不符合题意，
对于，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于，，是正切函数，是奇函数，在上不是递增函数，不符合题意，
对于，，是反比例函数，既是奇函数，在上又是单调递增函数，符合题意，
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、单调性，综合可得答案．
本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积的坐标公式和向量的数乘运算，属于基础题．
运用向量的数量积的坐标公式和数乘运算，即可得到．
【解答】
解：向量， ，
则，
则有
．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
由条件利用函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
【解答】
解：将向右平移个单位得：，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：在中，，
故选C．
根据向量的几何意义即可求出
本题考查了向量的加减混合运算，属于基础题
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦函数的图象，属基础题．
由题意可得，由周期可得，可得，代点可得值．
【解答】
解：由题意可得，，
周期，，
，
代点可得，
结合可得，
解得．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，，
，，，
与同向共线的单位向量是，即正确；
与的夹角余弦值为，即错误；
向量在向量上的投影为，投影向量为即正确；
，，即正确，
综上，正确的有个．
故选：．
易知，，，与同向共线的单位向量是；由，得解；向量在向量上的投影为，投影向量为，验证是否成立，即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，理解单位向量、投影向量，以及熟练掌握平面向量数量积的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：既有大小，又有方向的量叫做向量，故A正确；
所有单位向量的模都相等，方向不一定相同，故B错误；
平行向量也叫做共线向量，故C正确；
零向量的方向是任意的，故D正确．
故选：．
由向量及其有关概念逐一分析四个选项得答案．
本题考查向量的基本概念，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：对，因为，故A错误；
对，因为，，所以，故B正确；
对，因为，故C错误；
对，，故D正确．
故选：．
根据特殊角的三角函数可判断，由三角函数的诱导公式及正弦函数的单调性可判断．
本题考查三角函数的性质，考查比较大小的问题，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题．
将已知等式两边平方，由同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦即可求得，从而判断选项A；求出，结合已知即可求得，，从而可判断选项B，；利用二倍角的余弦公式可求得，即可判断选项D．
【解答】
解：，两边同时平方得，
即，
所以，故A正确；
，联立，
解得，或，，
因为，所以，，
所以，故B错误；
，故C正确；
因为，所以，
所以，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由于；
故函数是周期为的奇函数，函数的图象关于对称，函数没有对称轴，函数在区间上不具备单调性；
故选：．
直接利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成，进一步利用正切函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意知存在一实数使得：
答案为：
由，必存在一实数使得，即可解出的值．
本题主要考查平行向量的判定定理的逆应用．
14.【答案】
【解析】解：由，解得．
函数的定义域为．
故答案为：．
直接由根式内部的代数式大于等于，对数的真数大于，联立不等式组求解即可．
本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由已知可得，
所以，复数的虚部为，
．
故答案为：；．
利用复数的除法法则可化简复数，利用复数的概念及模长公式可得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向三角形集中，再通过正弦或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
设此山高，在中，利用仰角的正切表示出，进而在中利用正弦定理求得．
【解答】
解：设此山高，则，
在中，，，，．
根据正弦定理得，
解得
故答案为：．
17.【答案】解：由平行四边形可得：，又，，，，
所以，
的坐标为；
，，三点共线；
因为，，，
所以，又有公共点，
所以，，三点共线．
【解析】由平行四边形可得，然后根据向量的坐标运算即得；
根据坐标关系可得，进而即得．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
18.【答案】解：，
所以，
所以；
由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以向量与向量的夹角为．
【解析】根据向量的坐标运算求向量的模即可；
由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ因为，由正弦定理可得：，
在三角形中，，所以，，
所以；
Ⅱ因为，，，
由正弦定理可得：，即，
可得，因为，可得，则为锐角，
所以，
所以在三角形中，，
所以．
【解析】Ⅰ由正弦定理化简已知等式，由三角形中，角的正弦值不等于，可得的正切值，进而求出角的大小；
Ⅱ由Ⅰ及正弦定理可得的正弦值，由三角形中，大边对大角可得为锐角，再由三角形中，的正弦用，的角表示可得，代入三角形的面积公式，求出三角形的面积．
本题考查三角形中正弦定理的应用及三角形面积的求法，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
20.【答案】解：
角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点
，，，
；
由，，，
得，，
又由，
得
，
则
，
或
．
的值为或．
【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了两角差的余弦函数公式，是中档题．
由已知条件即可求，则的值可得；
由已知条件即可求，，，再由，代值计算得答案．
21.【答案】解：．
因此，函数的最小正周期为．
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．
先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
根据正弦函数的单调性和的范围，进而求得函数的最大和最小值．
22.【答案】解：当基底产出该中药材吨时，年成本为万元，
利润为，解得，
则．
当，，对称轴为，则函数在上单调递增，故当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以当年产量为时，所获年利润最大，最大年利润是．
【解析】由基地产出该中药材吨时，年利润为万元，列出方程，即可求解；
当时，求得万元；当时，结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，其中为虚数单位若复数为实数，则的值为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列既是奇函数，在上又是单调递增函数的是( )
