8.4空间点、直线、平面的位置关系
1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面，能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系；
2．借助长方体，直观认识空间点、直线、平面的位置关系；
3．在认识位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义
一、平面
平面 叙述
平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线）
平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线
图示
平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。
点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“”
二、平面的基本事实
1.基本事实
基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3
叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图示
符号表示 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使 且 l且
作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线
2.三个推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
三、空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 图示
符号 语言 a∥b a∥α
相交关系 图示
符号 语言
独有关系 图示
符号 语言 a，b是异面直线
考点01符号的正确使用
1．用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据点、线以及线、面的符号表示，即得答案.
【详解】由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，
即，，
故选：A
2．“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ．
【答案】
【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果.
【详解】由题意可知：直线在平面内，
所以符号语言为：，
故答案为：.
3．根据图，填入相应的符号：
A 平面ABC；
A 平面BCD；
BD 平面ABD．
【答案】
【分析】略
【详解】略
4．若点在直线上，在平面内，则用符号表示 之间的关系可记作 .
【答案】，，
【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案.
【详解】点在直线上，在平面内，则，，
故 之间的关系可记作，，.
故答案为：，，
5．用集合符号表示下列语句：
(1)点在直线上，点不在直线上；
(2)平面与平面相交于过点的直线．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】
根据集合的关系及运算表示即可.
【详解】（1）点在直线上，点不在直线上可表示为：
（2）平面与平面相交于过点的直线可表示为：
考点02空间位置的画法
6．下列各图符合立体几何作图规范要求的是（ ）
A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面
【答案】D
【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可.
【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误；
平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误；
直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误；
两直线异面满足作图规范.
故选：D
7．（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面与平面交于，平面与平面交于.
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】
由题意，根据点、线、平面之间的关系，依次作出图形，即可求解.
【详解】
符号语言表示：平面平面，平面平面.
用图形表示如图①所示．
(2)文字语言叙述为：点在平面与平面的交线上，直线分别在平面内，
图形语言表示如图②所示．
8．用符号和图形表示下列语句：
(1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线；
(2)两条相交直线和都在平面内；
(3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】
根据已知点、线、面的位置关系，利用适当的符号表示即可．
【详解】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线，
符号表示为：、，，，则.
图形表示如下：
（2）因为两条相交直线和都在平面内，
符号表示为：，，，
图形表示如下：
（3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点，
符号表示为：，，，
图形表示如下：
9．请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．
【答案】作图见解析
【分析】在立体几何中，被遮挡直线画成虚线.
【详解】解：图①可看成平面被挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可．
如图．
考点03证明点（线）共面问题
10． 分别是空间四边形的边的中点，则的位置关系是（ ）
A．异面 B．平行
C．相交 D．重合
【答案】C
【分析】根据中位线定理，结合平面的确定方法，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
因为分别为的中点，所以同理可得，则，
所以四点共面，则与相交.
故选：C.
11．如图，已知.求证：直线共面．
【答案】证明见解析
【分析】
由题意，根据点、线、面之间的关系，即可证明.
【详解】
因为，所以和确定一个平面，
因为，所以.
故.
又，所以和确定一个平面.
同理.
即和既在平面内又在平面内，且与相交，
故平面，重合，即直线共面．
12．如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面；
【答案】证明见解析
【分析】
连接，，利用条件证明即可.
【详解】
连接，，因为、分别是、的中点，
所以，
又、分别是、上的点，且，，
，，
、、、四点共面.
13．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内．
已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内.
【答案】证明见解析
【分析】证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1．先证某两线确定平面，然后证其它直线也在内．
【详解】图①中，没有三条直线交于一点，
因为，所以确定平面，
又因，所以，
所以，
同理可得，
所以直线在同一平面内；
图②中，三条直线交于一点，
因为又因，所以，
所以，
同理，
所以直线在同一平面内，
综上所述，所以直线在同一平面内.
