(共32张PPT)
类型二 面积问题
函数微技能——面积表示
一阶
例4 如图，已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)连接AC，BC，求△ABC的面积；
例4题图①
解：(1) ∵抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，
∴S△ABC＝ ＝6；
(2)连接OD，CD，求△OCD的面积；
例4题图②
(2) ∵点D是抛物线的顶点，
∴D(1，－4)．
∵C(0，－3)，
∴S△OCD＝ ；
(3) (一题多解)点P是第四象限抛物线上的一点，连接BC，BP，CP，设点P的横坐标为t，请用含t的式子表示△BCP及四边形OCPB的面积．
例4题图③
(3)∵点P是第四象限抛物线上的一点，且其横坐标为t，
∴点P坐标为(t，t2－2t－3)(0＜t＜3)，
∵B(3，0)，C(0，－3)，∴BC＝3 ，
设直线BC解析式为y＝kx＋b，代入点B，C
得 ，解得 ，
∴直线BC解析式为y＝x－3，即x－y－3＝0.
点P到直线BC距离d为 .
∵0＜t＜3，
∴d＝ ，
∴S△BCP＝ .
S四边形OCPB＝ S△BCP＋ S△OBC＝ .
解法一
如解图①，过点P作y轴的平行线交BC于点E.
例4题解图①
∵点P的坐标为(t，t2－2t－3)，点E在直线BC上，
∴点E的坐标为(t，t－3)，∴PE＝t－3－(t2－2t－3)＝－t2＋3t，
∴S△BCP＝ PE·(xB－xC)＝ ×3×(－t2＋3t)＝ ，
∴S四边形OCPB＝S△BCP＋S△OCB
＝ .
∴点F的坐标为(3，－3)．
∵点P的坐标为(t，t2－2t－3)，
∴S△CPF＝ CF·(yP－yF)＝ ，
S△BPF＝ BF·(xF－xP)＝ ，
S△BCF＝ CF·BF＝ ，
解法二
如解图②，过点B、C分别作y轴，x轴的平行线，交于点F，连接PF，
例4题解图②
∴S△BCP＝S△BCF－S△CPF－S△BPF
＝
∴S四边形OCPB＝S△BCP＋S△OCB
＝ .
例4题解图②
方法一：直接公式法
若三角形的一边平行于坐标轴(或在坐标轴上)，直接运用三角形的面积公式S＝ AB·h求解
满分技法
满分技法
方法二：铅垂高、水平宽法
若三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上)
S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝ BD(AE＋CF)＝ BD(yC－yA)
满分技法
S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝ BD(AE＋CF)＝ BD(xC－xA)
满分技法
方法二：铅垂高、水平宽法
若三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上)
S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝ BD(AE＋CF)＝ BD(yC－yA)
满分技法
S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝ BD(AE＋CF)＝ BD(xC－xA)
方法三：补全图形法
适用于三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上)
S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCD
对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形转化为两个三角形面积之和求解．
满分技法
设问突破
二阶
例5 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.
一题多设问
(1)若点P是x轴上方抛物线上一点，当S△ABP的面积为2时，求点P的坐标；
例5题图①
【思维教练】求出点A 、B的坐标可得线段AB的长，
设出点P的坐标，根据三角形的面积列出方程求解即可；
解：(1)在抛物线y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，解得x1＝1，x2＝－3，
∴A(－3，0)，B(1，0)，AB＝4；
设点P的坐标为(t，－t2－2t＋3)(－3
∵S△ABP＝ ×4×(－t2－2t＋3)＝2，即－t2－2t＋2＝0.
解得t1＝－1－ ，t2＝ －1.
∴点P的坐标为(－1－ ，1)或( －1，1)；
例5题图①
(2) 若点D为抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，在抛物线上是否存在点Q，使得S△AQE＝2S△CBE，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】将面积问题转为线段的倍数关系，再根据线段关系列等式求解即可；
例5题解图①
(2)解：存在．如解图①，由题意得AE＝BE＝2，
在抛物线y＝－x2－2x＋3中，令x＝0，解得y＝3，
∴C(0，3)，
∴CO＝3，则S△CBE＝ BE·OC＝3，
∴当△QAE的边AE上的高为6时，S△AQE＝2S△CBE，
当y＝6时，－x2－2x＋3＝6，即x2＋2x＋3＝0，
∵b2－4ac<0，
∴方程无实数根；
当y＝－6时，－x2－2x＋3＝－6，
解得x1＝－1＋ ，x2＝－1－ ，
∴点Q坐标为(－1＋ ，－6)或(－1－ ，－6)；
例5题解图①
将点A(－3，0)，C(0，3)代入解析式，
得 解得
∴直线AC的解析式为y＝x＋3.
(3) 若点P是线段AC上方抛物线上一动点，求四边形APCB面积的最大值；
【思维教练】将四边形APCB分割成两个三角形，根据面积公式表示出面积，再结合二次函数的性质求面积最大值；
例5题解图②
(3)解：如解图②，过点P作PD∥y轴交线段AC于点D，连接PA，PC，BC，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
设P(m，－m2－2m＋3)(－3∴PD＝(－m2－2m＋3)－(m＋3)＝－m2－3m，
∴S△PAC＝S△PCD＋S△PDA＝ ×3×(－m2－3m)＝－ (m＋ )2＋ ，
∵－ <0，∴当m＝－ 时，S△PAC取得最大值 ，
∵AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝ ×4×3＝6.
∴S四边形APCB的最大值为6＋ ＝ ；
例5题解图②
(4)解：由(3)知，S△ABC＝6，直线AC的解析式为y＝x＋3.
设N(n，n＋3)，则N′(n，0)(－3＜n＜0)，
分两种情况讨论：
①当S△ANN′＝ S△ABC＝2时，
(n＋3)(n＋3)＝2，
(4) N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′，若△ABC的面积被直线NN′分为1∶2的两部分，求点N的坐标．
例5题图④
【思维教练】根据题意分情况进行讨论：①△ANN′的面积占△ABC面积的 ；②△ANN′的面积占△ABC面积的 .
解得n1＝－1，n2＝－5(舍去)，
∴N(－1，2)；
②当S△ANN′＝ S△ABC＝4时，
(n＋3)(n＋3)＝4，
解得n1＝2 －3，n2＝－2 －3 (舍去)，
∴N(2 －3，2 )．
综上所述，点N的坐标为(－1，2)或(2 －3，2 )．
例5题图④
综合训练
三阶
2. (2023三州联考26题16分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
(1)抛物线的解析式为_______________，抛物线的顶点坐标为________；
第2题图①
y＝－x2－2x＋3
(－1，4)
(2)解：∵抛物线与y轴交于点C, ∴点C的坐标为(0，3)，
∵B(－3，0)，∴OB＝OC， ∴∠CBO＝45°，BC＝3 ，
如解图①，过点D作DF⊥y轴于点F，则DF∥x轴，
(2)如图①，连接OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，请求出点
D的坐标；
第2题图①
CD∶CB＝CF∶CO＝DF∶BO，
∴∠CDF＝45°，
∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，
∴CD∶BD＝1∶2， ∴CD∶BC＝1∶3，
F
∵BC＝3 ，
∴CD＝ ，
∵∠CDF＝45°，
∴CF＝DF＝1，
∴点D的坐标为(－1，2)；
第2题图①
F
∵∠OGE＝15°，∠GOE＝90°，∴∠OEG＝75°.
