旋转体
学习目标 1.会从集合和旋转的角度定义球，理解球的相关概念、结构特征，会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题. 2.掌握球的表面积公式，能解决与球有关的表面积问题.
学习活动
目标一：会从集合和旋转的角度定义球，理解球的相关概念、结构特征，会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题. 任务1：观察图形，探索球的定义. 日常生活中的很多物体都可以抽象成球面，如图所示， （1）圆可以看成平面上到定点的距离等于定长的点的集合，类比圆，球面上的点有怎样的性质？ （2）球面可以通过什么图形旋转得到？ 参考答案：（1）球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合；（2）半圆 【新知讲解】 1.球的定义： 一个半圆绕着以它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面称为球面；球面围成的几何体，称为球． 2.球的相关概念 形成球面的半圆的圆心称为球的球心，连接球面上一点和球心的线段称为球的半径，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径． 3.球的表示方法：用表示它的球心的字母来表示，如球O. 4.球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合． 练一练： 1．球的任意两条直径不一定具有的性质是( ) A．相交 B．平分 C．垂直 D．都经过球心 参考答案：C 球的任意两条直径不一定垂直． 任务2：观察图形，探索球的结构特征，会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题. 问题： 当用刀去切一个球形的西瓜时（如图所示），所得到的截面是什么形状？ 一般地，如果用一个平面与球面相截，所得交线的形状是怎样的？ 参考答案：(1)圆面；(2)圆 如图，用一个平面α去截半径为R的球O，截得的圆面的圆心为O′，OO′与平面α有什么位置关系？若OO′＝d，O′P的长等于多少？ 参考答案：垂直、O′P= 【新知讲解】 球的截面性质： 1.用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直.如图. 2.如果用R和r分别表示球的半径和截面圆的半径，d表示球心到截面的距离，则R2=r2+d2，即球的半径、截面圆的半径和球心到截面的距离组成一个直角三角形，有关球的计算问题，常归结为解这个直角三角形. (1)球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆．此时，大圆的半径等于球的半径R; (2)球面被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆,则小圆的半径＝; (3)当把地球看成一个球时，经线就是球面从北极到南极的半个大圆；赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆。经度（取值区间为）与纬度（取值区间为），如图所示. 例1.把地球看成一个半径为6370Km的球，已知我国首都北京靠近北纬，求北纬纬线的长度（ 结果精确到1Km） 参考答案：解：作出截面图，如图所示，设A是北纬圈上的一点，AK是北纬圈的半径，O为球心，所以。 设北纬的纬线长为，因为，所以 【归纳总结】 球的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法． 练一练： 某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为，如图所示，则该地球仪的半径是（ ）cm. A.12 B. C. D. 参考答案：C 如图所示， 由题意知，北纬30°所在小圆的周长为， 则该小圆的半径，其中， 所以该地球仪的半径.故选C.
目标二：掌握球的表面积公式，能解决与球有关的表面积问题. 任务：应用球的表面积公式解决与球有关的表面积问题 我们知道，如果一个圆的半径为，那么它的周长为2，它的面积为，如果球的半径为R，你能猜出球的面表面积与中哪一个成正比吗？ 【新知讲解】 如果设球的半径为R，那么球的表面积为S＝4πR2 例2.已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积. （1）你能画出合适的图形来表示上述题目中的关系吗？ （2）如图所示是一个长方体，你能在空间中找出一点，使它到长方体的8个顶点的距离都相等吗？ 参考答案：解：由题设可知，长方体的体对角线的中的就是球心，又因为： 所以所求的球的表面积为： 练一练： 1.已知一个正方体的棱长为2. (1)正方体的八个顶点均在同一球面上，求此球的表面积． (2)一个球与正方体的各面都相切，求此球的表面积. 参考答案： (1)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图， 所以正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，即2R＝，∴R＝.∴球的表面积S＝4π×()2＝12π. (2)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图， 所以球的直径是正方体的棱长，即2R＝2，∴R＝1， ∴球的表面积S＝4π×12＝4π. 【归纳总结】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图． (1)一般要过球心及多面体中的特殊点或线作截面，将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系. (2)长方体、正方体与球切、接的常用结论： ①长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则 ②正方体的棱长为a，则正方体的外接球的半径，正方体的内切球的半径为，球与正方体的各棱相切，则球的半径为.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “球”、“球截面”、“球的表面积”
2旋转体
学习目标 1.会从集合和旋转的角度定义球，理解球的相关概念、结构特征，会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题. 2.掌握球的表面积公式，能解决与球有关的表面积问题.
学习活动
目标一：会从集合和旋转的角度定义球，理解球的相关概念、结构特征，会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题. 任务1：观察图形，探索球的定义. 日常生活中的很多物体都可以抽象成球面，如图所示， （1）圆可以看成平面上到定点的距离等于定长的点的集合，类比圆，球面上的点有怎样的性质？ （2）球面可以通过什么图形旋转得到？ 【新知讲解】 1.球的定义： 2.球的相关概念 3.球的表示方法： 练一练： 1．球的任意两条直径不一定具有的性质是( ) A．相交 B．平分 C．垂直 D．都经过球心 任务2：观察图形，探索球的结构特征，会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题. 问题： 当用刀去切一个球形的西瓜时（如图所示），所得到的截面是什么形状？ 一般地，如果用一个平面与球面相截，所得交线的形状是怎样的？ 如图，用一个平面α去截半径为R的球O，截得的圆面的圆心为O′，OO′与平面α有什么位置关系？若OO′＝d，O′P的长等于多少？ 【新知讲解】 球的截面性质： 例1.把地球看成一个半径为6370Km的球，已知我国首都北京靠近北纬，求北纬纬线的长度（ 结果精确到1Km） 【归纳总结】 练一练： 某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为，如图所示，则该地球仪的半径是（ ）cm. A.12 B. C. D.
目标二：掌握球的表面积公式，能解决与球有关的表面积问题. 任务：应用球的表面积公式解决与球有关的表面积问题 我们知道，如果一个圆的半径为，那么它的周长为2，它的面积为，如果球的半径为R，你能猜出球的面表面积与中哪一个成正比吗？ 【新知讲解】 例2.已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积. （1）你能画出合适的图形来表示上述题目中的关系吗？ （2）如图所示是一个长方体，你能在空间中找出一点，使它到长方体的8个顶点的距离都相等吗？ 练一练： 1.已知一个正方体的棱长为2. (1)正方体的八个顶点均在同一球面上，求此球的表面积． (2)一个球与正方体的各面都相切，求此球的表面积. 【归纳总结】
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “球”、“球截面”、“球的表面积”
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