复数的乘、除运算
学习目标 1.理解复数除法的本质“分母实数化”，掌握复数的除法运算. 2.会求实系数一元二次方程在复数范围内的解集.
学习活动
目标一：理解复数除法的本质“分母实数化”，掌握复数的除法运算. 任务：根据乘法是除法的逆运算，推导除法的运算法则. 【新知讲解】 两复数相除的定义： 复数除法运算的两个性质： 问题： 1.设实数满足(a+bi)(1+2i)=1，利用方程组求的值， 2.除了利用乘法求解外，由除法可得a+bi=，由问题1得a+bi的一般式为，如何把化成一般式？ 思考：尝试推导出复数，且的除法法则，由此，你发现复数的除法可以看成是什么过程？ 【归纳总结】 练一练：求的值.
目标二：会求实系数一元二次方程在复数范围内的解集. 任务：利用复数的乘法求下列方程的根，归纳复数范围内的根的求解公式. 问题1：我们知道，虚数单位i是方程的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数a>0,那么方程在复数范围内的解集是什么？ 问题2：在复数范围内求方程的解集. 思考：在复数范围内，方程（其中,且）的根是什么？由此你发现一元二次方程在复数集的根的情况如何？ 【归纳总结】 练一练： 在复数范围内解方程：.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “除法运算”、“复数集内实系数一元二次方程求根公式”.
2复数的乘、除运算
学习目标 1.理解复数除法的本质“分母实数化”，掌握复数的除法运算. 2.会求实系数一元二次方程在复数范围内的解集.
学习活动
目标一：理解复数除法的本质“分母实数化”，掌握复数的除法运算. 任务：根据乘法是除法的逆运算，推导除法的运算法则. 【新知讲解】两复数相除的定义： 如果复数 则满足的复数称为除以的商，并记作：（或） 其中，称为被除数，称为除数. 复数除法运算的两个性质： 利用复数除法的定义，可以证明当为非零复数时，有 问题： 1.设实数满足(a+bi)(1+2i)=1，利用方程组求的值， 参考答案： 根据复数乘法有 所以解得 2.除了利用乘法求解外，由除法可得a+bi=，由问题1得a+bi的一般式为，如何把化成一般式？ 参考答案： 为了求出的值，我们将上述等式右边看成一个分式，这样一来就只要想办法把变成一个实数即可,注意到 因此，=== 思考：尝试推导出复数，且的除法法则，由此，你发现复数的除法可以看成是什么过程？ 【归纳总结】 1.一般的给定复数称为的倒数，的商也可以看成与的倒数之积， 2.复数除法的一般计算公式为： . 上面这种方法称为“分母实数化”. 3.规定（其中z≠0，n是正整数）. 练一练：求的值. 参考答案： 解：
目标二：会求实系数一元二次方程在复数范围内的解集. 任务：利用复数的乘法求下列方程的根，归纳复数范围内的根的求解公式. 问题1：我们知道，虚数单位i是方程的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数a>0,那么方程在复数范围内的解集是什么？ 参考答案： 因为，所以在复数内的解集为， 类似的，当a>0时，可得，所以方程在复数范围内的解集为 问题2：在复数范围内求方程的解集. 参考答案： 因为， 所以原方程可以化为， 从而可知或， 因此或， 所求解集为. 思考：在复数范围内，方程（其中,且）的根是什么？由此你发现一元二次方程在复数集的根的情况如何？ 参考答案： 将的二次项系数化为1，得. 配方，得，即. 由，知，可得. 所以原方程的根为. 【归纳总结】 当a，b，c∈R且a≠0时，关于x的方程称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根： (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根： (3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根： . 注：. 练一练： 在复数范围内解方程：. 参考答案：解：由题可知，又因为，所以.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “除法运算”、“复数集内实系数一元二次方程求根公式”.
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