∵∠PEG＝2∠OGE，∴∠PEG＝30°.
∴∠PEO＝45°，
∴△MOE为等腰直角三角形，
∵E(0，－1)，∴M(－1，0)．
∴直线PE的解析式为y＝－x－1.
(3)如图②，点E的坐标为(0，－1)，点G为x轴负半轴上的一点，
∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
图②
M
(3)解：如解图②，设PE交x轴于点M，
解方程组 ，
得 ，或 ，
∵点P为第二象限内抛物线上的动点，
∴点P的坐标为( ， )；
图②
M
∵C(0，3)，B(－3，0)， ∴BC所在直线的解析式为y＝x＋3，
S△OBC＝ OB·OC＝ .
假设存在点P(a，－a2－2a＋3)，使四边形BOCP的
面积为8，则D(a，a＋3)，
∵S四边形BOCP＝S△OBC＋S△PBC，
(4)如图③，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图③
D
(4) 解：不存在．理由如下：
如解图③，连接BC，过点P作PD∥y轴交BC于点D，
∴S△OBC＋S△PBC＝8，
∴ ＋ ×3×(－a2－2a＋3－a－3)＝8，
化简得3a2＋9a＋7＝0，
∵b2－4ac＝92 －4×3×7＝－3<0，
∴此一元二次方程无实数解，
故不存在点P使四边形BOCP的面积为8. (16分)
图③
D(共50张PPT)
例6 如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC.
探究1：在抛物线对称轴上找一点P使得△ACP为
等腰三角形．
解：①若AC为等腰三角形的底边时，AP＝________；
类型三 等腰三角形问题
函数微技能——分类讨论思想确定动点位置
一阶
PC
例6题图①
在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)．
例6题图①
【作图依据】________________________________________________．
线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等．
如解图①，点P即为所求
例6题解图①
【方法总结】二次函数中等腰三角形的存在性一般要分____种情况讨论：常以已知边为_______或______讨论；以探究1为例，已知边AC为底时，可以作已知边的____________，所找点即为_________________
___________________的交点；若已知边AC为腰时，作图方法为：____________________________________________________________，所找点即为________________________________．
【思考】若动点在y轴上、x轴上时，确定动点位置有什么不同呢？
两
腰
底边
垂直平分线
线段AC的垂直平
分线与抛物线对称轴
以点A(C)为圆心，AC 长为半径画圆交对称轴于点P
⊙A(或⊙C)与对称轴的交点．
没有什么不同，一样的方法．
②若AC为等腰三角形的腰时，AC＝________或AC＝________；
在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
例6题图②
AP
CP
例6题解图②
当AC＝AP时，如解图②，点P即为所求，
当AC＝CP时，画出函数图象如解图③，点P即为所求．
例6题解图③
探究2：在抛物线上找一点E，使得△BCE为等腰三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹)．
例6题图③
如解图④，点E1，E2，E3，E4即为所求．
例6题解图④
【作法提示】当BC为等腰三角形的底边时，则CE＝BE，点E1即为所求；当BC为等腰三角形的腰时，点E2、E3即为所求．
探究3：在抛物线上找一点E，平面内找一点P，使得以E、P、B、C为顶点的四边形为菱形．在图④中画出所有满足条件的点E、P的示意图(保留作图痕迹)．
【作法提示】如解图⑤，当BC为菱形的对角线时，点E、P即为所求；如解图⑥，当BC为菱形的边，且BE为对角线时，点E、P即为所求；如解图⑦，当BC为菱形的边，且CE为对角线时，点E、P即为所求．
例6题图④
画出函数图象如解图⑤⑥⑦，点E，P即为所求．
例6题解图⑦
例6题解图⑤
例6题解图⑥
【方法总结】二次函数中菱形的存在性问题可考虑先转化为等腰三角形的存在性问题，如探究3中，可以先画出△BCE为等腰三角形的点E，再过等腰△BCE的顶点向底边作垂线，然后利用菱形对角线上的顶点关于另一条对角线对称确定点P的位置．
设问突破
二阶
一题多设问
例7 如图，已知抛物线 y＝－ x2＋ x＋2与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C，顶点为M，对称轴与x轴交于点N.
例7题图①
【思维教练】由于点P在抛物线上，△PCO是以OC为底的等腰三角形，所以点P在OC的垂直平分线上，点P的纵坐标为1，将y＝1代入抛物线表达式求解即可；
(1)在抛物线上是否存在一点P，使得△PCO是以OC为底的等腰三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
例7题图①
(1)解：
例7题图①
【解法提示】∵抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋2，
∴点C的坐标为(0，2)，
∵△PCO是以OC为底的等腰三角形，
∴点P在OC的垂直平分线上，∴点P的纵坐标为1，
当y＝1时，－ x2＋ x＋2＝1，
解得x＝
∴点P的横坐标为
(2) 连接AC，在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形，若存在，请求出点E的横坐标；若不存在，请说明理由；
例7题图②
【思维教练】先设出点E的坐标，由于△ACE是等腰三角形，可分为三种情况讨论：①AE＝AC，②AC＝CE，③AE＝CE，当AE＝AC时还要注意点E分别在点A的两侧两种情况；
(2)解：存在．
∵抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋2，
∴当y＝0时，－ x2＋ x＋2＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∵点A在点B的左边，
∴A(－1，0)，B(3，0)，
由(1)知C(0，2)，
∴AC＝ ，△ACE是等腰三角形，分以下三种情况：
①当AE＝AC时，AE＝AC＝ ，
当点E在点A左边时，点E的横坐标为－1－ ，
当点E在点A右边时，点E的横坐标为 －1；
②当AC＝CE时，由三线合一知AO＝EO，
∴点E的横坐标为1；
例7题图②
③当AE＝CE时，点E在线段AC的垂直平分线上，设点E的坐标为(e，0)，由两点之间距离公式得e＋1＝ ，
解得e＝ ，
∴点E的横坐标为 .
综上所述，点E的横坐标为－1－ 或 －1或1或 ；
例7题图②
(3) 如图，若点F是对称轴MN上一点，是否存在点F使得△CNF是等腰三角形，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
例7题图③
【思维教练】未明确说等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①NF＝NC，②CF＝CN，③FC＝FN分别求解，若有解，则存在，若无解，则不存在；
(3)解：存在．
∵抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝1，
∴点F的横坐标为1.
△CNF是等腰三角形，分以下三种情况讨论：
①当NF＝NC时，∵N(1，0)，C(0，2)，
∴NC＝ ，
∴NF＝ .
当点F在x轴上方时，点F的坐标为(1， )，当点F在x轴下方时，点F的坐标为(1，－ )；
②当CF＝CN时，
由等腰三角形的性质知点C在线段NF的垂直平分线上，
∴NF＝2OC＝4，∴点F的坐标为(1，4)；
③当FC＝FN时，
例7题图③
如解图①，点F在线段NC的垂直平分线上，设CN与其垂直平分线交于点H，∵N(1，0)，C(0，2)，∴点H的坐标为( ，1)，
直线NC的解析式为y＝－2x＋2，
∴设直线HF的解析式为y＝ x＋b，将( ，1)代入直线HF的解析式中，解得b＝ ，
∴直线HF的解析式为y＝ x＋ ，当x＝1时，y＝ ，
∴点F的坐标为(1， )，
综上所述，点F的坐标为(1， )或(1，－ )
或(1，4)或(1， )；
例7题解图①
(4) 如图，在直线BC上是否存在一点Q，使得△ACQ是等腰三角形，若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
例7题图④
【思维教材】未明确说等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①AQ＝CQ；②AC＝AQ；③AC＝CQ，利用线段数量关系结合勾股定理分别求解即可；
(4)解：存在．
△ACQ是等腰三角形，分以下三种情况：
①当AQ＝CQ时，如解图②，作AC的垂直平分线交AC于点T，交直线BC于点Q1，
∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，2)，
∴直线AC的解析式为y＝2x＋2，直线BC的解析式为y＝－ x＋2.
