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相交线
【学习目标】
1．了解两条直线相交形成四个角，理解对顶角的概念。
2．掌握对顶角的性质及它的推导过程。
3．培养识图能力，能运用对顶角的性质解决一些问题。
4．要掌握好垂线及相关概念。
5．会用垂线定义解决相关问题。
6．了解垂线的画法。
7．掌握垂线的性质。
8．能够画出线段，射线所在直线的垂线。
9．了解垂线段，点到直线的距离概念。
10．掌握垂线的性质。
11．会运用垂线段的性质解决实际问题。
【学习重难点】
1．对顶角的概念、对顶角的性质与应用。
2．对顶角相等的性质的运用。
3．用垂直定义解决相关问题。
4．能够画出线段，射线所在直线的垂线。
5．了解垂线段，点到直线的距离概念掌握垂线的性质。
6．会运用垂线段的性质解决实际问题。
【学时安排】
3学时
【第一学时】
【学习过程】
一、自主学习
1．自学课本内容解决以下问题：
（1）观察剪刀剪东西的过程，两个手柄构成的角和两片刀刃构成的角位置保持怎么的联系？
【答案】保持相等。
（2）对顶角的概念是什么？
【答案】有公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
（3）对顶角的性质是什么？
【答案】对顶角相等
2．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠EOD= (
A
B
C
D
E
O
)55°，求∠BOD。
解：∵ AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOD=55°，
∴ ∠AOD=∠BOC=55°x2=110°
∴ ∠BOD=180°-110°=70°
二、合作探究
1．剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两个角的位置保持怎样的关系？
【答案】保持相等关系
2．判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
(
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
（
5
）
（
6
）
)
【答案】根据对顶角定义，（5）中∠1和∠2是对顶角，其余不符合对顶角定义，都不是对顶角。
3．用量角器量一量课本图10-1（2）中∠1和∠3的度数，并比较它们的大小关系？你能说明具有这种关系的道理吗？
由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°可得∠1＝∠3。
想一想：为什么？
【答案】根据等量代换可知。
4．对顶角的性质：__________________________________________。
【答案】对顶角相等。
【达标检测】
1.如图，图中的对顶角共有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】A
【分析】此题主要考查了对顶角，关键是掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
利用对顶角定义可得答案；
【详解】图中的对顶角共有4对，
有和和和和
故选：A．
2.下列四个图形中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了对顶角，根据对顶角的定义，“对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角”，据此即可判断．
【详解】解：A、和不是对顶角，故本选项不符合题意；
B、和不是对顶角，故本选项不符合题意；
C、和是对顶角，故本选项符合题意；
D、和不是对顶角，故本选项不符合题意；
故选：C
3.如图，已知直线与相交于点F，平分，若，则度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义及对顶角相等等知识点．先根据角平分线的定义得出，再根据对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴．
故选：C．
4.如图，直线，相交于点，平分，平分，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是对顶角的性质和角平分线的定义，设为，根据角平分线的定义用表示出，列方程求出，根据对顶角相等得到答案．
【详解】解：设为，
平分，
，
，
平分，
，则，
解得，
，
故选：C．
5.如图，直线，相交于点，.若，则的度数是 .