A. B. C. D.
4.设向量， ，则等于( )
A. B. C. D.
5.要得到的图象，只要将的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
6.如图所示，是的边上的中点，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，则
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知，，则下列结论中正确的个数为( )
与同向共线的单位向量是；
与的夹角余弦值为；
向量在向量上的投影向量为；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下关于平面向量的说法中，正确的是( )
A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等
C. 平行向量也叫做共线向量 D. 零向量的方向是任意的
10.下列不等式中成立的是( )
A. B.
C. D.
11.已知，，则( )
A. B. C. D.
12.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 函数的图像关于直线对称 B. 函数的图像关于点对称
C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，且，则______．
14.函数的定义域为______．
15.复数满足，则的虚部为______， ______．
16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，已知 的顶点，，．
求顶点的坐标；
已知点，判断，，三点的位置关系，并做出证明．
18.本小题分
已知向量，．
求；
已知，且，求向量与向量的夹角．
19.本小题分
的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
Ⅰ求角；
Ⅱ若，，求的面积．
20.本小题分
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点
求的值；
若角满足，求的值．
21.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数的最小正周期；
Ⅱ求函数在区间上的最小值和最大值．
22.本小题分
对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润利润销售额成本为万元，当基底产出该中药材吨时，年利润为万元．
年利润单位：万元关于年产量单位：吨的函数关系式；
当年产量为多少时精确到吨，所获年利润最大？最大年利润是多少精确到吨？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为复数，复数为实数，
所以，解得．
故选：．
根据复数的概念列出方程，求解即可．
本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：原命题“，有”
命题“，有”的否定是：
，使．
故选：．
全称命题：“，”的否定是特称命题：“，非”，结合已知中原命题“，都有有”，易得到答案．
本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“，”的否定是特称命题：“，非”，是解答此类问题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是正弦函数，是奇函数，在上不是递增函数，不符合题意，
对于，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于，，是正切函数，是奇函数，在上不是递增函数，不符合题意，
对于，，是反比例函数，既是奇函数，在上又是单调递增函数，符合题意，
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、单调性，综合可得答案．
本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积的坐标公式和向量的数乘运算，属于基础题．
运用向量的数量积的坐标公式和数乘运算，即可得到．
【解答】
解：向量， ，
则，
则有
．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
由条件利用函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
【解答】
解：将向右平移个单位得：，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：在中，，
故选C．
根据向量的几何意义即可求出
本题考查了向量的加减混合运算，属于基础题
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦函数的图象，属基础题．
由题意可得，由周期可得，可得，代点可得值．
【解答】
解：由题意可得，，
周期，，
，
代点可得，
结合可得，
解得．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，，
，，，
与同向共线的单位向量是，即正确；
与的夹角余弦值为，即错误；
向量在向量上的投影为，投影向量为即正确；
，，即正确，
综上，正确的有个．
故选：．
易知，，，与同向共线的单位向量是；由，得解；向量在向量上的投影为，投影向量为，验证是否成立，即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，理解单位向量、投影向量，以及熟练掌握平面向量数量积的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：既有大小，又有方向的量叫做向量，故A正确；