设直线TQ1的解析式为y＝－ x＋b′，
∵直线TQ1过线段AC的中点(－ ，1)，
∴1＝－ ×(－ )＋b′，解得b′＝ ，
∴直线TQ1的解析式为y＝－ x＋ ，
例7题解图②
令－ x＋ ＝－ x＋2，解得x＝ ，
∴点Q的横坐标为 ；
例7题解图②
例7题解图②
②当AC＝AQ时，如解图②，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交直线BC于点Q2，设点Q2的坐标为(q，－ q＋2)，
∵A(－1，0)，C(0，2)，
∴AC＝ ，由勾股定理得 ，
解得q＝0(舍去)或q＝ ，
∴点Q的横坐标为 ；
例7题解图②
③当AC＝CQ时，如解图②，以点C为圆心，CA长为半径作圆，交直线BC于点Q3、Q4，由②得点Q的坐标为(q，－ q＋2)，AC＝ ，
∵C(0，2)，
∴由勾股定理得 ，
解得q＝－ 或q＝ ，点Q的横坐标为－ 或 .
综上所述，点Q的横坐标为 或
或－ 或 ；
(5) 如图，点G是对称轴MN上一点，是否存在点G使得△CGB是等腰三角形，若存在，请求出点G的纵坐标；若不存在，请说明理由；
例7题图⑤
【思维教练】未明确说等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①CG＝CB，②CG＝BG，③BG＝BC分别求解即可；
(5)解：存在．
由(3)知抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点G的横坐标为1，设点G的坐标为(1，t)，
△CGB是等腰三角形，
分以下三种情况讨论：
①当CG＝CB时，
∵B(3，0)，C(0，2)， ∴BC＝ ，
∵G(1，t)，
∴由两点之间距离公式得 ，
解得t＝2＋2 或t＝2－2 ，
∴点G的纵坐标为2＋2 或2－2 ；
②当CG＝BG时，点G在线段BC的垂直平分线上，
∴由两点之间距离公式得 ，解得t＝ ，
∴点G的纵坐标为 ；
例7题图⑤
③当BG＝BC时，
∵BC＝ ，
∴由两点之间距离公式得
解得t＝3或t＝－3，
∴点G的纵坐标为3或－3.
综上所述，点G的纵坐标为2＋2 或2－2 或 或－3或3；
例7题图⑤
【思维教练】要求以G、S、B、C为顶点的四边形是菱形时点G、S的坐标，只需以B、C、G为顶点的三角形是等腰三角形，
分①当BC为对角线，GB ＝GC；②当BC为边，
CB ＝CG；③当BC为边，BC＝BG三种情况，
列方程求解即可．
(6)若点G是对称轴MN上一点，点S为平面内一点，是否存在点G、S，使得以点G、S、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点G、S的坐标；若不存在，请说明理由．
例7题图⑥
(6)解：存在．
分以下三种情况，
①当BC为对角线，GB＝GC时，如解图③，作BC的垂直平分线，交BC于点P，交抛物线的对称轴于点G，以P为圆心，PG长为半径画圆，交垂直平分线于点S，点G、S即为所求，
∵B(3，0)，C(0，2)，
∴BC中点的坐标为( ，1)，
直线BC的解析式为y＝－ x＋2，
∵以点G、S、B、C为顶点的四边形是菱形，
例7题解图③
∴BC⊥GS，∴设直线GS的解析式为y＝ x＋d，
将( ，1)代入直线GS的解析式中，解得d＝－ ，
∴直线GS的解析式为y＝ x－ ，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y＝ ，∴点G的坐标为(1， )，
∵将点G向右平移2个单位，向下平移 个单位，即可得到点B，
∴将点C向右平移2个单位，向下平移 个单位，即可得到点S，
∴点S的坐标为(2， )；
例7题解图③
②当BC为边，CB＝CG时，如解图④，以点C为圆心，CB长为半径画圆，交抛物线的对称轴于点G1、G2，作BG1、BG2的垂直平分线分别交BG1、BG2于点H、I，以点H为圆心，HC长为半径画圆，交直线CH于点S1，以点I为圆心，IC长为半径画圆，交直线CI于点S2，点G1、G2、S1、S2即为所求，
∵B(3，0)，C(0，2)，∴CB＝ ，
设点G1的坐标为(1，m)，
∴ ＝12＋(m－2)2＝13，
解得m1＝2＋2 ，m2＝2－2 (舍去)，
例7题解图④
∴点G1的坐标为(1，2＋2 )，
∴由平移的性质得点S1的坐标为(4，2 )，
同理可得G2的坐标为(1，2－2 )，S2的坐标为(4，－2 )；
例7题解图④
③当BC为边，BC＝BG时，如解图⑤，以点B为圆心，BC长为半径画圆，交抛物线的对称轴于点G3、G4，作CG3、CG4的垂直平分线分别交CG3、CG4于点K、Q，以点K为圆心，KB长为半径画圆，交直线BK于点S3，以点Q为圆心，QB长为半径画圆，交直线BQ于点S4，点G3、G4、S3、S4即为所求，
设点G3的坐标为(1，n)，
∵BC＝ ，∴ ＝22＋n2＝13，
解得n1＝－3(舍去)，n2＝3，
∴点G3的坐标为(1，3)，
例7题解图⑤
∴由平移的性质得点S3的坐标为(－2，5)，
同理可得G4的坐标为(1，－3)，S4的坐标为(－2，－1)．
综上所述，点G的坐标为(1， )或(1，2＋2 )或(1，2－2 )
或(1，3)或(1，－3)，
对应的点S的坐标为(2， )或(4，2 )或(4，－2 )
或(－2，5)或(－2，－1)．
例7题解图⑤
综合训练
三阶
3. (2023黔东南州24题12分)如图，已知二次函数y1＝－x2＋ x＋c的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为
y2＝kx＋b.
(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
第3题图
(1)解：∵点A(4，0)在抛物线y1＝－x2＋ x＋c上，
∴－42＋ ×4＋c＝0，解得c＝3，
∴抛物线解析式为y1＝－x2＋ x＋3， (2分)
∵点B是抛物线y1与y轴的交点，∴点B的坐标为(0，3)；(4分)
(2)由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
第3题图
(2)解：根据图象可知，当x＞4或x＜0时，y1(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
第3题图
(3)解：两坐标轴上存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．如解图，取AB的中点C，
∵A(4，0)，B(0，3)，∴C(2， )，
过点C作CF⊥AB，交x轴于点E，交y轴于点F.
