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方程与不等式
【考点串讲】
一、方程
1、只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。
2、含有 2 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 次，这样的方程叫二元一次方程.
3、含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
4、二元一次方程组的解法有 法和 法.
5、只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为 。
6、解一元二次方程的方法有：
① 直接开平方法；②配方法；③ 公式法；④ 因式分解法
例：（1） （2） （3） （4）
7、一元二次方程的根的判别式：
叫做一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根； 反之也成立。
8、一元二次方程的求根公式：
9、 分母 中含有未知数的方程叫分式方程.
10、解分式方程的基本思想是 将分式方程通过去分母转化为整式方程 .
◆ 解分式方程的步骤
◆ 1、去分母， 化 分式方程 为 整式方程 ；
◆ 2、解这个 整式方程 ；
◆ 3、验 根。
注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．
(2)因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤．
二、不等式
1、 只含有 一个 未知数，并且未知数的次数是 1 ，系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。
2、不等式的基本性质：
①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向 ；
②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 ；
③不等号的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 。
3、解一元一次不等式的一般步骤是：
①去分母②去括号③移项、合并同类项④系数化为1。
◆注意：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，要 不等号的方向．
4、不等式组的分类及解集：
一元一次不等式组 （a无解
【典例探究】
一、选择题
1、如果方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
2、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则这个增长百分数是（ ）
A. 10% B. 15% C. 18% D. 20%
3．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确的是( )
A. 100（1-x%）2=120 B. 100（1+x%）2=120 C. 100（1+2x%）2=120 D. 100（1+x2%）2=120
4．若x2+2x－3=0，则的值是（ ）
A．－1 B．1 C．1或－1 D．2
5．方程的解是（ ）.
A： B： C： D：
6、 的解是（ ）
Ａ． Ｂ．， Ｃ． Ｄ．
二、填空题
1．方程的解为 ．
2．方程的解是______________．
3. 解关于x的方程x(x-2)+(x-4)=0的解为 。
4．方程的解是 ．
5．方程的解为 ．
6、方程x2－2＝0的解为_______.
7、方程的解为____________
8、方程的解为_ _________.
9、关于x的方程有两个相等的实数根，则m=___________.
10、若不等式组的解集是，则___________。
11、若是关于的一元一次方程，则= ．
12、若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
13、轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为_________________________________．
三、解方程、解方程组、解不等式（组）：
1、x2－2x－1088=0 2、． 3、.
4、 5、 6、
7、 8、. 9、 10、
11、解方程组 12、解不等式组，并写出不等式组的正整数解。
四、应用题
1、离中考还有100天时，红旗学校要租车去某高中礼堂开誓师大会。已知出租汽车公司有甲、乙两种不同型号的客车，其中租1辆甲型客车和2辆乙型客车每人一座可恰好坐162人；租用2辆甲型客车和1辆乙型客车每人一座恰好坐144人，出租汽车公司公布的租金价格如下：甲型客车320元/辆，乙型客车460元/辆。红旗学校共有660名师生，学校准备支付的租车的费用最多是5320元。
（1）求甲、乙两种型号的客车每辆各有多少个座位；
（2）若红旗中学要租用甲、乙两种型号的客车共14辆，请你通过计算，设计出红旗学校的租车方案，并求出租车最低费用。
2、甲、乙同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点200本图书与乙同学清
点300本图书所用的时间相同，且甲同学平均每分钟比乙同学少清点10本，求甲同
学平均每分钟清点图书的数量．
3、清明节某校组织270名老师和学生团员赴烈士陵园扫墓，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位.
（1）求中巴车和大客车各有多少个座位？
（2）客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？
4、将进价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，经市场调查得知，该商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？
5、改革开放30年来，我国的文化事业得到了长足发展，以公共图书馆和博物馆为例，
1978年全国两馆共约有1550个，至2008年已发展到约4650个. 2008年公共图书馆的数量比1978年公共图书馆数量的2倍还多350个，博物馆的数量是1978年博物馆数量的5倍. 2008年全国公共图书馆和博物馆各有多少个？
6、某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要天；甲队每天的工作费用为元、乙队每天的工作费用为元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？
7、某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件。学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李。
（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元和1800元，请你选择最省钱的一种租车方案。
8、甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲每天比乙少加工5个玩具，求甲、乙两人每天各加工多少个玩具？
9、广州市中山大道快速公交（简称BRT）试验线道路改造工程中，某工程队小分队承担了100米道路的改造任务．为了缩短对站台和车道施工现场实施围蔽的时间，在确保工程质量的前提下，该小分队实际施工时每天比原计划多改造道路10米，结果提前5天完成了任务，求原计划平均每天改造道路多少米？
10、2008年5月12日14时28分在我国四川省汶川地区发生了里氏8.0级强烈地震，灾情牵动全国人民的心，“一方有难、八方支援”．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区人民，在加工了300顶帐篷后，由于救灾需要工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成了任务．求原来每天加工多少顶帐篷？
11、在家电下乡活动中，某厂家计划将100台冰箱和54台电视机送到乡下.现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部运走，已知一辆甲种货车同时可装冰箱20台、电视机6台，一辆乙种货车同时可装冰箱8台、电视机8台.