14．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，证明：四点共面．
【答案】证明见解析
【分析】符合同一原理，可以用同一法证明三点构成一个平面．
【详解】假设面与棱交于．
平面，平面与其相交，
，
为中点，为中点，
与重合，即四点共面．
考点04证明线共点问题
15．如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（ ）
A．过点B
B．不一定过点B
C．的延长线与的延长线的交点在上
D．的延长线与的延长线的交点在上
【答案】B
【分析】
作出辅助线，得到，P，B，Q四点共面，即平面，又平面，所以；作出辅助线，得到平面，平面，故，同理D正确.
【详解】
连接，，如图，
因为P，Q分别是棱，的中点，
由勾股定理得，
所以四边形是菱形，
所以，P，B，Q四点共面，即平面.
又平面，所以，故A结论正确，B结论错误.
如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E.
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面，所以，
同理，故C，D正确.
故选：B
16．如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．
【答案】证明见解析
【分析】
如图，连接，可证明四点共面，结合基本事实3即可证明.
【详解】
连接，
因为为的中点，为的中点，所以且.
又因为且，所以且，
所以四点共面，
设.又平面平面，
所以点为平面与平面的公共点．
又因为平面平面，
所以根据基本事实3,得，
即三线交于一点．
17．平行六面体中，求证：，，，四对角线交于一点．
【答案】证明见解析
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分即可求证.
【详解】证明：如图4，且，所以四边形为平行四边形，
则对角线与互相平分，将其交点记为O，则是和的中点，
同理平行四边形的对角线和也互相平分，设中点为，是和的中点，
又且，则四边形为平行四边形，故对角线与互相平分
因此O，都是的中点，所以O，必重合为一点，所以四对角线，，，共点于O．
图4
18．如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点．
【答案】证明见解析
【分析】
先通过中点以及线段比例关系证明，然后说明与交于一点，结合点在两个平面内这一特点说明三线共点.
【详解】
在空间四边形中，连接，
∵分别为的中点，则，且，
又由，则，且，
故，且，故四边形为梯形，与交于一点，
设与交于点，如图，
由于平面，故点在平面内，同理点在平面内，
又∵平面平面，∴点在直线上，
故直线相交于一点．
19．如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．
(1)求证：直线、、交于一点；
(2)若，求多面体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可得四边形为梯形，再根据平面的性质证明三线交于一点；
（2）根据题意利用割补法求体积.
【详解】（1）连接、，
因为、分别为、的中点，所以且．
因为是直四棱柱，且底面是正方形，
所以，且，即四边形是平行四边形，
所以且，所以，且，
所以四边形为梯形，所以与交于一点，记为，
即，且平面，平面，
所以平面，平面，
又因为平面平面，则直线，
所以直线、、交于一点.
（2）连接，
由题意可得：.
考点05证明点共线问题
20．如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（ ）
A．三点共线，且
B．三点共线，且
C．三点不共线，且
D．三点不共线，且
【答案】B
【分析】
连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果.
【详解】
连接连接，，
直线平面平面.
又平面，平面平面直线
∴三点共线.
.
故选：B.
21．如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】
由题意可证平面，平面，进而，即可证明.
【详解】
因为，且平面，所以平面，
同理平面，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面∩平面，所以成立．
所以点三点共线．
22．平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，则三个交点共线．
【答案】证明见解析
【分析】
根据题意，分和不在同一平面内与在一个平面内讨论，结合三棱锥的结构特征，即可证明.
【详解】
证明：如图1，先考虑和不在同一平面内，则由条件知，
它们可构成一个三棱锥，而是它的一个截面，
且和的对应边所在的直线都相交．
设与交于点，则平面平面，
∴点必落在平面与平面的交线上，
同理，与的交点，与的交点都落在平面与平面的交线上，
∴三对应边的交点共线．只要选取适当的投影方向，
便得到一个如图2所示的图形（投影图），从而原问题获证．
23．如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．
【答案】证明见解析
【分析】
根据平面的性质分析可知点P，Q，R均在平面ABC与平面的交线上，即可得结果.
【详解】由，可知点，
且平面ABC，可知点平面ABC，又，
所以点P在平面ABC与平面的交线上，
同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上，
所以P，Q，R三点共线．
24．已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】根据平面的基本性质即可求证.