第3题图
C
F
E
在Rt△ABO中，AO＝4，BO＝3， ∴AB＝5，
∵C是AB的中点， ∴AC＝BC＝ ，
∵∠ACE＝∠AOB＝90°，∠EAC＝∠BAO，∴△AEC∽△ABO，
∴ ，即 ， 解得AE＝ ，
∴OE＝OA－AE＝4－ ＝ ，
此时点P与点E重合，坐标为( ，0)．
第3题图
C
F
E
∵∠FBC＝∠ABO，∠FCB＝∠AOB，
∴△FBC∽△ABO，
∴ ，即 ，
解得OF＝ ，
∴此时点P与点F重合，坐标为(0，－ )．
综上所述，点P的坐标为( ，0)或(0，－ )． (12分)
第3题图
C
F
E
4. (2022黔西南州26题16分)如图，二次函数y＝－x2＋3x＋m的图象与x轴的一个交点为B(4，0)，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．
(1)求m的值及C点坐标；
第4题图
(1)解：将B点坐标代入y＝－x2＋3x＋m，解得 m＝4,
∴抛物线解析式为y＝－x2＋3x＋4.
令x＝0，解得y＝4，
∴点C的坐标为(0，4)； (3分)
(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B、C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由；
(2)解：存在．(4分)
由B、C点坐标可得直线BC的解析式为y＝－x＋4，
将直线BC向上平移至直线y＝－x＋4＋b与抛物线
只有一个公共点，此时△MBC的面积最大．
由题意有
第4题图
得x2－4x＋b＝0，由根的判别式得16－4b＝0，解得b＝4，
将b＝4代入方程组，解得 .
∴在直线BC上方的抛物线上存在一点M(2，6)，使得△MBC的面积最大； (9分)
第4题图
(3)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
(3)①解：∵点P在抛物线上，∴设P点坐标为(t，－t2＋3t＋4)．
当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，
∵B(4，0)，C(0，4)，
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，
∴t＝－t2＋3t＋4，解得t＝1± ，
∴点P的坐标为(1＋ ，1＋ )或(1－ ，1－ )；
(12分)
第4题图
②点P的横坐标为t(0②解：∵点P和点Q关于直线BC对称．
∴S四边形PBQC＝2S△PBC，
∵点P的横坐标为t(0由(2)可知，当点P与点M重合时，S△PBC取得最大值，
即S四边形PBQC最大．
∴当t＝2时，四边形PBQC的面积最大． (16分)
第4题图(共32张PPT)
类型四 直角三角形问题(含矩形问题)
函数微技能——分类讨论思想确定动点位置
一阶
例8 如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC.
探究1：在抛物线对称轴上找一点P，使得△ACP为直角三角形；
例8题图①
解：①若AC为Rt△ACP的直角边时，在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹);
①满足条件的点P如解图①所示，即P1，P2；
例8题图①
例8题解图①
【方法总结】二次函数中直角三角形的存在性一般要分情况讨论；以探究1为例，若AC为Rt△ACP的直角边，
作图方法：___________________________________________________，
所找点P为____________________________；
若AC为Rt△ACP的斜边，
作图方法：_____________________，
所找点P为_____________________________．
分别过点A、C作AC的垂线，垂线与抛物线对称轴的交点
以AC的中点D为圆心
AC长为直径作圆
对称轴与⊙D的交点
②若AC为Rt△ACP的斜边，在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
例8题图②
②满足条件的点P如解图②所示，即P3，P4；
例8题解图②
探究2：在抛物线上找一点E，使得△BCE为直角三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹)；
例8题图③
满足条件的点E如解图③所示即E1,E2；
例8题解图③
探究3: 在抛物线上找一点E，平面内找一点Q，使得以E、Q、B、C为顶点的四边形为矩形．在图④中画出所有满足条件的点E、Q的示意图(保留作图痕迹)．
例8题图④
满足条件的点E、Q如解图④所示，即E3、E4、Q1、Q2.
例8题解图④
【方法总结】二次函数中矩形的存在性问题可考虑将其转化为直角三角形的问题，如探究3中，只需先画出△BCE为直角三角形的点E，再确定Rt△BCE斜边的中点，然后利用矩形对角线互相平分的性质确定点Q的位置．
设问突破
二阶
例9 抛物线y＝ x2－x－4与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.
一题多设问
(1)若点F是x轴上的一点，点D为抛物线的顶点，是否存在点F，使得△FBD为直角三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
例9题图①
【思维教练】要使△FBD为直角三角形，可分两种情况：①BD为Rt△FBD的直角边，利用两垂直直线解析式中k的关系求出直线DF的解析式，进而求得点F的坐标；②BD为Rt△FBD的斜边，利用垂直的性质即可求解；
(1)解：存在．分以下两种情况：
①当BD为Rt△FBD的直角边时，如解图①，
过点B作BD的垂线，与x轴无其他交点，
故此情况不存在点F.过点D作BD的垂线
交x轴于点F1，
例9题解图①
∵抛物线的解析式为y＝ x2－x－4，∴B(4，0)，D(1，－ )，
∴直线BD的解析式为y＝ x－6，
∵DF1⊥BD1，∴可设直线DF1的解析式为y＝－ x＋b，
将D(1，－ )代入y＝－ x＋b，得b＝－ ，
∴直线DF1的解析式为y＝－ x－ ，
当y＝0时，－ x－ ＝0， 解得x＝－ ，
∴点F1的坐标为(－ ，0)；
例9题解图①
②当BD为Rt△FBD的斜边时，如解图①，以BD的中点E为圆心，BE长为半径画圆，圆与x轴交于点F2，
∵点B在x轴上，
∴DF2⊥OB，
∴点F2的坐标为(1，0)．
综上所述，点F的坐标为(－ ，0)或(1，0)；
例9题解图①
【思维教练】要使△PAC为直角三角形，可分两种情况：
①AC为Rt△PAC的直角边，利用两垂直直线解析式中k的关系求出直线AP的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P的坐标；
②AC为Rt△PAC的斜边，通过辅助圆来判断是否
存在点P即可；
(2)若点P是抛物线上的一点，是否存在点P，使得△PAC为直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
例9题图②
(2)解：存在．分以下两种情况：
∵抛物线的解析式为y＝ x2－x－4，
∴A(－2，0)，C(0，－4)，
∴直线AC的解析式为y＝－2x－4，
设直线AP1的解析式为y＝ x＋d，
将A(－2，0)代入y＝ x＋d，得d＝1，
∴直线AP1的解析式为y＝ x＋1，
例9题图②
①当AC为Rt△PAC的直角边时，如解图②，过点A作AC的垂线交抛物线于点P1，连接P1C，过点C作AC的垂线交抛物线于点P2，连接P2A，
P1
P2
联立得 ，解得 或 (舍去)，
∴点P1的坐标为(5， )，同理点P2的坐标为(3，－ )；
②当AC为Rt△PAC的斜边时，如解图③，以AC的中点
M为圆心，AM长为半径画圆，圆与抛物线无其他交点，
故此情况不存在点P.
