课时2 正弦定理
学习目标 1.应用正弦定理解三角形，能根据正弦定理确定三角形解的个数. 2.掌握正弦定理的推论及变形公式，能应用其进行边角转化，解决三角形问题.
学习活动
导入：回顾什么是正弦定理，并说说正弦定理解三角形的适用条件有哪些？它们对应求出的三角形是否唯一确定？ 目标一：应用正弦定理解三角形，能根据正弦定理确定三角形解的个数. 任务：利用正弦定理解三角形，归纳正弦定理确定三角形个数的方法. 问题1：已知中，，求及三角形面积. 问题2：判断满足条件的是否存在，并说明理由. 问题3：结合问题2、3，思考已知三角形两边a、b和其中一边a的对角A，如何求解三角形？ 【归纳总结】 思考：已知三角形两边a、b和其中一边a的对角A，若A为锐角，三角形解的个数情况如何？a、b对应有怎样的关系式？若A为直角、钝角呢？ 【归纳总结】 练一练： 下列说法正确的是（ ）. A.当b=11, a=20, B=30°，三角形有一解 B.当c=54, b=39, C=120°，三角形有一解 C.当b=26, c=15, C=30°，三角形有一解 D.当a=2,b=6,A=30°，三角形有一解
目标二：掌握正弦定理的推论及变形公式，能应用其进行边角转化，解决三角形问题. 任务1：探索正弦定理与外接圆半径的关系，归纳正弦定理的变形公式. 如图所示，c是圆O的直径，R是圆O的半径，根据正弦定理，你发现与半径R有什么关系？借此，你发现在任意△ABC中，与半径R存在什么关系？ 【归纳总结】 任务2：应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题. 问题1：△ABC中，，求证△ABC为直角三角形. 【归纳总结】 问题2：如图所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：. 【归纳总结】 练一练： 在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “三角形的解”、“正弦定理的变形”
2课时2 正弦定理
学习目标 1.应用正弦定理解三角形，能根据正弦定理确定三角形解的个数. 2.掌握正弦定理的推论及变形公式，能应用其进行边角转化，解决三角形问题.
学习活动
导入：回顾什么是正弦定理，并说说正弦定理解三角形的适用条件有哪些？它们对应求出的三角形是否唯一确定？ 目标一：应用正弦定理解三角形，能根据正弦定理确定三角形解的个数. 任务：利用正弦定理解三角形，归纳正弦定理确定三角形个数的方法. 问题1：已知中，，求及三角形面积. 参考答案：解：由得： 由于，所以或. 当时， 而 所以三角形面积 当时，，不合题意，舍去. 从及大边对大角看出不可能成立. 问题2：判断满足条件的是否存在，并说明理由. 参考答案：解：假设满足条件的三角形存在，则由可知，又因为，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形. 问题3：结合问题2、3，思考已知三角形两边a、b和其中一边a的对角A，如何求解三角形？ 【归纳总结】 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法： 1．先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． 2．判断另一边对角的正弦值的大小： （1）如果正弦值>1，则无解． （2）如果正弦值=1，则一解且为直角， （3）如果正弦值<1，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论解的取舍：根据内角和或大边对大角验证. 思考：已知三角形两边a、b和其中一边a的对角A，若A为锐角，三角形解的个数情况如何？a、b对应有怎样的关系式？若A为直角、钝角呢？ 【归纳总结】三角形解的个数的判断： 练一练： 下列说法正确的是（ ）. A.当b=11, a=20, B=30°，三角形有一解 B.当c=54, b=39, C=120°，三角形有一解 C.当b=26, c=15, C=30°，三角形有一解 D.当a=2,b=6,A=30°，三角形有一解 参考答案：选B，A是2解；B是1解；C是2解；D是无解.
目标二：掌握正弦定理的推论及变形公式，能应用其进行边角转化，解决三角形问题. 任务1：探索正弦定理与外接圆半径的关系，归纳正弦定理的变形公式. 如图所示，c是圆O的直径，R是圆O的半径，根据正弦定理，你发现与半径R有什么关系？借此，你发现在任意△ABC中，与半径R存在什么关系？ 参考答案： 由图知,,因为在中，， 所以，在中，， 所以在中有. 又因为在圆O上，不论怎么移动，上述结论都成立， 所以对于任意，都有. 【归纳总结】 1.正弦定理的推论： 2.正弦定理的变形： (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sinA＝，sinB＝，sinC＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC. (4). 任务2：应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题. 问题1：△ABC中，，求证△ABC为直角三角形. 参考答案：证明：因为， 且 又因为，所以, 即，由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形. 【归纳总结】 利用正弦定理判断三角形形状的思路： 围绕三角形的边角关系，利用正弦定理进行边角互化: (1)把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系； (2)把边转化为角，通过三角变换找出角之间的关系. 问题2：如图所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：. 参考答案： 证明：如图，设 则由题意可知 在△ABD和△ADC中，分别应用正弦定理，可得 两式相除，可得. 【归纳总结】 利用正弦定理研究三角形或者四边形中的边角问题时，应该先确定需要研究的边或者角，在哪个三角形中研究，再利用正弦定理，转化边角关系，得到等量关系求解. 练一练： 在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状. 参考答案： 由＝及正弦定理得＝∴sin2A=sin2B ∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝， 故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “三角形的解”、“正弦定理的变形”
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