平面的基本事实与推论
学习目标 1.了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论. 2.能运用平面基本事实与推论解决相关问题.
学习活动
目标一：了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论. 任务1：通过观察实例，思考问题，体会平面的基本事实. 问题1：观察如图的凳子，把凳子看成一个平面，思考：
（1）如果把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点？ （2）有多少个平面能通过空间中指定的一点？有多少平面能通过空间中指定的两点？ 【新知讲解】 平面基本事实1： 问题2：如图，是一长排挂钩，在墙上钉这个挂钩时，我们只需钉几个钉子？由此，思考直线上至少已知几个点在某平面内时，就能确保直线在该平面内？ 【新知讲解】 平面基本事实2： 问题3：当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的. （1）裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？ （2）两个平面相交时，公共点具有什么特点？ 【新知讲解】 平面基本事实3： 练一练： 下列命题正确的是（ ） A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D.四边形确定一个平面 任务2：根据平面的基本事实，探究平面的其他性质. 【新知讲解】 推论1： 推论2： 推论3： 思考：如何利用平面基本事实证明以上3个推论？ 练一练： 用符号表示下列语句，并画出图形. （1）点A在平面α内但在平面β外； （2）直线a经过平面α内一点A，α外一点B； （3）直线a在平面α内，也在平面β内；
目标二：能运用平面基本事实与推论解决相关问题. 任务：运用所学知识解决下列证明问题. 问题1：证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内. 【归纳总结】 问题2：如图所示的正方体中，E是棱上的一点，试说明3点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线. 【归纳总结】 确定两平面交线的方法： 练一练： 如图，已知E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点． 求证：E，F，G，H四点共面．
学习总结
任务：回忆本课所学，构建知识导图.
2平面的基本事实与推论
学习目标 1.了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论. 2.能运用平面基本事实与推论解决相关问题.
学习活动
目标一：了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论. 任务1：通过观察实例，思考问题，体会平面的基本事实. 问题1：观察如图的凳子，把凳子看成一个平面，思考：
（1）如果把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点？ 参考答案：三个点
（2）有多少个平面能通过空间中指定的一点？有多少平面能通过空间中指定的两点？ 参考答案：无数个、无数个. 【新知讲解】 平面基本事实1： 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面. 符号表示：A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 图形表示： 可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面” 注： (1)“有且只有一个”的含义：“有”说明对象存在；“只有一个”说明对象是唯一的. (2)过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示. 作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面 问题2：如图，是一长排挂钩，在墙上钉这个挂钩时，我们只需钉几个钉子？由此，思考直线上至少已知几个点在某平面内时，就能确保直线在该平面内？ 【新知讲解】 平面基本事实2： 文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 符号表示：A∈α，B∈α AB α 图形表示： 注意：直线和平面是数学上的概念，具有较强的抽象性，直线是没有粗细，无限延伸的，平面是没有厚度，无限延伸的. 作用： ①判定直线是否在平面内； ②判断一个面是否是平面：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。 例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上. 问题3：当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的. （1）裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？ （2）两个平面相交时，公共点具有什么特点？ 参考答案：（1）直线（2）共线 【新知讲解】 平面基本事实3： 文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号表示：P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l 图形表示： 注： (1)基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有； (2)在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些，如图所示. 作用：①判定两个平面是否相交；②判定多点共线、多线共点. 练一练： 下列命题正确的是（ ） A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D.四边形确定一个平面 参考答案：C 任务2：根据平面的基本事实，探究平面的其他性质. 【新知讲解】 推论1： 文字表示：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面，可以简记为：“直线与直线外一点确定一个平面”. 符号表示：A l 存在唯一的平面α，使A∈α，且l α 图形表示： 推论2： 文字表示：经过两条相交直线，有且只有一个平面，可以简记为：“两相交直线确定一个平面”. 符号表示：l∩m＝A 存在唯一的平面α，使l α，且m α 图形表示： 注：三角形是平面图形，因此三角形的性质及解三角形等结论可以在空间中继续应用. 推论3： 文字表示：经过两条平行直线，有且只有一个平面，可以简记为：“两条平行直线确定一个平面”. 符号表示：l∥m 存在唯一的平面α，使l α，且m α 图形表示： 注：平行四边形，梯形是平面图形，因此平行四边形，梯形的性质及判定等结论在空间中仍然成立. 思考：如何利用平面基本事实证明以上3个推论？ 参考答案： 推论1的证明：如图所示，在直线l上取两点A，B，因为C l，所以A，B，C 3点不共线. 由基本事实1可知，A，B，C确定一个平面，记为α. 由基本事实2以及A∈α，B∈α可知l α. 因此平面α经过直线l和点A.即一条直线和这条直线外一点确定一个平面. 推论2的证明：如图所示直线BC和直线AC相交与C. 由基本事实1可知A，B，C确定一个平面，记为α，由基本事实2以及A∈α,C∈α, 可得直线AC α，同理直线BC α， 推论3的证明：如图所示，已知两条平行线中一条直线上的点A和另一条直线上的点B，C. 根据直线平行的定义，这两条平行线在同一平面内， 又因为这个平面含有不共线的三点A，B，C， 由平面的基本事实1可知，这个平面是确定的. 练一练： 用符号表示下列语句，并画出图形. （1）点A在平面α内但在平面β外； （2）直线a经过平面α内一点A，α外一点B； （3）直线a在平面α内，也在平面β内； 参考答案： （1） (如图①) （2） (如图②) （3）α∩β＝a (如图③)
目标二：能运用平面基本事实与推论解决相关问题. 任务：运用所学知识解决下列证明问题. 问题1：证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内. 参考答案： 法1：证明：设直线两两相交，交点分别是 显然，3点不共线，因此它们能确定一个平面. 因为 那么直线 同理 即直线都在平面内. 法2： 设直线AB,BC,AC两两相交，交点、分别为A,B,C 因为AB∩AC=A,所以AB,AC确定一个平面α 因为AB∩BC=B,所以AB,BC确定一个平面β 因为A∈AB,AB α，所以A∈α 因为A∈AB,AB β，所以A∈β 同理可证B∈α，B∈β,C∈α，C∈β. 所以不共线三点A,B,C既在平面α内，又在平面β内 平面α和β重合，即AB,BC,AC都在同一平面内. 【归纳总结】 证明点、线共面的常用方法： (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”. 问题2：如图所示的正方体中，E是棱上的一点，试说明3点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线. 参考答案： 解：因为面，面ABCD 所以面，即面与面相交。 延长与，设它们相交于F，如图所示，则： 直线，直线面， 直线，直线面， 则面面，从而为面与面的交线，如图所示. 【归纳总结】 确定两平面交线的方法： 画两个平面的交线只需两个公共点即可确定，作图时应充分利用几何体本身提供的线面、面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置. 另外，画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，转化为画两个平面的交线问题. 练一练： 如图，已知E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点． 求证：E，F，G，H四点共面． 参考答案： 证明：在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD． 同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面．
学习总结
任务：回忆本课所学，构建知识导图.
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