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2023-2024学年八年级下册数学
第18章平行四边形素养综合检测试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在平行四边形中，已知，，，则的长为
( )
A. B. C. D.
答案:A
【解析】
此题主要考查了平行四边形的性质，以及勾股定理关键是掌握平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质可得，，再利用勾股定理计算出长即可．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
故选A．
2.如图，在 中，，则的度数为
( )
A. B. C. D.
答案:C
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故选C．
此题考查了平行四边形的性质有关知识，由在平行四边形中，，即可求得与的度数，继而求得答案．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故选C．
3.如图，是等边三角形，点是三角形内一点，，，，若的周长为，则( )
A. B.
C. D. 条件不够，不能确定
答案:C
【解析】
本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
延长交于点，延长交于点，进而利用平行四边形的判定与性质及等边三角形的判定与性质即可求解此题．
【解答】
解：延长交于点，延长交于点，
，，，
四边形、四边形均为平行四边形，
，．
又为等边三角形，
易得和也是等边三角形，
，，
，
故选C．
4.如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是
( )
A. B.
C. D.
答案:C
【解析】【解答】
解：、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
5.如图所示，在四边形中，对角线与交于点，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
答案:D
【解析】
此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】
解：，，
四边形是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
B.，，
四边形是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
C.，，
四边形是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
D.，，
四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能能判定这个四边形是平行四边形．
故选D．
6.如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点不与点，重合，作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
答案:A
【解析】
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及垂线段最短等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
先由勾股定理求出，再证四边形是矩形，得，当时，最短，此时也最小，则最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案．【解答】
解：连接，如图所示：
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
点是的中点，
，
当时，最短，此时也最小，则最小，
的面积，
，
，
故选A．
7.如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
答案:A
【解析】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
过点作于点，过点作于点，求出，，证明≌，推出，延长，过点作于点，可得，当直线时，取最大值．
【解答】
解：如图，过点作于点，过点作于点，
在中，
，，
，，
在中，，
，
点为中点，
，
在与中，
，
≌，
，
延长，过点作于点，
四边形为矩形，
可得，
在中，，
当直线时，最大值为，
综上所述，的最大值为．
故选：．
8.已知平行四边形中，下列条件：；；；平分，其中能说明平行四边形是矩形的是
( )
A. B. C. D.
答案:B
【解析】
本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．
根据矩形的判定进行分析即可．
【解答】
解：，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B.，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C.，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D.平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．
故选B．
9.下列说法中，错误的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
答案:D
【解析】解：根据平行四边形和菱形的判定和性质得到均正确，而不正确，因为对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
故选：．
根据平行四边形和菱形的判定和性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．
主要考查了平行四边形和菱形的判定和性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．
10.如图，在四边形中，对角线，相交于点，，添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是
( )
A. B. C. D.
答案:B
【解析】本题考查菱形的判定，平行四边形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键首先根据给出的条件得出四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定方法分析即可．
【解答】
解：，， 四边形是平行四边形，
当或时，均可判定四边形是菱形
当时，由知，
， ， 四边形是菱形
当时，可判定四边形是矩形．
故选B．
11.如图，正方形中，点在上，，，垂足分别为、，，则的长为
( )
A. B. C. D.
答案:D
【解析】如下图，连接，
在正方形中，，，
又，
，
．
，，，
四边形是矩形，
，
，
故选D．
12.如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为
( )
A. B. C. D.
答案:D
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
，，
，
，
设，则，，
，
解得．
故选：．
由正方形的性质得出，由折叠的性质得出，，设，则，，由直角三角形的性质可得：，解方程求出即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.如图，在平行四边形中，对角线，，，则 ．
答案:
【解析】解： 的对角线与相交于点，
，，
，
．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长．
【解答】
解： 的对角线与相交于点，
，，
，
，
．
14.如图， 的对角线、相交于点，点是的中点，的周长是，则的周长为 ．
答案:
【解析】
根据平行四边形的性质可得，进而可得是的中位线，由三角形中位线定理得出，再根据平行四边形的性质可得，从而可得的周长的周长．
此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义．关键是掌握平行四边形的性质：边：平行四边形的对边平行且相等．角：平行四边形的对角相等；对角线：平行四边形的对角线互相平分．
【解答】
解： 的对角线、相交于点，
，，
为中点，
点是的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
的周长为，
，
，
的周长是，
故答案为．
15.如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为______．
答案:秒或秒
【解析】
本题考查了平行四边形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键．由，则时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当运动到和之间时，设运动时间为，则得：，解方程即可，
当运动到和之间时，设运动时间为，则得：，解方程即可．
【解答】
解：是的中点，
，
，
时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当运动到和之间时，设运动时间为，
则得：，
解得：，
当运动到和之间时，设运动时间为，
则得：，
解得：；
当运动时间为秒或秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：秒或秒．
16.如图，在矩形中，，对角线、相交于点，垂直平分于点，则的长为____________．
答案:
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可．
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
17.如图，在中，点是的中点，点，分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：； ；，从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是________填序号．
答案:
【解析】略
18.在正方形中，为上一点，，，垂足分别为点，，如果，那么的长为_______．
答案:
【解析】略
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，，，求的长．
答案:解：平行四边形，， ．
．
．
中，．
．
．
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
根据勾股定理在中，求得，则中，再次利用勾股定理，即可求出，即可求出的长．
20.本小题分
已知：如图，，，，分别是四边形的边，，，的中点求证：四边形是平行四边形．
答案:证明：如图所示，连接，
，分别是，的中点，
，，
是的中位线，
，
同理，，，
，
四边形是平行四边形．
【解析】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定作出辅助线，并利用三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，证出，，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论即可．
21.本小题分
如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点．
求证：；
若，连接，求证：四边形是矩形．
答案:证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
根据四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
【解析】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证等腰三角形，然后通过角的关系证矩形．
根据平行四边形的性质得到，，然后根据，得到，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；
由得的结论四边形是平行四边形，通过角的关系得出，，得证．
22.本小题分
如图，的对角线，相交于点，过点作，分别交，于点，，连接，．
若，求的长；
判定四边形的形状，并说明理由．
答案:解：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
≌，
，
；
四边形是菱形，
理由：≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【解析】判定≌，即可得，进而得出的长；
先判定四边形是平行四边形，再根据，即可得到四边形是菱形．
本题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23.本小题分
如图所示，顺次延长正方形的各边，，，至，，，，且使．
求证：四边形是正方形．
答案:证明：四边形是正方形，
，，
又，
≌≌≌，
，，
四边形为菱形，
，，
，即，
四边形是正方形．
【解析】本题主要考查了正方形的判定方法：一角是直角的菱形是正方形．
此题先根据正方形的性质，可证≌≌≌，得四边形为菱形，再求一个角是直角从而证明它是正方形．
24.本小题分
如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点，运动的时间为．
边的长度为 ，的取值范围为 ．
从运动开始，当取何值时，
从运动开始，当取何值时，
在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形若存在，请求出值若不存在，请说明理由．
答案:解：；；
，
当时，四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
当时；
由得当时四边形为平行四边形，此时，
当，运动到如图的位置时，
过点作于点，过点作于点，
则，
，
在和中
≌，
，
由得
，
，
，
综上所述，当的值为或时，；
不存在理由如下：
要使四边形为菱形，则四边形一定是平行四边形，
由得当时四边形是平行四边形，
此时，即，
四边形不是菱形，
所以不存在的值使四边形为菱形．
【解析】
本题考查的是矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质、勾股定理．
过点作于点，先证得四边形是矩形，利用勾股定理求出，再求的取值范围即可；
当时，四边形为平行四边形，即，根据列出方程求解即可；
过点作于点，过点作于点，先证得≌，根据列出方程，求出解即可；
要使四边形为菱形，当时四边形是平行四边形，，即，故不存在的值使四边形为菱形．
【解答】
解：如图所示，过点作于点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
点从点运动到点用，点从点运动到点用，
所以的取值范围是，
故答案为：，；
见答案．
25.本小题分
如图，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：下列三个图形正方形菱形矩形一定是垂美四边形的是__________填序号
性质探究：如图，四边形的对角线、交于点，试证明：；
解决问题：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、已知，，求的长．
答案:解：；
如图，，
，
由勾股定理得，，
，
．
连接、，如图．
，
，即，
在和中，
≌，
，又，
，又，
，即，
四边形是垂美四边形，
由得，，
，，
，，，
，
．
【解析】
本题考查的是正方形的性质、菱形以及矩形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
根据正方形、菱形以及矩形的性质可判断；
根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
根据全等三角形的判定和性质、垂美四边形的性质、勾股定理、结合的结论计算．
【解答】
解：因为正方形的对角线互相垂直，故正方形是垂美四边形；
菱形的对角线互相垂直，故菱形是垂美四边形；
矩形的对角线不一定垂直，故矩形不是垂美四边形；
故答案为．
见答案．
见答案．
第2页，共2页
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2023-2024学年八年级下册数学
第18章平行四边形素养综合检测试卷
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在平行四边形中，已知，，，则的长为
( )
A. B. C. D.
2.如图，在 中，，则的度数为
( )
A. B. C. D.
3.如图，是等边三角形，点是三角形内一点，，，，若的周长为，则( )
A. B.
C. D. 条件不够，不能确定
4.如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是
( )
A. B.
C. D.
5.如图所示，在四边形中，对角线与交于点，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点不与点，重合，作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知平行四边形中，下列条件：；；；平分，其中能说明平行四边形是矩形的是
( )
A. B. C. D.
9.下列说法中，错误的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
10.如图，在四边形中，对角线，相交于点，，添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是
( )
A. B. C. D.
11.如图，正方形中，点在上，，，垂足分别为、，，则的长为
( )
A. B. C. D.
12.如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为
( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.如图，在平行四边形中，对角线，，，则 ．
14.如图， 的对角线、相交于点，点是的中点，的周长是，则的周长为 ．
15.如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为______．
16.如图，在矩形中，，对角线、相交于点，垂直平分于点，则的长为____________．
17.如图，在中，点是的中点，点，分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：； ；，从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是________填序号．
18.在正方形中，为上一点，，，垂足分别为点，，如果，那么的长为_______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，，，求的长．
20.本小题分
已知：如图，，，，分别是四边形的边，，，的中点求证：四边形是平行四边形．
21.本小题分
如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点．
求证：；
若，连接，求证：四边形是矩形．
22.本小题分
如图，的对角线，相交于点，过点作，分别交，于点，，连接，．
若，求的长；
判定四边形的形状，并说明理由．
23.本小题分
如图所示，顺次延长正方形的各边，，，至，，，，且使．
求证：四边形是正方形．
24.本小题分
如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点，运动的时间为．
边的长度为 ，的取值范围为 ．
从运动开始，当取何值时，
从运动开始，当取何值时，
在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形若存在，请求出值若不存在，请说明理由．
25.本小题分
如图，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：下列三个图形正方形菱形矩形一定是垂美四边形的是__________填序号
性质探究：如图，四边形的对角线、交于点，试证明：；
解决问题：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、已知，，求的长．
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