所有单位向量的模都相等，方向不一定相同，故B错误；
平行向量也叫做共线向量，故C正确；
零向量的方向是任意的，故D正确．
故选：．
由向量及其有关概念逐一分析四个选项得答案．
本题考查向量的基本概念，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：对，因为，故A错误；
对，因为，，所以，故B正确；
对，因为，故C错误；
对，，故D正确．
故选：．
根据特殊角的三角函数可判断，由三角函数的诱导公式及正弦函数的单调性可判断．
本题考查三角函数的性质，考查比较大小的问题，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题．
将已知等式两边平方，由同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦即可求得，从而判断选项A；求出，结合已知即可求得，，从而可判断选项B，；利用二倍角的余弦公式可求得，即可判断选项D．
【解答】
解：，两边同时平方得，
即，
所以，故A正确；
，联立，
解得，或，，
因为，所以，，
所以，故B错误；
，故C正确；
因为，所以，
所以，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由于；
故函数是周期为的奇函数，函数的图象关于对称，函数没有对称轴，函数在区间上不具备单调性；
故选：．
直接利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成，进一步利用正切函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意知存在一实数使得：
答案为：
由，必存在一实数使得，即可解出的值．
本题主要考查平行向量的判定定理的逆应用．
14.【答案】
【解析】解：由，解得．
函数的定义域为．
故答案为：．
直接由根式内部的代数式大于等于，对数的真数大于，联立不等式组求解即可．
本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由已知可得，
所以，复数的虚部为，
．
故答案为：；．
利用复数的除法法则可化简复数，利用复数的概念及模长公式可得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向三角形集中，再通过正弦或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
设此山高，在中，利用仰角的正切表示出，进而在中利用正弦定理求得．
【解答】
解：设此山高，则，
在中，，，，．
根据正弦定理得，
解得
故答案为：．
17.【答案】解：由平行四边形可得：，又，，，，
所以，
的坐标为；
，，三点共线；
因为，，，
所以，又有公共点，
所以，，三点共线．
【解析】由平行四边形可得，然后根据向量的坐标运算即得；
根据坐标关系可得，进而即得．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
18.【答案】解：，
所以，
所以；
由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以向量与向量的夹角为．
【解析】根据向量的坐标运算求向量的模即可；
由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ因为，由正弦定理可得：，
在三角形中，，所以，，
所以；
Ⅱ因为，，，
由正弦定理可得：，即，
可得，因为，可得，则为锐角，
所以，
所以在三角形中，，
所以．
【解析】Ⅰ由正弦定理化简已知等式，由三角形中，角的正弦值不等于，可得的正切值，进而求出角的大小；
Ⅱ由Ⅰ及正弦定理可得的正弦值，由三角形中，大边对大角可得为锐角，再由三角形中，的正弦用，的角表示可得，代入三角形的面积公式，求出三角形的面积．
本题考查三角形中正弦定理的应用及三角形面积的求法，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
20.【答案】解：
角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点
，，，
；
由，，，
得，，
又由，
得
，
则
，
或
．
的值为或．
【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了两角差的余弦函数公式，是中档题．
由已知条件即可求，则的值可得；
由已知条件即可求，，，再由，代值计算得答案．
21.【答案】解：．
因此，函数的最小正周期为．
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．
先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
根据正弦函数的单调性和的范围，进而求得函数的最大和最小值．
22.【答案】解：当基底产出该中药材吨时，年成本为万元，
利润为，解得，
则．
当，，对称轴为，则函数在上单调递增，故当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以当年产量为时，所获年利润最大，最大年利润是．
【解析】由基地产出该中药材吨时，年利润为万元，列出方程，即可求解；
当时，求得万元；当时，结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
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