【详解】∵是不在同一直线上的三点
∴过有一个平面
又,且，所以，
设，则
同理可证：，
所以三点共线
考点06空间两条直线位置关系的判定
25．下列命题中，真命题的个数是（ ）
① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线；
② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；
③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面；
④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】略
26．如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据点运动到线段端点、中点位置可判断ABD，根据异面直线的判定可判断C.
【详解】当运动到点时，与直线相交，故A错误；
当运动到点时，与直线相交，故B错误；
因为与在同一平面上，,平面，
所以由异面直线判定定理知，直线与直线始终异面，故C正确；
当运动到点中点时，，此时与直线共面，故D错误；
故选：C
27．如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（ ）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】
根据异面直线的定义逐一判断.
【详解】
∵A、M、三点共面，且在平面，但平面，，
∴直线AM与是异面直线，故①错误；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线AM与BN也是异面直线，故②错误；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线BN与是异面直线，故③正确；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线AM与是异面直线，故④正确．
故选：A．
28．（多选）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
根据空间直线的位置关系，结合异面直线的判定定理，一一判断各选项，即得答案.
【详解】
由题意可知M为的中点，故，，
故，与均为相交直线，A，B错误；
平面，平面直线，
故与直线为异面直线，同理可说明与直线为异面直线，C，D正确，
故选：CD
29．如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）．
【答案】异面
【分析】
假设共面推出矛盾.
【详解】假设直线共面，平面，
由，则平面，
同理，平面，故共面，
这与是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线异面.
故答案为：异面.
30．如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 .
①②③④
【答案】②
【分析】根据异面直线的定义一一判定即可.
【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时，
而，所以共面，则、在平面上，故①不符题意；
因为，即共面，易知平面，而平面， ，，
故与异面，故②符合题意；
当重合时，易知，则四边形是平行四边形，
则此时，故③不符合题意；
当重合时，显然，相交，故④不符合题意.
故答案为：②
考点07直线与平面的位置关系
31．直线a，b是异面直线，是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（ ）
A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过至少有一个平面平行于a，b
C．过有无数个平面平行于a，b D．过且平行于a，b的平面可能不存在
【答案】D
【分析】
根据异面直线的位置关系，结合已知找到一个反例：共面，即可判断各项正误.
【详解】如：且异面，均在面内时，如下图示，
此时，将平移至与相交，则与所在平面即为，
若要过点作与平行的平面，则过点可以作另一个平面与平行，而，
显然有矛盾，故上述情况不可能有过点A的平面同时平行于a，b，故A、B、C错，D对；
故选：D
32．若，且，则 （填数学符号）
【答案】
【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案.
【详解】由且，即.
故答案为：
33．已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】结合线面位置关系，根据充分必要条件定义判断．
【详解】直线在平面外，包括直线与平面平行和相交，不充分，但直线∥平面，一定有直线在平面外，必要的，因此是必要不充分条件．
故选：B．
34．在长方体所有的表面所在的平面中，与直线平行的平面有 ．
【答案】平面
【分析】画出该几何体，根据线面关系即可判断得出结论.
【详解】如图，长方体所有的表面所在的平面中，与直线平行的平面为平面；
故答案为：平面.
35．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是 ．
【答案】相交或平行或
【分析】根据两点在平面同侧，两点在平面异侧，两点都在平面上，分别进行讨论，由此能求出结果．
【详解】解：直线上有两点到平面的距离相等，
如果两点在平面同侧，则，
如果两点在平面异侧，则与相交，
如果两点都在平面上，则．
故答案为：相交、平行或．
36．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
（1）AM所在的直线与平面ABCD；
（2）CN所在的直线与平面ABCD；
（3）AM所在的直线与平面CDD1C1；
（4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1.
【答案】（1）相交；（2）相交；（3）平行；（4）相交.
【分析】根据线面位置关系的定义可判断.
【详解】（1）平面ABCD，平面ABCD，AM所在的直线与平面ABCD相交.
（2）平面ABCD，平面ABCD，CN所在的直线与平面ABCD相交.
（3）因为在正方体中，平面平面CDD1C1,平面,所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行.
（4）因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面平面，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交.
考点08平面与平面的位置关系
37．平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（ ）
A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC
【答案】C
【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案.