【答案】120°
【解析】略
6.如图，直线相交于点．如果，那么的度数为 ．
【答案】
【解析】略
7.如图，直线、相交于点，平分，．
(1)求的度数；
(2)若，是否平分？
【答案】(1)
(2)平分，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，熟练的利用角的和差运算进行计算是解本题的关键．
（1）根据对顶角相等得到，然后利用角平分线的定义解题即可；
（2）根据垂直可以得到的度数，然后根据角的和差得到的度数，进而得到结论．
【详解】（1）解：解：∵，
∴，
又∵平分，
∴；
（2）解：平分，理由为：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
【第二学时】
【学习过程】
一、完成下列问题
1．两条相交直线所形成的4个角中，如果有一个角是90°，那么其他3个角的度数是多少？为什么？
【答案】其他3个角的度数都是90°，根据对顶角性质以及邻补角性质可知。
2．什么叫做垂线？什么叫做垂足？
【答案】在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O叫做垂足。
3．作已知直线的垂线方法有哪些？
【答案】（1）用三角尺画垂线
（2）用折纸方法画垂线
4．过一点能否画出已知直线的垂线？如果能，则能画几条？
【答案】过一点能画出已知直线的重线。只能画一条垂线
5．什么叫垂线定理？
【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
(
O
F
D
C
B
A
)
解：∵ AB、CD相交于O，
∴∠A0D=∠BOC
∵ OF AB,∠BOC=130°
∴∠DOF=130°-90°=45°
二、合作探究
1．垂线的定义：
归纳：当两条直线AB和CD相交的4个角中，有一个角是__________时，就说这两条直线互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的_________，它们的交点O叫做_________。直线AB、CD互相垂直，记作_________________________。
2．垂线的画法：
（1）用三角尺画垂线：过已知直线l上（或外）的一点P画直线l的垂线。
（2）用折纸方法画垂线：折出经过点P与直线l垂直的折痕，用直尺沿折痕画出直线，通过画图，你知道过一点画已知直线的垂线，能画几条？
结论：垂线的性质定理：过一点____________________________垂直于已知直线。
【答案】1.直角，垂线，垂足，AB CD
2.有且只有一条直线
【达标检测】
1.如图，直线a，b相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出的度数是解题的关键．根据垂直的定义可求的度数，然后根据邻补角的定义求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
2．如图，O是直线上一点．，射线平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂直的定义，邻补角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．先求出，再由平分，，再根据垂直的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．如图，直线交于点O，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角的计算，掌握对顶角相等以及图形中角的和差关系是正确解答的前提．根据垂直的定义，对顶角相等以及角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴
故选：B．
4．如图，点O在直线上，，、分别平分和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，根据垂线的定义可得，由结合邻补角的性质求得，再根据角平分线的性质即可求得．
【详解】解：，
，
，
，
平分，
，
故选：C．
5.如图，直线，相交于点O，，O为垂足，若，则 ．
【答案】/54度
【分析】本题考查平面图形中角的计算，平角的定义和垂直的定义，结合图形计算是解题的关键．根据平角的定义求出的度数，再根据垂直的定义求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
6.已知，．若OB在内，则的度数为 ．
【答案】30°
【解析】略
7．下列说法正确的有 （填序号）．
①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；④在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
【答案】①②
【解析】略
8.如图，直线、相交于点O，，O为垂足，如果，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了垂线定义的理解，对顶角相等，求一个角的余角，求一个角的补角，掌握以上知识是解题的关键．根据对顶角相等可知，根据余角的定义求得，根据邻补角的定义求得．
【详解】，，
，
，
，
，
故答案为：．
9.如图，平面上有A、B、C三点，按要求画图．
(1)画射线，画直线．
(2)连接，并取的中点D．
(3)过点D画线段．于点E．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】本题考查画射线，直线和线段．
（1）画出射线，直线即可；
（2）连接，取其中点即可；
（3）过点作于点即可．
掌握相关定义，是解题的关键．属于基础题型．
【详解】（1）解：如图，射线，直线即为所求；
（2）如图，线段，点即为所求；
（3）如图，即为所求．
【第三学时】
【学习过程】
一、自主学习
1．阅读课本内容解决下列问题：
（1）自学“观察”，你发现了什么结论？
【答案】在这些线段中，垂线段最短
（2）在连接直线外一点与直线上各点的线段中，______________最短。
【答案】垂线段
（3）什么叫做点到直线的距离？
【答案】直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
二、合作探究
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O、A、B、C其中______________，PO为直线外一点与垂足形成的线段，我们称PO为点P到直线l的垂线段。
比较线段PO、PA、PB、PC______________的长短，这些线段中，哪一条最短？
结论：连接直线外一点与直线上各点的线段中，______________最短。
简单说成：______________最短。
【答案】PO l；线段，PO线段最短；垂线段，垂线段
【达标检测】
