复数的三角形式及其运算
学习目标 1.理解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义. 2.能应用复数乘、除运算的三角形式及其几何意义解决相关问题.
学习活动
目标一：理解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义. 任务1：类比复数乘法运算，探究复数三角形式的乘法运算及其几何意义. 问题1：设z1＝r1(cos θ1+isin θ1)，z2＝r2(cos θ2+isin θ2)，在复平面内作出z1、z2，试求出z1z2，并用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式. 参考答案： z1z2＝r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2） ＝r1r2［（cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2）+i（sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］ ＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］， 【归纳总结】 复数三角形式的乘法法则： 即两复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和（简记为：模数相乘，幅角相加）. 问题2：由复数乘法运算的三角表示，结合上述图像，思考讨论在复数平面内，复数乘法运算的三角表示有什么几何意义？ 【归纳总结】 复数乘法的几何意义： 设对应的向量分别为，将绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积. 上述两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘.特别地，如果，则： 练一练：计算，说说这两个复数相乘的几何意义. 参考答案：×＝＝. 因为,所以一个复数与i相乘,从向量角度,相当于把此复数对应向量绕原点沿逆时针方向旋转，如图所示. 任务2：类比复数三角形式的乘法运算及其几何意义，探究复数三角形式的除法运算及其几何意义. 问题1：如果非零复数的三角形式为：，利用两个共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，写出的三角形式，并写出的值. 参考答案： 若非零复数，则是的一个辐角， 因此， 而且 【归纳总结】 一般地，如果非零复数，那么是的一个辐角，因此 ， 问题2：已知，根据，你发现的三角表示是怎样的？ 参考答案： 由得即 问题3：复数,试求出，并用文字语言来表述复数除法的三角表示公式. 参考答案： 【归纳总结】 复数三角形式的除法法则： 即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差（简记为：模数相除，幅角相减）. 思考：由复数除法运算的三角表示，讨论在复数平面内，复数除法运算的三角表示有什么几何意义？ 【归纳总结】 复数除法的几何意义： 设对应的向量分别为，将绕原点O旋转（当时，按顺时针方向旋转角，当时，按逆时针方向旋转角），再将的模变为原来的倍，如果所得向量为则对应的复数为. 注：任意一个复数除以i，从向量角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，如图所示.
目标二：能应用复数乘、除运算的三角形式及其几何意义解决相关问题. 任务：应用复数乘除运算的三角形式解决下列问题. 问题1：求的值. 参考答案： 解：因为 ， 所以 问题2：如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明： 参考答案： 证明：假设每个正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，确定复平面， 由平行线内错角相等知分别等于的辐角主值, 因此应该的一个辐角， 又因为，而， 所以存在整数，使得， 由于都是锐角，于是，从而.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “复数乘、除法三角形式”、“复数乘、除法几何意义”.
2复数的三角形式及其运算
学习目标 1.理解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义. 2.能应用复数乘、除运算的三角形式及其几何意义解决相关问题.
学习活动
目标一：理解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义. 任务1：类比复数乘法运算，探究复数三角形式的乘法运算及其几何意义. 问题1：设z1＝r1(cos θ1+isin θ1)，z2＝r2(cos θ2+isin θ2)，在复平面内作出z1、z2，试求出z1z2，并用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式. 【归纳总结】 练一练：计算，说说这两个复数相乘的几何意义. 任务2：类比复数三角形式的乘法运算及其几何意义，探究复数三角形式的除法运算及其几何意义. 问题1：如果非零复数的三角形式为：，利用两个共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，写出的三角形式，并写出的值. 【归纳总结】 问题2：已知，根据，你发现的三角表示是怎样的？ 问题3：复数,试求出，并用文字语言来表述复数除法的三角表示公式. 【归纳总结】 思考：由复数除法运算的三角表示，讨论在复数平面内，复数除法运算的三角表示有什么几何意义？ 【归纳总结】
目标二：能应用复数乘、除运算的三角形式及其几何意义解决相关问题. 任务：应用复数乘除运算的三角形式解决下列问题. 问题1：求的值. 问题2：如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明：
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “复数乘、除法三角形式”、“复数乘、除法几何意义”.
2