【详解】因为直线AB与直线l相交于点D，，所以平面，
又点C在平面上，所以平面，
因为平面，点在直线AB上，所以平面，
又平面，所以平面，
所以与的交线是直线.
故选：C.
38．在四棱台中，平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．不确定 D．异面
【答案】A
【分析】根据棱台的定义即可得出结果.
【详解】解：如图所示，由棱台的定义可知，平面与平面一定相交.
故选：A.
39．下列说法中，错误的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
【答案】A
【分析】根据空间线面间的位置关系判断．
【详解】平行于同一直线两个平面可能平行，也可能相交，A错；
平行于同一平面的两个平面平行，B正确；
由面面平行的性质定理知一个平面与两个平行平面相交，交线平行，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，CD正确．
故选：A．
40．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（ ）
A．平面平面 B．
C．平面 D．与相交
【答案】A
【分析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可.
【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，
选项A，如图可知，且平面，平面，
，且平面，平面，所以平面平面，故正确.
选项B，如图，可知与为异面直线，不平行，故错误.
选项C，如图可知平面与会相交，并不平行，故错误.
选项D，如图可知与为异面直线，不相交，故错误.
故选：A.
【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基础题.
41．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：
（1）AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是 ；
（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是 ．
【答案】 平行 相交
【分析】（1）所在直线与平面的位置关系是平行．可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可得到；
（2）平面与平面的位置关系是相交．由平面与平面有一个交点，由公理2即可得到．
【详解】解：（1）AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；
（2）平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．
故答案为：平行；相交.
42．如图所示，在正方体中M，N分别是和的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？
(1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面的位置关系；
(4)平面ABCD与平面的位置关系.
【答案】(1)异面
(2)相交
(3)平行
(4)相交
【分析】
根据正方体的几何结构特征，结合线面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】（1）解：因为平面，平面，平面，且直线，
所以直线与为异面直线.
（2）解：因为平面，且平面，所以与平面相交于点，
即直线平面，即直线与平面相交.
（3）解：在正方体中，可得平面平面，
因为平面，所以平面.
（4）解：在正方体中，可得平面平面，即两平面相交.
基础过关练
1．若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】
根据点线面的关系结合元素和集合、集合与集合的关系直接写出即可.
【详解】因为直线和平面都是由点形成的，
所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为，
根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为.
故选：B
2．三个平面将空间分成7个部分的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据空间中平面位置关系逐项判断即可.
【详解】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意；
对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意；
对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意；
对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意.
故选：C
3．已知α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈l
B．若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C β
C．若A∈α且B∈α，则直线AB α
D．若直线a α，直线b β，则a与b为异面直线
【答案】D
【详解】
由根据A∈α且B∈β，则A是平面α和平面β的公共点，又α∩β＝l，由基本事实3可得A∈l，故A中命题正确；由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，又A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，则C β，故B中命题正确；由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故C中命题正确；由于平面α和平面β位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故D中命题错误．
4．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（ ）
①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上．
【详解】如图所示，
E，F分别为AB，AD的中点，∴，，
分别在，CD上，且，∴，，
∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确；
∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误；
若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面，
同理平面，又平面平面，
∴则P，A，C三点共线，说法③正确；
说法中正确的有2 个.
故选：C
5．（多选）如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．直线和平行，和相交
B．直线和平行，和相交
C．直线和相交，和异面
D．直线和异面，和异面
【答案】ACD
【分析】
利用平行线的传递性可判断出直线和平行，利用三角形全等可证得和相交，由异面直线的定义可判断出和异面，即可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
因为、分别为、的中点，则，同理可证，
在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，所以，，
延长交直线于点，
因为，则，
又因为，，所以，，所以，，
延长交的延长线于点，同理可证，
因为，所以，，即点、重合，
所以，、相交，
由异面直线的定义结合图形可知，、异面，故B对，ACD均错.
故选：ACD.
6．（多选）以下四个命题中，正确的命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面
C．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P，Q，R，则P，Q，R三点共线
D．依次首尾相接的四条线段必共面
【答案】AC
【分析】利用反证法证明选项A判断正确；举特例否定选项B；利用基本事实证明选项C判断正确；举特例否定选项D.