综上所述，点P的坐标为(5， )或(3，－ )；
解图③
【思维教练】要使△QBC为直角三角形，可分两种情况：BC为Rt△QBC的直角边或斜边，通过勾股定理求解即可．
(3)若点Q是抛物线对称轴上的一点，是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
例9题图③
(3)解：存在．
∵抛物线的解析式为y＝ x2－x－4，
∴B(4，0)，C(0，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴BC2＝32，
设点Q的坐标为(1，m)，
∵Q(1，m)，B(4，0)，C(0，－4)，∴ ＝32＋m2， ＝12＋(m＋4)2，
∵Q1B⊥BC，∴由勾股定理得 ＝ ＋BC2，
12＋(m＋4)2＝32＋m2＋32，
解得m＝3，
∴点Q1的坐标为(1，3)，
例9题图③
Q2
分以下两种情况：
①当BC为Rt△QBC的直角边时，如解图④，过点B作BC的垂线交抛物线的对称轴于点Q1，连接Q1C，过点C作BC的垂线交抛物线的对称轴于点Q2，连接Q2B，
Q1
同理 ＝32＋m2， ＝12＋(－4－m)2，
∵Q2C⊥BC，
∴由勾股定理得 ＝ ＋BC2，
32＋m2＝12＋(－4－m)2＋32，
解得m＝－5，
∴点Q2的坐标为(1，－5)；
例9题图③
Q2
Q1
②当BC为Rt△QBC的斜边时，如解图⑤，以BC的中点N为圆心，BN长为半径画圆，圆与抛物线的对称轴交于点Q3、Q4，连接Q3C、Q3B、Q4C、Q4B. 同理BQ2＝32＋m2，CQ2＝12＋(m＋4)2，
∵QC⊥BQ，∴由勾股定理得BC2＝CQ2＋BQ2，
32＝12＋(m＋4)2＋32＋m2，解得m1＝－2－ ，m2＝－2＋ ，
∴点Q3的坐标为(1，－2＋ )，
点Q4的坐标为(1，－2－ )．
综上所述，点Q的坐标为(1，3)或(1，－5)
或(1，－2＋ )或(1，－2－ )；
解图⑤
【思维教练】要求以点Q、G、B、C为顶点的四边形是矩形时点Q、G的坐标，结合题意只需满足△QBC是直角三角形，
可分BC为Rt△QBC的直角边和斜边两种情况，
利用勾股定理列方程求解，再利用平移的性质
即可．
(4)若点Q是抛物线对称轴上的一点，点G是平面内一点，是否存在点Q、G，使得以Q、G、B、C为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点Q、G的坐标；若不存在，请说明理由．
例9题图④
(4)解：存在．如解图⑥⑦，
∵以Q、G、B、C为顶点的四边形为矩形，
∴△QBC为直角三角形，
由(3)可知Q1(1，3)，Q2(1，－5)，Q3(1，－2＋ )，Q4(1，－2－ )，
∵将点B向左平移3个单位，向上平移3个单位，即可得到点Q1，
∴将点C向左平移3个单位，
向上平移3个单位，即可得到点G1，
∴点G1的坐标为(－3，－1)；
解图⑥
解图⑦
同理G2(5，－1)，G3(3，－2－ )，G4(3， －2)，
综上所述，点Q的坐标为(1，3)或(1，－5)或
(1，－2＋ )或(1，－2－ )，
对应的点G的坐标为(－3，－1)或(5，－1)
或(3，－2－ )或(3， －2)．
解图⑥
解图⑦
综合训练
三阶
5. (2023黔南州26题12分)如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A(8，0)，B(0，4)，D(－1，0)，点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC.
(1)求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
第5题图
解：(1)根据题意，设抛物线解析式为
y＝a(x－8)(x＋1)，
∵点B(0，4)在抛物线上，
∴a(0－8)(0＋1)＝4，
解得a＝－ .
∴抛物线的解析式为y＝－ (x－8)(x＋1)，
即y＝－ x2＋ x＋4；(3分)
第5题图
(2)有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB.设点E运动的时间为t(0(2)解：设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点A(8，0)，B(0，4)代入得 ，解得 ，
∴直线AB的函数解析式为y＝－ x＋4.
∵点C与点B关于x轴对称， ∴点C的坐标为(0，－4)．
第5题图
∴BC＝8，S△ABC＝ BC·OA＝ ×8×8＝32.
设点E的坐标为(2t，0)，
∵EP⊥x轴于点E，点P在抛物线上，
∴点P的坐标为(2t，－2t2＋7t＋4)．
如解图①，设PE与直线AB的交点为Q，
则点Q的坐标为(2t，－t＋4)，
∵点P在点Q的上方，
∴PQ＝(－2t2＋7t＋4)－(－t＋4)＝－2t2＋8t.
第5题解图①
∴S△PAB＝S△PBQ＋S△PAQ
＝ PQ·xA
＝ (－2t2＋8t)·8
＝－8t2＋32t.
∴S四边形PBCA＝S△PAB＋S△ABC
＝－8t2＋32t＋32＝－8(t－2)2＋64.
∵－8<0，∴当t＝2时，S最大，最大值为64，
∴四边形PBCA的最大面积为64； (8分)
第5题解图①
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【解法提示】由抛物线y＝－ x2＋ x＋4得抛物线的对称轴为直线x＝ ，
∵点H在对称轴上，则设点H的坐标为( ，h)，如解图②，
∴BH2＝( )2＋(h－4)2，AH2＝(8－ )2＋h2，AB2＝82＋42＝80，
∴当∠ABH1＝90°时，则BH12＋AB2＝AH12，
即( )2＋(h1－4)2＋80＝(8－ )2＋h12，
解得h1＝11，此时点H1的坐标为( ，11)；
第5题解图②
当∠BAH2＝90°时，AH22＋AB2＝BH22，
即(8－ )2＋h22＋80＝( )2＋(h2－4)2，
解得h2＝－9，此时点H2的坐标为( ，－9)；
当∠BH3A＝90°时，AH32＋BH32＝AB2，
即(8－ )2＋h32＋( )2＋(h3－4)2＝80，
解得h3＝2＋ ，h4＝2－ ，
此时点H3的坐标为( ，2＋ )或( ，2－ )．
第5题解图②
综上所述，抛物线的对称轴上存在一点H，使得△ABH是直角三角形，点H的坐标为( ，11)或( ，－9)或( ，2＋ )或
( ，2－ )．
第5题解图②
(3)解：存在，
点H的坐标为( ，11)或( ，－9)
或( ，2＋ )或( ，2－ )． (12分)(共19张PPT)
类型六 相似三角形的存在性
函数微技能——分类讨论思想确定动点位置
一阶
例12 如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC.
探究1：P是坐标轴上一点，找出点P，使得以
B、C、P为顶点的三角形与△OBC相似；
例12题图①
例12题图①
解：①若△CBP∽△OBC时，在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
①解：满足条件的点P如解图①所示；
例12题解图①
【方法总结】二次函数中相似三角形的存在性一般要分情况讨论：以探究1为例，已知∠COB＝90°，故需分∠PCB＝90°和______________两种情况．解决此类问题通常利用相似三角形的性质，列出线段比例关系，求解即可．
∠PBC＝90°
②若△BPC∽△OBC时，在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)．
例12题图②
②解：满足条件的点P如解图②所示；
例12题解图②
探究2: 若D为对称轴与x轴的交点，P是对称轴上的点，找出点P，使得以O、D、P为顶点的三角形与△OBC相似．在图③中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
例12题图③
满足条件的点P如解图③所示．
例12题解图③
设问突破
二阶
例13 抛物线y＝－ x2＋2x＋6交x轴于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.
