余弦定理与正弦定理的应用
学习目标 能应用正、余弦定理解决平面内不便到达的两点之间的距离问题. 能应用正、余弦定理解决运动变化过程中蕴含的解三角形问题.
学习活动
目标一：能应用正、余弦定理解决平面内不便到达的两点之间的距离问题. 任务：利用正、余弦定理解决下列情景中的距离问题. 情景：如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点，已知A，B，C，D这4点都在水平面上，而且已经测得 ，求AB的长. 【归纳总结】 练一练： 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离,已知山高,，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为( ). A． B． C． D． 目标二：能应用正、余弦定理解决运动变化过程中蕴含的解三角形问题. 任务：阅读情景材料，利用正、余弦定理解决情景中的问题. 情景：如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南方向，距城市A 300km的海面点P处，并以的速度向西偏北方向移动。如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为，将问题涉及范围内的地球表面看出平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响，如果会，求出受影响的时间，如果不会，说明理由. 练一练： 一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ） A．6海里 B．12海里 C．6或12海里 D．海里 思考：结合上述任务及上一课时的任务，小组讨论如何利用正余弦定理解决实际问题，其步骤是怎样的？ 【归纳总结】
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 正、余弦定理的实际应用有哪些？ 正、余弦定理解决实际问题的步骤是怎样的？
2余弦定理与正弦定理的应用
学习目标 能应用正、余弦定理解决平面内不便到达的两点之间的距离问题. 能应用正、余弦定理解决运动变化过程中蕴含的解三角形问题.
学习活动
目标一：能应用正、余弦定理解决平面内不便到达的两点之间的距离问题. 任务：利用正、余弦定理解决下列情景中的距离问题. 情景：如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点，已知A，B，C，D这4点都在水平面上，而且已经测得 ，求AB的长. 参考答案： 解：因为A，B，C，D4点在水平面上，所以 因此，所以在中， 在中，因为 由正弦定理可得： 因此 在中，由余弦定理可知 从而 【归纳总结】 1.解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决． 2.测量两个不可到达的点之间的距离：一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外两条边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决． 练一练： 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离,已知山高,，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为( ). A． B． C． D． 参考答案：A ， , 在中，由余弦定理得 ；即两山顶A，C之间的距离为． 目标二：能应用正、余弦定理解决运动变化过程中蕴含的解三角形问题. 任务：阅读情景材料，利用正、余弦定理解决情景中的问题. 情景：如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南方向，距城市A 300km的海面点P处，并以的速度向西偏北方向移动。如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为，将问题涉及范围内的地球表面看出平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响，如果会，求出受影响的时间，如果不会，说明理由. 参考答案： 解：城市与台风中心间距离小于等于台风半径，便受影响；影响时间为台风经过城市的时间差. 设台风中心x h后到达位置Q,
在△AQP中,P=30°,AP=300km,PQ=20x km,由余弦定理得
AQ2=AP2+PQ2-2AP×PQ×cos P.
当AQ≤100km时，城市A受到台风影响，代入化筒得
x2-15x+150≤0,解得5≤x≤10.
即城市A会受到影响，受影响时间为10-5=5(h). 练一练： 一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ） A．6海里 B．12海里 C．6或12海里 D．海里 参考答案：A 解：记轮船最初位置为，灯塔位置为，分钟后轮船位置为，如下图所示： 由题意得，，，则，即， 解得：，即灯塔与轮船原来的距离为海里. 思考：结合上述任务及上一课时的任务，小组讨论如何利用正余弦定理解决实际问题，其步骤是怎样的？ 【归纳总结】 （1）准确理解题意，分清已知与所求； （2）依题意画出示意图； （3）分析与问题有关的三角形； （4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案； （5）回归实际问题，作出解答.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 正、余弦定理的实际应用有哪些？ 正、余弦定理解决实际问题的步骤是怎样的？
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