(1) 将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？
(2) 若甲种货车每辆付运输费1300元，乙种货车每辆付运输费1000元，要使运输总费用最少，应选择哪种方案？
12、将一箱苹果分给若干小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，求这箱苹果的个数与小朋友的人数。
13、为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排人，则还剩人；若每处安排人，则有一处的人数不足人，但不少于人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数.
14、某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘带）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘带），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由.
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方程与不等式 答案：
【典例探究】
一、选择题 1C 2D 3B 4A 5B 6C
二、填空题
1、x1=3，x2=-1 2、 3、 4、, 5、
6、x＝± 7、 8、2或-1 9、
10、解：解原不等式组得：因为不等式组的解集为：
11、 12、 13、
三、解答题
1、x1=－32，x2=34
2、解:方程两边同时乘以得
整理得 解得
检验:当时, ∴不是原分式方程的解
∴原分式方程无解
3、解： . . 解得 .
经检验，是原分式方程的解.
4、， ， ∴ ∴
5、解：两边都乘以得：
检验：把代入= ∴是原分式方程的解。
6、x=2是增根，原方程无解。
7、解：两边同乘以（x－２），得x＝４－x＋x－２ 解得x＝２
检验：当x＝２时，x－２＝２－２＝０ ∴x＝２是增根，原方程无解．
8、解：方程两边部乘以，约去分母，得
解这个整式方程，得
检验：把代入，得 ∴是增根 ∴原方程无解
9、解：去分母，得：
经检验：为原方程的解
10、解：
∴ ∴，
11、
12、解：解不等式①得： 解不等式②得：
四、应用题
1、解：（1）设甲、乙两种型号的客车每辆各有个座位.
根据题意得： 解得
答：甲、乙两种型号的客车每辆各有42、60个座位.
（2）设甲辆，乙辆，费用元.
解得
随的增大而增大
时最小. 最小为5040 甲10辆，乙4辆.
答：红旗学校的租车方案：甲10辆，乙4辆.租车最低费用是5040元.
2、解：设甲同学平均每分钟清点图书本，则乙同学平均每分钟清点图书（x+10）本，
依题意，得 ． 解得x=20.
经检验x=20是原方程的解，且符合题意．
答：甲同学平均每分钟清点图书20本．
3、解：（1）设每辆中巴车有座位x个，每辆大客车有座位（x＋15）个，
依题意有
解之得：x1＝45，x2＝－90（不合题意，舍去）
答：每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个．
（2）
①若单独租用中巴车，租车费用为×350＝2100（元）
②若单独租用大客车，租车费用为（6－1）×400＝2000（元）
③设租用中巴车y辆，大客车（y＋1）辆，则有45y＋60（y＋1）≥270
解得y≥2，当y＝2时，y＋1＝3，运送人数为45×2＋60×3＝270合要求
这时租车费用为350×2＋400×3＝1900（元）
故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费少200元，比单独租用大客车的租车费少100元．
4、
解：设涨价x元，则售价为（50+x）元． 依题意，列方程，得
（50+x-40）（500-10x）=8000． 整理，得x2-40x+300=0，解得x1=10，x2=30．
答：售价应定为60或80元．
5、解：设1978年全国有公共图书馆x个，博物馆y个，
由题意，得 解得
则，.
答：2008年全国有公共图书馆2650个，博物馆2000个.
6、解：设甲队单独完成需天，则乙队单独完成需要天．根据题意得
，解得．
经检验是原方程的解，且，都符合题意．
∴应付甲队（元）．
应付乙队（元）．
∴公司应选择甲工程队，应付工程总费用元．
7、解：设租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车（8-x）辆。
依题意得： 解得
方案①：当时，
方案②：当时，
即：租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆或者租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆
（2）设总费用为W元，则
∵200∴随着x的增大而增大。
∴时，最小值为15400元。
8、解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工（x+5）个玩具
根据题意可得： 解得x=15 经检验：x=15是原方程的解；x+15=20
答：甲、乙两人每天各加工15和20个玩具。
9、解：设原计划平均每天改造道路x米,依题意得：
化简得：-
经检验是原方程的根。
答：原计划平均每天改造道路10米
10、100
11、 (1) 设租用甲种货车辆，则乙种货车为（）辆.
依题意，得： 解不等式组，得：
这样的方案有三种：甲种货车分别租辆，乙种货车分别租辆
(2) 总运费.
因为随着增大而增大，所以当时，总运费最少，为元.
12、解：设共有x个小朋友，则苹果共有个，依题意得：
解这个不等式组，得： ∵x只能为正整数，∴x只能取5，6
当x=5时，苹果有（个）
当x=6时，苹果有（个）
答：当有5个小朋友时，苹果有37个；当有6个小朋友时，苹果有42个。
13、解：设参加处公共场所的义务劳动，则学校派出名学生，依题意得：
∴ 又为整数，∴
∴当时，
答：这所学校派出55名学生，参加4处公共场所的义务劳动
14、解：设需刻录x张光盘，则到电脑公司刻录需y1=8x（元） 自刻录需y2=120+4x（元）
当y1=y2时，8x=120+4x， 解得x=30;
当y1＞y2时，8x＞120+4x, 解得x＞30;
当y1＜y2时，8x＜120+4x, 解得x＜30.
所以，当需刻录30张光盘时，到电脑公司刻录和自刻费用相等；
当需刻录超过30张光盘时，自刻费用省；
当需刻录不超过30张光盘时，到电脑公司刻录费用省.
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