一题多设问
(1)如图①，点M是y轴正半轴上一点，连接AM，若△AOM与△AOC相似，求点M的坐标；
例13题图①
【思维教练】要求点M的坐标，已知∠AOM＝∠AOC＝90°，则当∠OAM＝∠OCA时，根据对应边成比例即可求解；
(1)解：∵抛物线的解析式为y＝－ x2＋2x＋6，
令y＝0，－ x2＋2x＋6＝0，解得x＝－2或x＝6，
令x＝0，解得y＝6， ∴A(－2，0)，B(6，0)，C(0，6)，
∴OA＝2，OC＝6，
如解图①，∵∠AOM＝∠COA＝90°，
∴∠OAM＝∠OCA时，△AOM∽△COA，
∴ ，∴ ，
∴OM＝ ，∴点M的坐标为(0， )；
例13题解图①
【思维教练】要求点E的坐标，由题意可分以下两种情况：①∠ACE＝∠ABC；②∠ACE＝∠ACB，由点坐标求得线段长，根据对应情况相似比列等量关系式求解即可；
(2)如图②，点E是线段AB上一点(不与点A、B重合)，若△ACE和△ABC相似，求点E的坐标；
例13题图②
(2)解：由(1)得点A(－2，0)，B(6，0)，C(0，6)，
∴AB＝8，
∴在Rt△AOC中，根据勾股定理可得
AC＝ ，
分以下两种情况：
①当∠ACE＝∠ABC时，△ACE∽△ABC，
∴ ，∴ ，
∴AE＝5，
∵点E是线段AB上一点(不与点A、B重合)，
∴点E的坐标为(3，0)；
②当∠ACE＝∠ACB时，此时点E与点B重合，此情况不存在点E，
综上所述，点E的坐标为(3，0)；
【思维教练】要求点P的坐标，由题易知∠CBE＝∠CDP＝45°，则可分两种情况讨论：①∠BCE＝∠DCP；②∠BCE＝∠DPC，分别求解即可．
(3)如图③，设抛物线对称轴交抛物线于点D，与x轴交于点E，点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以点D、C、P为顶点的三角形和△BEC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例13题图③
(3)解：存在．
设P(2，m)，当x＝2时，y＝8，∴D(2，8)，
易知∠CDE＝45°，∠CBE＝45°，
要使以D、C、P为顶点的三角形与△BEC相似，则△DCP中需有一个角为45°，
∴点P在点D下方，∠CDP＝∠CBE＝45°， ∴DP＝8－m，
∵∠CDP＝45°，CD＝ ，
∵C(0，6)，B(6，0)，
∴BC＝ ，BE＝6－2＝4，
分两种情况讨论：
①当△BEC∽△DCP时，如解图②，
此时点P在P1处，
例13题解图②
②当△BEC∽△DPC时，如解图②，此时点P在P2处，
，即 ，
解得m＝ ，∴P2(2， )．
综上所述，点P的坐标为(2，2)或(2， )．
即 解得 m=2 ∴P1(2，2)
例13题解图②
综合训练
三阶
7. (2023黔东南州26题16分)如图，抛物线y＝ax2－2x＋c(a≠0)与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，抛物线的顶点为点D.
(1)求抛物线的解析式；
第7题图
解：(1)把B(3，0)，C(0，－3)代入y＝ax2－2x＋c中，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；(4分)
(2)点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
【解法提示】设Q点的坐标为Q(m，0)，
(i)如解图①，此时四边形BCQP为平行四边形，
解图①
根据平行四边形的性质可得P(m＋3，3)，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴m＋3＝1，即m＝－2，此时点P(1，3)，Q(－2，0)；
(ii)如解图②，此时四边形BCPQ为平行四边形，
∴P(m－3，－3)，
∵m－3＝1，
∴m＝4，此时点P(1，－3)，Q(4，0)．
解图②
(3)已知点M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)存在．
设M(n，0)，则G(n，n2－2n－3)，
∴AM＝|n＋1|，MG＝|n2－2n－3|，
∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴D(1，－4)，
第7题图
∵B(3，0)，C(0，－3)，
∴BC＝ ＝3 ，CD＝ ＝ ，BD＝ ＝2 ，
∴BD2＝BC2＋CD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠AMG＝∠BCD＝90°，
①当 ＝ 时，△MAG∽△CBD，
则 ＝| |＝| |＝ ＝3，
∴n＝ 或n＝ ，
此时点M的坐标为( ，0)或( ，0)；
第7题图
②当 ＝ 时，△MGA∽△CBD，
则 ＝| |＝|n－3|＝ ＝3，
∴n＝6或n＝0，
此时点M的坐标为(6，0)或(0，0)；
综上所述，存在点M使得以A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，点M的坐标为( ，0)或( ，0)或(6，0)或(0，0)．(16分)
第7题图(共17张PPT)
类型七 坐标系中直线与圆的位置关系
函数微技能——分类讨论思想确定动点位置
一阶
例14 如图，抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一点(不与点C重合)，设点P的横坐标为m，以CP为直径作⊙M.
例14题图
(1)若m＝3，圆心M的坐标为__________，⊙M的半径为______，此时⊙M与x轴的位置关系为______；
用含m的代数式表示：
( ，－1)
相交
(2)圆心M的坐标可表示为____________________；
(3)圆心M到x轴的距离可表示为______________________；
(4)若⊙M与x轴相切，则⊙M的半径可以表示为____________________；
(5)若⊙M与y轴相切，则⊙M的半径可表示为_____，其半径长为_____.
例14题图
【方法总结】用m表示出点P的坐标，已知直径两端点P与C的坐标，由中点坐标公式即可求得圆心坐标；已知圆心坐标与一端点坐标，利用两点之间距离公式即可求得半径的长；当圆与x轴相切时，则圆的半径等于圆心到______的距离，当圆与y轴相切时，则圆的半径等于圆心到______的距离．
x轴
y轴
设问突破
二阶
例15 已知抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一点(不与点B、C重合)．
一题多设问
(1)如图①，点M为线段BC上一点，且MP∥y轴，若以MP为半径的⊙M与x轴相切，求点P的坐标；
例15题图①
【思维教练】由抛物线的解析式求得点B与点C的坐标，即可得到直线BC的解析式，设出点P与点M的坐标，利用半径相等列关系式即可
(1)解：如解图①，作PM的延长线交x轴于点N，
N
例15题图①
当y＝0时，－x2＋4x＋5＝0，
解得x1＝－1，x2＝5， ∴A(－1，0)，B(5，0)，
当x＝0时，y＝5， ∴C(0，5)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(5，0)，C(0，5)代入得，
解得
∴直线BC的解析式为y＝－x＋5，
设点P的坐标为(m，－m2＋4m＋5)，则点M的坐标为(m，－m＋5)，
∵⊙M与x轴相切，
∴PM＝MN，
∴－m2＋4m＋5－(－m＋5)＝－m＋5，
解得m1＝1，m2＝5(舍去)，
∴点P的坐标为(1，8)；
N
例15题图①
【思维教练】设出点P与点M的坐标，分两种情况：①点P在点M上方时；②点P在点M下方时．根据相应情况利用半径相等列关系式即可；
(2)若点P为y轴右侧抛物线上一点，MP∥y轴交直线BC于点M，以MP为半径的⊙M与y轴相切，求点P的坐标；
(2)解：当⊙M与y轴相切时，PM＝xM，
设点P的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，
则点M的坐标为(n，－n＋5)，
分为以下两种情况：
①当点P在点M上方时，如解图②，
例15题解图②
由(1)可知，PM＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)，
∴－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝n， 解得n1＝0(舍去)，n2＝4，
∴点P的坐标为(4，5)；
②当点P在点M下方时，如解图③，
同理可得PM＝－n＋5－(－n2＋4n＋5)，
∴－n＋5－(－n2＋4n＋5)＝n，
解得n1＝0(舍去)，n2＝6，
∴点P的坐标为(6，－7)．
综上所述，点P的坐标为(4，5)或(6，－7)；
例15题解图③
【思维教练】要求PQ的最小值，需求PE的最小值，设出点P的坐标 ，由勾股定理列出关系式，利用二次函数的性质求出PE的最小值，进而求得PQ的最小值．
(3)如图③，若抛物线的对称轴与x轴交于点E，以点E为圆心，OE为半径作⊙E，过点P作⊙E的切线，切点为Q，求PQ的最小值．
(3)解：如解图④，连接PE，
例15题图③
∵PQ为⊙E的切线，∴由勾股定理得PQ＝ ，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴QE＝2，
∴当PE最短时，PQ最短，
∴设点P的坐标为(t，－t2＋4t＋5)，
∵E(2，0)，
∴PE2＝(t－2)2＋(－t2＋4t＋5)2＝(t－2)2＋[－(t－2)2＋9]2，
令(t－2)2＝d，
则PE2＝d＋(－d＋9)2＝d2－17d＋81＝(d－ )2＋ ，
∵a＝1＞0，
∴PE2的最小值为 ，
∴PQ＝ .
