祖暅原理与几何体的体积
学习目标 1.了解祖暅原理的内容，掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体、台体的体积公式. 2.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题.
学习活动
导入： 同一摞书，当改变摆放书的形式时， （1）它们的几何特征有何异同？ （2）这些几何体的体积是否相等？ 目标一：了解祖暅原理的内容，掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体、台体的体积公式. 阅读下列关于祖暅的简介，说说你对简介中提到的祖暅原理的理解. 祖暅简介： 祖暅,字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家。 祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理：“幂势既同，则积不容异”。“势”是立体的高，“幂”是截面积。意思是等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等. 祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式,该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅是我国古代最伟大的数学家之一。 【新知讲解】 1．祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．如图所示． 下列三个条件缺一不可，否则结论不成立： (1)两个几何体夹在两个平行平面之间； (2)被平行于两个平行平面的任意一个平面所截； (3)截得的两个截面面积总相等. 注：两个几何体可以是任意形状的. 任务1：掌握利用祖暅原理推导柱体的体积公式. 棱柱与圆柱统称为柱体.如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？ 【归纳总结】 1.等底面积、等高的两个柱体，体积相等. 2.体积公式：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh. 任务2：掌握利用祖暅原理推导锥体的体积公式. 问题1：棱锥和圆锥统称为锥体，如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱锥和圆锥，它们的体积相等吗？说明理由. 参考答案： 如图所示， 当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，即 而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比， 因此截面与底面的面积之比：， 从而由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个锥体，体积相等. 问题2：如图所示，将底面积为S，高为h的直三棱柱分割成如下3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？ 【归纳总结】 1.等底面积、等高的两个锥体，体积相等. 2.体积公式：如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为V锥体＝Sh. 练一练：如图所示，长方体中，求棱锥的体积和长方体的体积之比. 参考答案： 解：已知的长方体可以看成直棱柱， 设它的底面面积为S，高为h,则长方体的体积为： 因为棱锥可以看成棱锥， 且的面积为，棱锥的高为h, 所以 因此所求体积比为. 任务3：利用四棱台模型，推导台体的体积公式. 棱台和圆台统称为台体，因为台体可以看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到. 问题：已知四棱台上下底面面积分别为，而且高为，求这个棱台的体积. 参考答案： 解：如图所示， 将四棱台看成从棱锥中截去所得到的，且设两个棱锥的高分别为与 由已知有： 再由，因此可得： 从而可知棱台的体积为： 【归纳总结】 1.台体(棱台与圆台)的体积：如果台体的上、下底面面积分别为S、，高为h，则台体的体积计算公式为V台体＝()h. 思考：柱体、锥体、台体的体积有什么关系？ 2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系： 练一练： 中国古代数学名著《九章算术》中,将顶部为一线段，下底为一矩形的拟柱体称之为刍甍(méng)，如图几何体为刍甍，已知面是边长为3的正方形，，与面的距离为2，则该多面体的体积为 A． B． C． D． 参考答案：C 不妨设面BCF，如图所示， ， 连接BE，CE，则多面体ABCDEF的体积为： V＝V四棱锥E﹣ABCD+V三棱锥E﹣BCF ＝×32×2+××3×2×2＝6+2=8． 【归纳总结】 常用的求几何体体积的方法： (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算 (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高，使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等. (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为可计算体积的几何体.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “祖暅原理”、“柱体、锥体、台体的体积”
2祖暅原理与几何体的体积
学习目标 1.了解祖暅原理的内容，掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体、台体的体积公式. 2.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题.
学习活动
导入： 同一摞书，当改变摆放书的形式时， （1）它们的几何特征有何异同？ （2）这些几何体的体积是否相等？ 目标一：了解祖暅原理的内容，掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体、台体的体积公式. 阅读下列关于祖暅的简介，说说你对简介中提到的祖暅原理的理解. 祖暅简介： 祖暅,字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家。 祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理：“幂势既同，则积不容异”。“势”是立体的高，“幂”是截面积。意思是等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等. 祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式,该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅是我国古代最伟大的数学家之一。 【新知讲解】 1．祖暅原理： 2．含义： 任务1：掌握利用祖暅原理推导柱体的体积公式. 棱柱与圆柱统称为柱体.如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？ 【归纳总结】 任务2：掌握利用祖暅原理推导锥体的体积公式. 问题1：棱锥和圆锥统称为锥体，如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱锥和圆锥，它们的体积相等吗？说明理由. 问题2：如图所示，将底面积为S，高为h的直三棱柱分割成如下3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？ 【归纳总结】 练一练：如图所示，长方体中，求棱锥的体积和长方体的体积之比. 任务3：利用四棱台模型，推导台体的体积公式. 棱台和圆台统称为台体，因为台体可以看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到. 问题：已知四棱台上下底面面积分别为，而且高为，求这个棱台的体积. 【归纳总结】 1.台体(棱台与圆台)的体积： 思考：柱体、锥体、台体的体积有什么关系？ 2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系： 练一练： 中国古代数学名著《九章算术》中,将顶部为一线段，下底为一矩形的拟柱体称之为刍甍(méng)，如图几何体为刍甍，已知面是边长为3的正方形，，与面的距离为2，则该多面体的体积为 A． B． C． D． 【归纳总结】 常用的求几何体体积的方法：
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “祖暅原理”、“柱体、锥体、台体的体积”
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