复数的概念
学习目标 1.通过方程的解，体会数系扩充的必要性，理解复数的相关概念及代数表示. 2.理解复数的分类及复数相等的充要条件.
学习活动
导入： 问题1：观察上述数系扩充过程，说说为什么要进行数系扩充？ 问题2：在上述数系扩充的过程中，它们遵循什么运算律？ 问题3：x2=-1的方程在实数范围内有解吗？ 目标一：通过方程的解，体会数系扩充的必要性，理解复数的相关概念及代数表示. 任务：结合方程的解，体会数系扩充的必要性和“规则”，理解复数的相关概念及代数表示. 问题1：观察下列三次方程的分解因式，你发现它们都有几个正根？ 因式分解： （1）x3=9x+28→x3-9x-28=0→(x-4)(x2+4x+7)=0； （2）x3=15x+4→x3-15x-4=0→x3-16x+x-4 =4x(x2-16)+(x-4)=(x-4)(x2+4x+1)=0. 问题2：人们早在16世纪就发现，可以通过求根公式求解三次方程x3=px+q（p,q均为正实数）的正根，你能利用它直接计算，求解上述方程的正根吗？ （1）x3=9x+28；（2）x3=15x+4 问题3：如果规定，将按照类似实数的运算法则进行形式计算，你能解释吗？ 【概念讲解】 问题4：怎样表示2与i的和？又该怎样表示3减去i？5与i的乘积可以怎样表示？ 思考：2+i;3-i;5i在形式上有什么共同特点？ 【概念讲解】 复数： 练一练： 说出下列复数的实部与虚部. -1+2i , 2-3i, 2022 , i , 0 .
目标二：理解复数的分类及复数相等的充要条件. 任务1：了解复数集与实数集的包含关系，知道复数的分类. 【概念讲解】 虚数； 纯虚数. 练一练： 分别求实数x的取值，使得复数z=(x-2)+(x+3)i （1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数. 思考：纯虚数集、虚数集、实数集、复数集四者的关系是怎样的？用维恩图（Venn）如何表示？ 任务2：猜想复数相等的充要条件，能依据复数相等的条件求参数的值. 问题：类比向量坐标相等的概念，猜想复数、如何才能相等？ 【概念讲解】 复数相等 练一练： 1.若复数，则x，y的值分别为（ ） A.x=-4,y=-2；B.x=4,y=-2；C.x=-4,y=2；D.x=4,y=2. 2.若复数，则x，y的值分别为（ ）. A.；B.； C.；D..
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. 关键词：“数系扩充的基本规则”、“复数的基本概念”、“两个复数相等的含义”、“复数的分类”.
2复数的概念
学习目标 1.通过方程的解，体会数系扩充的必要性，理解复数的相关概念及代数表示. 2.理解复数的分类及复数相等的充要条件.
学习活动
导入： 问题1：观察上述数系扩充过程，说说为什么要进行数系扩充？ 问题2：在上述数系扩充的过程中，它们遵循什么运算律？ 参考答案：扩充后的数集规定的加法运算、乘法运算，与原来数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 问题3：x2=-1的方程在实数范围内有解吗？ 目标一：通过方程的解，体会数系扩充的必要性，理解复数的相关概念及代数表示. 任务：结合方程的解，体会数系扩充的必要性和“规则”，理解复数的相关概念及代数表示. 问题1：观察下列三次方程的分解因式，你发现它们都有几个正根？ 因式分解： （1）x3=9x+28→x3-9x-28=0→(x-4)(x2+4x+7)=0； （2）x3=15x+4→x3-15x-4=0→x3-16x+x-4 =4x(x2-16)+(x-4)=(x-4)(x2+4x+1)=0. 参考答案：均有唯一的正跟4. 问题2：人们早在16世纪就发现，可以通过求根公式求解三次方程x3=px+q（p,q均为正实数）的正根，你能利用它直接计算，求解上述方程的正根吗？ （1）x3=9x+28；（2）x3=15x+4 参考答案： （1） （2）由问题1，可知成立，但是不能由公式直接计算得出. 问题3：如果规定，将按照类似实数的运算法则进行形式计算，你能解释吗？ 参考答案： 所以可以认为 类似地，可以认为 从而形式上有 【概念讲解】 一般地，为了使得方程x2=-1有解,人们规定i的平方等于-1. 即i2=-1，并称i为虚数单位. 注意：虚数单位i与上述表示的意义是一样的，但是，为了避免混淆，如不特别声明，以后我们不再使用类似这样的表达式.也就是说，在中.还是要求a≥0， 问题4：怎样表示2与i的和？又该怎样表示3减去i？5与i的乘积可以怎样表示？ 参考答案：2+i;3-i;5i 思考：2+i;3-i;5i在形式上有什么共同特点？ 【概念讲解】 1.实数与i进行四则运算时，加法、乘法运算律仍然成立： （1）实数a与i的和记作a+i，实数0与i的和为i； （2）实数b与i的积记作bi. 注：实数0与i的积为0，实数1与i的积为i. 2.复数：形如a+bi的数（a,b是实数），复数一般用小写字母z表示.即z=a+bi(a,b R). 其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)=a, Im(z)=b. 复数全体组成的集合叫复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C={ z| z=a+bi ,a,b R} 练一练： 说出下列复数的实部与虚部. -1+2i , 2-3i, 2022 , i , 0 .
目标二：理解复数的分类及复数相等的充要条件. 任务1：了解复数集与实数集的包含关系，知道复数的分类. 【概念讲解】 对于复数a+bi(a,b∈R）， 当且仅当b=0时，它是实数； 当b≠0时，它叫虚数； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 练一练： 分别求实数x的取值，使得复数z=(x-2)+(x+3)i （1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数. 参考答案： （1）当，即时，复数是实数. （2）当，即时，复数是虚数. （3）当，且，即时，复数是纯虚数. 思考：纯虚数集、虚数集、实数集、复数集四者的关系是怎样的？用维恩图（Venn）如何表示？ 参考答案： 任务2：猜想复数相等的充要条件，能依据复数相等的条件求参数的值. 问题：类比向量坐标相等的概念，猜想复数、如何才能相等？ 【概念讲解】 如果两个复数z1、z2的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，记作z1=z2 即若在复数集中任取两个数() 两个复数相等 注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小,若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数。 练一练： 1.若复数，则x，y的值分别为（ ） A.x=-4,y=-2；B.x=4,y=-2；C.x=-4,y=2；D.x=4,y=2. 参考答案： 解：由解得，故答案选B. 2.若复数，则x，y的值分别为（ ）. A.；B.； C.；D.. 参考答案： 解：根据复数等于0的充要条件得： ，解得，故答案选B.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. 关键词：“数系扩充的基本规则”、“复数的基本概念”、“两个复数相等的含义”、“复数的分类”.
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