例15题图③
综合训练
三阶
8. (2023黔西南州26题16分)如图，直线l: y＝2x＋1与抛物线C：y＝2x2 ＋bx ＋c相交于点A(0，m)，B(n，7)．
(1)填空：m＝______，n＝______，
抛物线的解析式为________________；
1
3
y＝2x2－4x＋1
【解法提示】令x＝0，则m＝2×0＋1＝1.由2x＋1＝7，得x＝3，
∴n＝3.∴A(0，1)，B(3，7)．将点A(0，1)，B(3，7)代入y＝2x2＋bx＋c，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝2x2－4x＋1.
第8题图
(2)将直线l向下平移a(a＞0)个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，
求a的取值范围；
(2)解：∵直线l向下平移a(a>0)个单位长度，
∴y＝2x＋1－a.
∵直线l与抛物线C仍有公共点，∴ 有解，
∴2x＋1－a＝2x2－4x＋1有解，整理得2x2－6x＋a＝0.
∴36－8a≥0，得a≤ ，
∴a的取值范围是0第8题图
(3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)解：存在．设点Q的坐标为(q，2q2－4q＋1)．
∵AQ为直径， ∴AQ的中点M为圆心，
∵点A(0，1)，Q(q，2q2－4q＋1)，
∴M( ，q2－2q＋1)，P( ，0)，
∵⊙M与x轴相切于点P，
∴MP⊥x轴，且点M在x轴上方，
∴点M到x轴的距离MP＝|q2－2q＋1|＝q2－2q＋1.
第8题图
由两点间距离公式，得AQ2＝q2＋(2q2－4q)2.
∵AQ＝2MP， ∴AQ2＝4MP2，
∴q2＋(2q2－4q)2＝4(q2－2q＋1)2.整理，得7q2－16q＋4＝0，
解得q1＝2，q2＝ .
∴点P的坐标为(1，0)或( ，0)．
∴综上所述，存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P，
此时点P的坐标为(1，0)或( ，0)．
第8题图(共42张PPT)
类型一 线段问题
函数微技能——动点坐标及线段表示
一阶
例1 如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点P为抛物线y＝－x2＋2x＋3上一点．过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.
一题多设问
例1题图
设点P的横坐标为t，点P的坐标可表示为________________，点Q的坐标可表示为______________；
用含t的代数式表示下面的距离：
(1)点P到x轴的距离为______________；
(2)点P到y轴的距离为______________；
(3)点P到对称轴的距离为___________；
(4)线段PQ的长为______________；
(5)点P到直线BC的距离为______________.
(t，－t2＋2t＋3)
(t，－t＋3)
|－t2＋2t＋3|
|t|
|t－1|
|－t2＋3t|
例1题图
【方法总结】①与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下);_
②与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左);_
③斜线段时，可过线段端点分别作x轴、y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解．
设问突破
二阶
考向一 线段数量关系
例2 抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C.点P是抛物线上的一点，作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点Q，设点P的横坐标为m.
(1)若PQ＝2QM，求点P的坐标
一题多设问
例2题图①
【思维教练】点P位置变化，PQ和QM的代数式表示不相同，需要分点P在BC上方和下方．分别用PQ、QM的代数式代入，构建方程即可；
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将点B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，
得 ，解得 ， ∴y＝－x＋3，
∵PM⊥x轴于点M，交直线BC于点Q，且点P的横坐标为m，
∴P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，－m＋3)，M(m，0)，
∵PQ＝2QM，
当点P在直线BC的上方时，即0例2题图①
PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，QM＝－m＋3，
∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，解得m＝2或m＝3(舍去)，
∴点P的坐标为(2，3)；
当点P在直线BC的下方且m>3时，PQ＝m2－3m，QM＝m－3，
∴m2－3m＝2(m－3)，
解得m＝2(舍去)或m＝3(舍去)，此时点P不存在；
当点P在直线BC下方且m<0时，
PQ＝m2－3m，QM＝－m＋3，
∴m2－3m＝2(－m＋3)，解得m＝－2或m＝3(舍去)，
例2题图①
∴点P的坐标为(－2，－5)．
综上所述，点P的坐标为(2，3)或(－2，－5)；
例2题图①
(2)∵点P的横坐标为m， ∴Q(m，3－m)，
∵CQ∶QB＝2，C(0，3)，B(3，0)， ∴OM∶MB＝2，
当点P在直线BC上方时，即0m＝2(3－m)，解得m＝2，此时P(2，3)；
当点P在直线BC下方且m>3时，
m＝2(m－3)，解得m＝6，此时P(6，－21)；
(2)若CQ∶QB＝2，求点P的坐标
例2题图②
【思维教练】遇到比例线段，找相似，竖直看，水平看，按比例设未知数；
当点P在直线BC下方且m<0时，
∵BQ>CQ，
∴此情况不存在．
综上所述，点P的坐标为(2，3)或(6，－21)；
例2题图②
(3)∵PC＝PB，
∴点P在直线BC的垂直平分线上，
由(1)可知直线BC的解析式为y＝－x＋3，
∴设直线BC的垂直平分线的解析式为y＝x＋b，
将BC中点( ， )代入y＝x＋b中得b＝0，
(3)连接PC，PB，若PC＝PB，求点P的坐标
【思维教练】PC＝PB，则点P在BC的垂直平分线上，由两垂直直线的解析式中k的关系，即可求得该垂直平分线的解析式，与抛物线解析式联立即可求解；
例2题图③
∴直线BC垂直平分线的解析式为y＝x，
联立得 ，解得 或 .