【详解】对于A，用反证法证明：假设四个点中，有三个点共线，
第四个点不在这条直线上，则根据基本事实的推论：一条直线和直线外一点
确定一个平面，可知这四个点共面，与已知矛盾，故A正确；
对于B，如图，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，
但A，B，C，D，E不共面，故B错误；
对于C，因为，平面ABC，所以P在平面与平面ABC的交线上，
同理，Q，R也在两平面的交线上，故P，Q，R三点共线，故C正确；
对于D，如图，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误.
故选：AC.
7．已知，为不重合的两个平面，A，B，M，N为空间中不同的四个点，a为直线，则下列推理正确的是 .（填序号）①，，，；②，，，；③，.
【答案】①②
【分析】利用基本事实即可判定①②判断正确；利用基本事实即可否定③.
【详解】对于①，，，，，
由基本事实：如果一条直线上的两个点在一个平面内，
那么这条直线在这个平面内，可知，故①正确；
对于②，由，，可知，
同理，，所以，故②正确；
对于③，若，，则，
由基本事实：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线，
可知是经过点A的一条直线而不是点A，故③不正确.
故答案为：①②
8．在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是 ．
【答案】异面
【分析】由题意画出图形，利用反证法以及点面之间的位置关系即可得解.
【详解】如图所示：
由题意在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是异面，理由如下：
若直线与直线共面，则四点共面，
而三点唯一确定平面，
但平面，产生矛盾，故假设不成立，
综上所述，直线与直线的位置关系是异面.
故答案为：异面.
9．在空间四边形的边，，，上分别取点，，，，如果，相交于一点，那么一定在直线 上.
【答案】BD
【解析】根据题意，可得直线、分别是平面、平面内的直线，因此、的交点必定在平面和平面的交线上．而平面交平面于，由此即可得到点在直线
【详解】点、分别在、上，而、是平面内的直线
平面，平面，可得直线平面，
点、分别在、上，而、是平面内的直线，
平面，平面，可得直线平面，
因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上，
平面平面，
点直线．
故答案为：．
10．用符号表示下列语句，并画出相应的图形．
(1)点A在平面外，但点B在平面内；
(2)直线既在平面内，又在平面内．
【答案】(1)图形见解析
(2)图形见解析
【分析】
按照要求，画出图形即可.
【详解】（1）
（2）
11．如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.
(1)求证：；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）由中位线性质和线段成比例即可得证.
（2）利用两个平面内的公共点在两个平面的交线上，即可得证.
【详解】（1）、分别是、的中点，
，
，，
.
（2）因为，
，平面，
所以平面，同理平面.
所以是平面与平面的公共点，
又平面平面，
所以，所以三点共线
12．任意画一个三棱柱，分别找出一些所在直线相交、平行、异面的棱．
【答案】答案见解析
【分析】根据相交平行以及异面的定义即可求解.
【详解】如图：在三棱柱中，
相交的棱有,或者等，
平行的棱有,或者等，
异面的棱有与，与，与等.
能力提升练
1．在空间中，下列说法正确的是（ ）
A．一个点运动一定形成直线 B．直线平行移动形成平面或曲面
C．直线绕定点运动形成锥面 D．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
【答案】B
【分析】A选项，考虑点可以随意运动；B选项，考虑直线沿一个固定方向平移或非固定方向平移；C选项，可形成平面或锥面；D选项，考虑移动方向垂直矩形所在平面和不垂直于矩形所在平面两种情况.
【详解】A选项，点运动可形成曲线，故A错误；
B选项，直线沿固定方向平移形成平面，非固定方向平移形成曲面，故B正确；
C选项，直线绕定点运动形成锥面或平面，故C错误；
D选项，矩形上各点沿同一方向移动，若移动方向与矩形所在平面垂直形成长方体，若移动方向不与矩形所在平面垂直形成非长方体的四棱柱，故D错误.
故选：B
2．在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
【答案】C
【分析】
由长方体性质易知四点共面且是异面直线, 再根据 与 、面 、 面 的位置关系知 在面 与面 的交线上, 同理判断 , 即可判断各选项的正误.
【详解】
因为 ,
则四点共面.