1.下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
2.下列说法正确的是（ ）．
A．垂线段就是与已知直线相交的线段
B．垂线段就是垂直于已知直线的线段
C．垂线段就是一条竖起来的线段
D．过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段
【答案】D
【解析】略
3.如图．，，垂足分别为、．下列说法中错误的是（ ）
A．线段的长是点到的距离
B．、、三条线段，最短
C．线段的长是点到的距离
D．线段的长是点到直线的距离
【答案】C
【分析】本题考查点到直线的距离、垂线段的性质，根据定义“点到这一直线的垂线段的长度叫作点到这条直线的距离”以及垂线段最短，逐项判断即可．
【详解】解：由可知，线段的长是点到的距离，故A选项说法正确；
由垂线段最短可知，、、三条线段，最短，故B选项说法正确；
由可知，线段的长是点到的距离，故C选项说法错误；
由可知，线段的长是点到直线的距离，故D选项说法正确；
故选C．
4.P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
【答案】D
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键，根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．
【详解】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于，
故选D．
5.在直角坐标系中，点，点为轴上的一个动点，线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标的运用和垂线段最短的性质，根据题意，分析可得，当轴时，即可得到线段最小值，进而可得答案，解题的关键是正确理解垂线段最短的性质．
【详解】根据题意，当轴时，线段的长即为最小值，
此时，与的横坐标相同，即时，
∴线段的最小值，
故选：．
6.下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是 （填序号）．
【答案】②
【分析】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
【详解】解：图利用垂线段最短；
图利用两点之间线段最短；
图利用两点确定一条直线．
故答案为：．
7．如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短定义．首先观察图形，可以看出哪条线段是最短的，根据连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，结合即可得到答案．
【详解】解：∵根据题意可知，
∴最短的是，
∴理由为：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
8.如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．
【答案】/
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”即可得到答案．
【详解】解：，
，
点A到直线PC的距离是线段的长，
故答案为：．
9.用无刻度直尺在网格中画图（图中的点A、B、C、D都在网格的格点上）：
(1)画直线交于点G；
(2)过点A画直线，使；
(3)在直线上画出点O，使最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
（1）直接连接，交于一点，该点即为点G，
（2）取格点E，连接并延长，交格点F，即可求解；
（3）根据题意，得，由垂线段最短，得最小时，最小，则取格点O，连接，即作即可．
【详解】（1）解：如图，连接，交于一点G，点G为所求；
（2）解：如图，取格点E，连接并延长，交格点F，此时直线到直线的距离处处相等，即，
即直线为所求；
（3）解：点O在直线上，
，
的值是固定不变的，
当最小时，最小，即时，最小，
取格点O，连接，此时，
即点O为所求．
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【学习目标】
1．了解两条直线相交形成四个角，理解对顶角的概念。
2．掌握对顶角的性质及它的推导过程。
3．培养识图能力，能运用对顶角的性质解决一些问题。
4．要掌握好垂线及相关概念。
5．会用垂线定义解决相关问题。
6．了解垂线的画法。
7．掌握垂线的性质。
8．能够画出线段，射线所在直线的垂线。
9．了解垂线段，点到直线的距离概念。
10．掌握垂线的性质。
11．会运用垂线段的性质解决实际问题。
【学习重难点】
1．对顶角的概念、对顶角的性质与应用。
2．对顶角相等的性质的运用。
3．用垂直定义解决相关问题。
4．能够画出线段，射线所在直线的垂线。
5．了解垂线段，点到直线的距离概念掌握垂线的性质。
6．会运用垂线段的性质解决实际问题。
【学时安排】
3学时
【第一学时】
【学习过程】
一、自主学习
1．自学课本内容解决以下问题：
（1）观察剪刀剪东西的过程，两个手柄构成的角和两片刀刃构成的角位置保持怎么的联系？
（2）对顶角的概念是什么？
（3）对顶角的性质是什么？
2．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠EOD= (
A
B
C
D
E
O
)55°，求∠BOD。
二、合作探究
1．剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两个角的位置保持怎样的关系？
2．判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
(
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
（
5
）
（
6
）
)
3．用量角器量一量课本图10-1（2）中∠1和∠3的度数，并比较它们的大小关系？你能说明具有这种关系的道理吗？
想一想：为什么？
4．对顶角的性质：__________________________________________。
【达标检测】
1.如图，图中的对顶角共有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
2.下列四个图形中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3.如图，已知直线与相交于点F，平分，若，则度数是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，直线，相交于点，平分，平分，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
5.如图，直线，相交于点，.若，则的度数是 .