∴点P坐标为 或 ；
例2题图③
创新考法
(4)是否存在点P，使点 P到直线 BC的距离是点 M到直线 BC的距离的 3倍？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】通过相似将斜线段的比值转化为竖直线段的比值，表示出线段长，分情况列比例式求解即可．
(4)存在．如解图，过点P作直线BC的垂线，
垂足为点E，过点M作直线BC的垂线，垂足为点F，
例2题解图
∵∠PEQ＝∠MFQ＝90°，∠PQE＝∠MQF，
∴△PEQ∽△MFQ，
∵点P到直线BC的距离是点M到直线BC的距离的3倍，
∴ ＝3，
∵P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，－m＋3)，M(m，0)，
∴当点P在直线BC的上方即0PQ＝－m2＋3m，MQ＝－m＋3，
∴－m2＋3m＝3(－m＋3)，解得m＝3(舍去)；
同理，当点P在点C左侧抛物线上即m<0时，
例2题解图
创新考法
PQ＝m2－3m，MQ＝－m＋3，
∴m2－3m＝3(－m＋3)，解得m＝3(舍去)或m＝－3，
∴点P的坐标为(－3，－12)；
同理，当点P在点B右侧抛物线上即m>3时，
PQ＝m2－3m，MQ＝m－3，
∴m2－3m＝3(m－3)，
解得m＝3(舍去)．
综上所述，点P的坐标为(－3，－12)．
例2题解图
创新考法
考向二 线段最值问题
例3题图①
例3 抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，作直线BC.
(1)点P在直线BC上方的抛物线上，作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点Q，设点P的横坐标为m.
①求线段PQ的最大值；
一题多设问
解：(1)①∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将点B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，
得 ，解得 ，
∴y＝－x＋3，
∴P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，3－m)(0∴dPQ＝－m2＋2m＋3－(3－m)＝－m2＋3m＝－(m－ )2＋ ，
∵－1＜0，
∴当m＝ 时，PQ值最大，最大值为 ；
例3题图①
∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵PE∥y轴，PH⊥BC，
∴∠HEP＝45°，∠EHP＝90°，
②作PH⊥BC于点H，求PH的最大值；
斜线段最值
【思维教练】过点P作x轴的垂线交直线BC于点E，易证∠HEP＝45°，要求PH的最大值，可先求得PE的最大值，再结合三角函数即可求解；
②解：如解图①，过点P作y轴的平行线交BC于点E，
例3题图②
E
∴PH＝PE·sin∠HEP＝ PE，
∴要求PH的最大值，即求PE的最大值，
由①可得PE的最大值为 ，
∴PH的最大值为 PE＝ ；
例3题图②
E
(2) 在抛物线对称轴 l上是否存在一点 F，使得△ACF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△ACF周长的最小值；若不存在，请说明理由；
将军饮马求最值
【思维教练】因为AC长为定值， 要使 △ACF周长最小，即要使 CF＋AF的值最小，由点 A、B关于对称轴l对称，可知直线BC与对称轴l的交点即为点F，即可使 CF＋AF最小；
例3题图③
(2)解：存在．如解图②，连接BC交对称轴l于点F，连接AF，
例3题图③
F
∵C△ACF＝AC＋CF＋AF，AC为定值，
∴当CF＋AF的值最小时，△ACF的周长最小，
∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴AF＝BF，
∴当B、C、F三点共线时，BF＋CF的值最小，
即CF＋AF的值最小，
∴C△ACF＝AC＋CF＋AF
＝AC＋CF＋BF＝AC＋BC，
由①知直线BC的解析式为y＝－x＋3，
∵点F在直线BC上，抛物线对称轴l为直线x＝1，
∴令x＝1，则y＝2，
∴点F的坐标为(1，2)．
∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
∴OA＝1，OB＝3，OC＝3，
由勾股定理得AC＝ ，BC＝ ，
∴点F的坐标为(1，2)时，△ACF的周长最小，最小值为 ；
例3题图③
F
(3)若抛物线的顶点为D，点N为抛物线的对称轴上一点，求BN＋ DN的最小值．
胡不归求最值
【思维教练】要求BN＋ DN的最小值，首先构造直角三角形将
DN转化为一直角边，通过“化折为直”将问题转化为求点B到AD的距离即可求解．
例3题图④
例3题解图③
(3)解：如解图③，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AD，过点N作AD的垂线，垂足为点K，过点B作AD的垂线，垂足为点T，交对称轴于点N′，
∵抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点D的坐标为(1，4)，
∵A(－1，0)，B(3，0)，
∴AE＝EB＝2，AB＝4，
由勾股定理得AD＝ ，∴sin∠ADE＝ ，
∵NK⊥AD，
∴sin∠NDK＝ ，
∴NK＝ DN，
∴BN＋ DN＝BN＋NK，
∴当B、N、K三点共线时，
BN＋ DN取得最小值，即线段BT，
例3题解图③
∵S△ABD＝ AB·DE＝ AD·BT，
∴ ×4×4＝ ×2 BT，
∴BT＝ ，
∴BN＋ DN的最小值为 .
例3题解图③
综合训练
三阶
1. (2023黔西南州26题16分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)交x轴于点
A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
第1题图
(1)解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(6，0)，B(－1，0)，
将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，
得 ， 解得 .
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6.
(3分)
第1题图
∴y＝－x2＋5x＋6＝－(x－ )2＋ ，
∴抛物线的顶点坐标为( ， )； (4分)
第1题图
(2)由抛物线解析式可求得点C坐标为(0，6)，
∴OC＝OA＝6，∠OAC＝45°.
∵PD∥x轴，PE∥y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，PD＝PE,(5分)
(2)如图①，点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；
第1题图
∴PD＋PE＝2PE.
∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．(6分)
设直线AC的解析式为y＝kx＋m，将A(6，0)、C(0，6)两点代入，
得 ，解得 .
∴y＝－x＋6. (7分)
设E点坐标为(t，－t＋6)，则P点坐标为(t，－t2＋5t＋6)，
且0则PE＝(－t2＋5t＋6)－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，
第1题图
∴PE是关于t的二次函数，－1<0，
∴当t＝3时，PE有最大值，最大值为9.
当t＝3时，－t2＋5t＋6＝12.
∴当PD＋PE取最大值时，点P的坐标为(3，12)；(10分)
第1题图
(3)如图②，点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．
∵∠HAC＝45°，∴∠QAC＝∠OCA＝45°，
∵AC垂直平分线段MN，
∴AM＝AN，∠NAC＝∠MAC，
∴∠HAN＝∠MAQ，
∴Rt△ANH≌Rt△AMQ，(12分)
(3)解：如解图①，过点A，M分别作y轴、x轴的平行线交于点Q，过点N作x轴的垂线，垂足为点H. 则∠MQA＝∠NHA＝90°，
Q
H
∴NH＝MQ.
∵MQ＝xQ－xM＝6－ ＝ ，
∴NH＝ .
设点N的坐标为(t，－t2＋5t＋6)，
由NH＝ ，得－t2＋5t＋6＝ .
解得t1＝ ，t2＝ .t1，t2均符合题意．
∴点N的坐标为( ， )或( ， ).(16分)
Q
H
【一题多解】
如解图②，设直线AC交对称轴l于点F，连接NF.
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC.
∵l∥y轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠NFC＝45°，∠MFN＝∠MFC＋∠NFC＝90°，
∴NF∥x轴．
由(2)可得直线AC的解析式为y＝－x＋6，
当x＝ 时，代入求得y＝ ，
第1题解图②
∴点F的坐标为( ， )，∴点N的纵坐标也为 ，
设点N的坐标为(t，－t2＋5t＋6)，则－t2＋5t＋6＝ ，
解得t1＝ ，t2＝ .
t1，t2均符合题意．
∴点N的坐标为( ， )或( ， ).(16分)
第1题解图②