因为 ,
则 平面 ,
又 平面 ,
则点 在平面 与平面的交线上,
同理, 也在平面 与平面 的交线上,
所以三点共线;
从而 四点共面,都在平面 内，
而点B不在平面 内，
所以四点不共面，故选项B正确；
三点均在平面内，
而点A不在平面内，
所以直线AO与平面相交且点O是交点，
所以点M不在平面内，
即 四点不共面，
故选项C错误；
，且，
所以为平行四边形，
所以共面，
所以四点共面，
故选项D正确.
故选: C.
3．已知空间互不重合的三条直线，，.则“，，在同一平面内”是“，， 两两平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据空间直线和平面的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】若，，在同一平面内，则，，在可能平行也可能相交，故充分性不成立；
若，， 两两平行，则，， 不一定在同一平面内，故必要性不成立；
所以“，，在同一平面内”是“，， 两两平行”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间中直线和平面的位置关系作出判断是解决本题的关键.
4．（多选）设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
解：
当时，，，但，故A错；
当时，B错；
如图，∵，，∴，
∴由直线和点确定唯一平面，
又，由与确定唯一平面，但经过直线和点，
∴与重合，∴，故C正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．
故选：CD
5．直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上．
解：由，，，、，故，，
同理，，故，
由，，则，，故，同理可得，
又直线直线，故，即，
所以必在的交线上.
故答案为：
6．已知点是平面外的两点,则过点与平行的平面有 个.
解：当两点在平面两侧时,不存在这样的平面与平行;
当两点在平面同侧时,若直线面,则存在一个平面与平面平行;若两点在平面同侧时,直线与平面不平行,不存在这样的平面.
故答案为:或
【点睛】本题考查了点与面、面与面的位置关系,需要注意分类讨论,在不同情况下可能出现的情况不同,尤其是在同侧的情况.
7．判断下列各命题的正误，画出正确命题的图形，并用符号表示：
(1)两个平面有三个公共点，它们一定重合；
(2)空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内；
(3)两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b可能是异面直线，也可能是相交直线；
(4)正方体中，点O是的中点，直线交平面于点M，则A，M，O三点共线，并且A，O，C，M四点共面．
解：（1）
对于（1）：如图三个公共点在一条直线上，平面与平面相交不重合，故（1）不正确；
（2）对于（2）：正方体中从点出发的三条棱不在同一个平面内，故（2）不正确；
（3）对于（3），若则确定一个平面，且与直线的交点都在此平面内，则共面，与是异面直线矛盾，
故直线可能是异面直线，也可能是相交直线,
图形可以取或.故（3）正确；
（4）对于（4），平面平面，
因为直线交平面于点，
所以，即三点共线，
因为三点共线，直线和直线外一点可以确定一个平面，
所以A，O，C，M四点共面，故（4）正确.
8．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.
(1)证明：四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线.
解：（1）证明：如图，连接.
在正方体中，，所以，
又，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
，所以四点共面；
（2）证明：由，，又平面，平面，
同理平面ABCD，又平面平面，
，即A，O，D三点共线.8.4空间点、直线、平面的位置关系
1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面，能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系；
2．借助长方体，直观认识空间点、直线、平面的位置关系；
3．在认识位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义
一、平面
平面 叙述
平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线）
平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线
图示
平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。
点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“”
二、平面的基本事实
1.基本事实
基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3
叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图示
符号表示 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使 且 l且
作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线
2.三个推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
三、空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 图示
符号 语言 a∥b a∥α
相交关系 图示
符号 语言
独有关系 图示
符号 语言 a，b是异面直线
考点01符号的正确使用
1．用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ．
3．根据图，填入相应的符号：
A 平面ABC；
A 平面BCD；
BD 平面ABD．
4．若点在直线上，在平面内，则用符号表示 之间的关系可记作 .
5．用集合符号表示下列语句：
(1)点在直线上，点不在直线上；
(2)平面与平面相交于过点的直线．
考点02空间位置的画法
6．下列各图符合立体几何作图规范要求的是（ ）
A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面
7．（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面与平面交于，平面与平面交于.
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
.