6.如图，直线相交于点．如果，那么的度数为 ．
7.如图，直线、相交于点，平分，．
(1)求的度数；
(2)若，是否平分？
【第二学时】
【学习过程】
一、完成下列问题
1．两条相交直线所形成的4个角中，如果有一个角是90°，那么其他3个角的度数是多少？为什么？
2．什么叫做垂线？什么叫做垂足？
3．作已知直线的垂线方法有哪些？
4．过一点能否画出已知直线的垂线？如果能，则能画几条？
5．什么叫垂线定理？
(
O
F
D
C
B
A
)
二、合作探究
1．垂线的定义：
归纳：当两条直线AB和CD相交的4个角中，有一个角是__________时，就说这两条直线互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的_________，它们的交点O叫做_________。直线AB、CD互相垂直，记作_________________________。
2．垂线的画法：
（1）用三角尺画垂线：过已知直线l上（或外）的一点P画直线l的垂线。
（2）用折纸方法画垂线：折出经过点P与直线l垂直的折痕，用直尺沿折痕画出直线，通过画图，你知道过一点画已知直线的垂线，能画几条？
结论：垂线的性质定理：过一点____________________________垂直于已知直线。
【达标检测】
1.如图，直线a，b相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，O是直线上一点．，射线平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线交于点O，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点O在直线上，，、分别平分和，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.如图，直线，相交于点O，，O为垂足，若，则 ．
6.已知，．若OB在内，则的度数为 ．
7．下列说法正确的有 （填序号）．
①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；④在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
8.如图，直线、相交于点O，，O为垂足，如果，则 ， ．
9.如图，平面上有A、B、C三点，按要求画图．
(1)画射线，画直线．
(2)连接，并取的中点D．
(3)过点D画线段．于点E．
【第三学时】
【学习过程】
一、自主学习
1．阅读课本内容解决下列问题：
（1）自学“观察”，你发现了什么结论？
（2）在连接直线外一点与直线上各点的线段中，______________最短。
（3）什么叫做点到直线的距离？
二、合作探究
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O、A、B、C其中______________，PO为直线外一点与垂足形成的线段，我们称PO为点P到直线l的垂线段。
比较线段PO、PA、PB、PC______________的长短，这些线段中，哪一条最短？
结论：连接直线外一点与直线上各点的线段中，______________最短。
简单说成：______________最短。
【达标检测】
1.下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）．
A． B．
C． D．
2.下列说法正确的是（ ）．
A．垂线段就是与已知直线相交的线段
B．垂线段就是垂直于已知直线的线段
C．垂线段就是一条竖起来的线段
D．过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段
3.如图．，，垂足分别为、．下列说法中错误的是（ ）
A．线段的长是点到的距离
B．、、三条线段，最短
C．线段的长是点到的距离
D．线段的长是点到直线的距离
4.P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
5.在直角坐标系中，点，点为轴上的一个动点，线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是 （填序号）．
7．如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是 ．
8.如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．
9.用无刻度直尺在网格中画图（图中的点A、B、C、D都在网格的格点上）：
(1)画直线交于点G；
(2)过点A画直线，使；
(3)在直线上画出点O，使最小．
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