课时9 祖暅原理与几何体的体积
学习目标 1.掌握利用祖暅原理推导球的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题. 2.了解组合体的概念，掌握求组合体表面积、体积的方法，并解决实际应用问题.
学习活动
目标一：掌握利用祖暅原理推导球的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题. 任务：解决下列问题，探究球的体积公式. 1.你能想办法测出一个乒乓球的体积吗？ 2.如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系. 3.推导球的体积公式. 【归纳总结】 练一练： 若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( ) A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
目标二：了解组合体的概念，掌握求组合体表面积、体积的方法，并解决实际应用问题. 任务：了解组合体的概念，解决组合体有关的问题. 【新知讲解】 组合体 概念： 问题：如图所示，某铁质零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为2cm，现有这种零件一盒共50kg,取铁的密度为 （1）估计有多少个这样的零件？ （2）如果要给这盒两件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料 （球和棱柱接口处面积不计，结果精确到1）？ 【归纳总结】 练一练： 如图，由所给图形及数据(单位：cm)求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
学习总结
任务：回答下列问题，巩固本课所学. 球的体积公式是什么？如何求组合体的体积、表面积
2祖暅原理与几何体的体积
学习目标 1.掌握利用祖暅原理推导球的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题. 2.了解组合体的概念，掌握求组合体表面积、体积的方法，并解决实际应用问题.
学习活动
目标一：掌握利用祖暅原理推导球的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题. 任务：解决下列问题，探究球的体积公式. 1.你能想办法测出一个乒乓球的体积吗？ 参考答案： 能，可将乒乓球固定在容器的底部，使用排水法求体积. 2.如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系. 参考答案： 解答：如图，左图的截面为半径为的圆，右图的截面分别为半径为的两个同心圆环 由于右图的圆环面积为 即左右两图的截面面积始终相等， 3.推导球的体积公式. 参考答案： 法1：由祖暅原理，左右两个立体图形的体积相等 即： 如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝ 法2：类比利用圆的周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥形”。 当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平。“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R，设O-ABCD是其中一个“小椎体”，它的体积是 由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积之和就是球的表面积。因此，球的体积 . 【归纳总结】 球的体积公式：设球的半径为R，则. 练一练： 若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( ) A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 参考答案：C 设球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当球的半径扩大到原来的2倍后， 其体积变为原来的23＝8倍．
目标二：了解组合体的概念，掌握求组合体表面积、体积的方法，并解决实际应用问题. 任务：了解组合体的概念，解决组合体有关的问题. 【新知讲解】 组合体 概念：由简单几何体组合而成的几何体一般称为组合体．常见的组合体大多是由 柱、锥、台、球等几何体组成的． 问题：如图所示，某铁质零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为2cm，现有这种零件一盒共50kg,取铁的密度为 （1）估计有多少个这样的零件？ （2）如果要给这盒两件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料 （球和棱柱接口处面积不计，结果精确到1）？ 参考答案： 解：（1）每个零件的体积为： 因此每个零件的质量为： 因此可估计出零件的个数为：. （2）每个零件的表面积为： 因此零件的表面积之和约为： 即需要能涂33389的材料. 【归纳总结】 求空间几何体体积的解题方法： (1)求简单几何体的体积：若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解。 (2)求组合体的体积：若所给的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解. 练一练： 如图，由所给图形及数据(单位：cm)求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积． 参考答案： 解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和半个球面．S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π. 故所求几何体的表面积为68π cm2，由 V圆台＝×(π×22＋＋π×52)×4＝52π(cm3)， V半球＝π×23×＝π (cm3)，所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π (cm3)．
学习总结
任务：回答下列问题，巩固本课所学. 球的体积公式是什么？如何求组合体的体积、表面积
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