8．用符号和图形表示下列语句：
(1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线；
(2)两条相交直线和都在平面内；
(3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点．
9．请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．
考点03证明点（线）共面问题
10． 分别是空间四边形的边的中点，则的位置关系是（ ）
A．异面 B．平行
C．相交 D．重合
11．如图，已知.求证：直线共面．
12．如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面；
13．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内．
已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内.
14．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，证明：四点共面．
考点04证明线共点问题
15．如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（ ）
A．过点B
B．不一定过点B
C．的延长线与的延长线的交点在上
D．的延长线与的延长线的交点在上
16．如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．
17．平行六面体中，求证：，，，四对角线交于一点．
18．如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点．
19．如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．
(1)求证：直线、、交于一点；
(2)若，求多面体的体积．
考点05证明点共线问题
20．如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（ ）
A．三点共线，且
B．三点共线，且
C．三点不共线，且
D．三点不共线，且
21．如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．
22．平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，则三个交点共线．
23．如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．
24．已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线．
考点06空间两条直线位置关系的判定
25．下列命题中，真命题的个数是（ ）
① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线；
② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；
③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面；
④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线．
A．0 B．1 C．2 D．3
26．如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（ ）
A． B．
C． D．
27．如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（ ）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
28．（多选）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有
（ ）
A． B． C． D．
29．如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）．
30．如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 .
①②③④
考点07直线与平面的位置关系
31．直线a，b是异面直线，是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（ ）
A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过至少有一个平面平行于a，b
C．过有无数个平面平行于a，b D．过且平行于a，b的平面可能不存在
32．若，且，则 （填数学符号）
33．已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
34．在长方体所有的表面所在的平面中，与直线平行的平面有 ．
35．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是 ．
36．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
（1）AM所在的直线与平面ABCD；
（2）CN所在的直线与平面ABCD；
（3）AM所在的直线与平面CDD1C1；
（4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1.
考点08平面与平面的位置关系
37．平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（ ）
A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC
38．在四棱台中，平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．不确定 D．异面
39．下列说法中，错误的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
40．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（ ）
A．平面平面 B．
C．平面 D．与相交
41．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：
（1）AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是 ；
（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是 ．
42．如图所示，在正方体中M，N分别是和的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？
(1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面的位置关系；
(4)平面ABCD与平面的位置关系.
基础过关练
1．若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2．三个平面将空间分成7个部分的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈l
B．若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C β
C．若A∈α且B∈α，则直线AB α
D．若直线a α，直线b β，则a与b为异面直线
4．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（ ）
①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（多选）如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．直线和平行，和相交
B．直线和平行，和相交
C．直线和相交，和异面
D．直线和异面，和异面
6．（多选）以下四个命题中，正确的命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面
C．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P，Q，R，则P，Q，R三点共线
D．依次首尾相接的四条线段必共面
7．已知，为不重合的两个平面，A，B，M，N为空间中不同的四个点，a为直线，则下列推理正确的是 .（填序号）①，，，；②，，，；③，.
8．在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是 ．
9．在空间四边形的边，，，上分别取点，，，，如果，相交于一点，那么一定在直线 上.
10．用符号表示下列语句，并画出相应的图形．
(1)点A在平面外，但点B在平面内；
(2)直线既在平面内，又在平面内．
11．如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.
(1)求证：；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
12．任意画一个三棱柱，分别找出一些所在直线相交、平行、异面的棱．
能力提升练
1．在空间中，下列说法正确的是（ ）
A．一个点运动一定形成直线 B．直线平行移动形成平面或曲面
C．直线绕定点运动形成锥面 D．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
2．在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误
的是（ ）
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
3．已知空间互不重合的三条直线，，.则“，，在同一平面内”是“，， 两两平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（多选）设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
5．直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上．
6．已知点是平面外的两点,则过点与平行的平面有 个.
7．判断下列各命题的正误，画出正确命题的图形，并用符号表示：
(1)两个平面有三个公共点，它们一定重合；
(2)空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内；
(3)两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b可能是异面直线，也可能是相交直线；
(4)正方体中，点O是的中点，直线交平面于点M，则A，M，O三点共线，并且A，O，C，M四点共面．
8．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.
(1)证明：四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线.
