2023-2024学年山东省德州市禹城市李屯中学九年级（下）开学数学试卷(含解析）

2023-2024学年山东省德州市禹城市李屯中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.年月日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为( )
A. 年
B. 年
C. 年
D. 年
2.为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩单位：个如下：
，，，，，，，，，．
根据这组数据判断下列结论中错误的是( )
A. 这组数据的众数是 B. 这组数据的中位数是
C. 这组数据的平均数是 D. 这组数据的方差是
3.如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是( )
A.
B.
C.
D. 是直角三角形
4.实数，，在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
5.一元二次方程的两根为，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在同一平面直角坐标系中，函数与为常数且的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
8.如图，过边长为的等边的边上一点，作于，为延长线一点，当时，连结交于，则的长为
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
9.如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，则的面积是 ．
10.设为正整数，且，则的值为______．
11.甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修千米，乙工程队需要修千米已知乙工程队每个月比甲工程队多修千米，最终用的时间比甲工程队少半个月若设甲工程队每个月修千米，则可列出方程为______
12.已知，，，，都是边长为的等边三角形，按如图所示摆放点，，，都在轴正半轴上，且，则点的坐标是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
计算：
；
解不等式组：．
14.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接，．
求反比例函数和一次函数的表达式；
求的面积；
请根据图象直接写出不等式的解集．
15.本小题分
义务教育课程方案和义务教育劳动课程标准年版正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；清洁与卫生，整理与收纳，家用器具使用与维护，烹饪与营养学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
本次调查中，一共调查了______名学生，其中选择“家用器具使用与维护”的女生有______名，“烹饪与营养”的男生有______名；
补全上面的条形统计图和扇形统计图；
学校想从选择“家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．
求证：≌．
若求证：四边形是正方形．
17.本小题分
【模型建立】如图，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
求证：；
用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】如图，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：亿年年年，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2.【答案】
【解析】解：这组数据中出现的次数最多，故众数为，故选项A不符合题意；
把这组数据从小到大排列，排在中间的数分别为和，故中位数，故选项B符合题意；
这组数据的平均数是：，故选项C不符合题意；
这组数据的方差为：，故选项D不符合题意．
故选：．
分别根据众数、中位数、平均数以及方差的定义解答即可．
本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、四边形是菱形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，故选项A不符合题意；
B、没有条件证明四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
，
，故选项C不符合题意；
D、，，
是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：．
A、由菱形的性质得，，，再证四边形是平行四边形，得，则；
B、没有条件证明四边形是菱形，故BE不成立；
C、由平行四边形的性质得，再由，则；
D、由，，得是直角三角形；即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由数轴可得，，，
，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据数轴可得：，，然后对各个选项逐一判断即可．
本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两根为，，
；．
．
故选：．
直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
6.【答案】
【解析】解：当时，则，一次函数图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，所以选项正确，选项错误；
当时，一次函数图象经过第一、二，四象限，所以、选项错误．
故选：．
根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．
本题考查了反比例函数图象：反比例函数为双曲线，当时，图象分布在第一、三象限；当时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
7.【答案】
【解析】解：，
两边同乘，去分母得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
原分式方程的解为非负数，
，且
解得：且，
故选：．
解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．
本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；证明三角形全等是解决问题的关键．
过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证≌，推出，推出即可．
【解答】
解：过作交于如图所示：
，是等边三角形，
，是等边三角形，
，
，
，
，，
．
在和中，，
≌，
，
，
，
，
，
．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积，证得是解题的关键．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，得到，，即可得到，由反比例函数系数的几何意义即可求得结论．
【解答】
解：点是的中点，
，，
，
，
点在双曲线上，轴，
，
，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：，
，
即，
，
故答案为：．
先对该算式进行计算，再进行无理数大小的估算．
此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法．
11.【答案】
【解析】解：乙工程队每个月比甲工程队多修千米，且甲工程队每个月修千米，
乙工程队每个月修千米．
根据题意得：．
故答案为：．
根据两个工程队工作效率间的关系，可得出乙工程队每个月修千米，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙工程队所用的时间比甲工程队少半个月，即可列出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，是边长为正三角形，
，，
点横坐标为，点横坐标为，点横坐标为，点横坐标为，
因此点横坐标为，
，而是偶数，
点在第一象限，
点的纵坐标为，
即点，
故答案为：
根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点横坐标为，点横坐标为，点横坐标为，点横坐标为，因此点横坐标为，再根据这些正三角形的排列规律得出点在第一象限，求出点的纵坐标为，得出答案．
本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．
13.【答案】解：原式
；
解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集为．
【解析】先根据绝对值的意义和完全平方公式计算，然后合并即可；
分别解两个不等式得到和，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．也考查了解一元一次不等式组．
14.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
．
．
反比例函数的表达式为．
在反比例函数的图象上，
．
，舍去．
点的坐标为．
点，在一次函数的图象上，把点，分别代入，得，
．
一次函数的表达式为．
点为直线与轴的交点，
．
．
由题意得，或．
【解析】根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
根据三角形面积的和差，可得答案；
根据函数图象可得，一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围，即可得解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式．
15.【答案】，，；
选择“烹饪与营养”的人数所占的百分比为：，
补全上面的条形统计图和扇形统计图为：
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为，
所以所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【解析】解：名，
所以本次调查中，一共调查了名学生，
“家用器具使用与维护”的女生数为名，
“烹饪与营养”的男生数为名；
故答案为：；；；
见答案
见答案．
先用选择的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出选择的人数，从而得到选择的女生人数，然后计算出选择的人数，从而得到选择的男生人数；
由得到选择的女生人数和选择的男生人数，再计算出选择的人数所占的百分比，然后补全条形统计图和扇形统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了统计图．
16.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
在与中，
，
≌；
四边形是平行四边形，
，，．
，，
，．
在和中
≌，
．
又≌，
．
四边形为平行四边形．
，
．
平分，
，
，
，
又，
平行四边形是正方形．
四边形是正方形．
【解析】根据全等三角形的判定定理证得结论；
先证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合，即可证得该平行四边形是正方形．
本题考查了正方形的判定，判定一个四边形是正方形的方法有：
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
还可以先判定四边形是平行四边形，再用或进行判定．
也考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．
17.【答案】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
；
解：理由如下：
是等边三角形，
，
点与点关于对称，
，
，
；
解：理由如下：
如图，过点作于，
点与点关于对称，
，
又，
，
又，
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，
，
∽，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即：．
【解析】根据和都是等边三角形推出判定和全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证；
根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段，，的数量关系；
过点作于，根据等腰直角三角形的性质推出判定∽，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段，，的数量关系．
本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，深入理解题意是解决问题的关键．
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