平行直线与异面直线
学习目标 1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质，理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题． 2.理解异面直线的概念，会判断两条直线是否异面． 3.了解空间四边形的定义，会应用空间平行线的性质解决判断空间中四边形的形状问题.
学习活动
目标一：掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质，理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题.? 任务1：利用生活中的实物进行演示或观察几何体，思考下列问题，探索空间中平行线的判定与性质. (1)“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”在空间中是否仍成立？ (2)“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？ 【新知讲解】 (1)平行公理： (2)平行线的传递性 练一练： 如图所示，在三棱锥S MNP中，E，F，G，H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 任务2：结合图象，利用空间平行线的传递性，猜想并证明等角定理. 问题1：棱柱的上下底边有什么位置关系？上下底面构成的角有什么关系？由此你能得到关于两个角关系的什么猜想？ 问题2：如图所示，等角定理是说，在空间中，如果，则有，如果与 都在同一平面内，你能证明这个结论吗？如果这两个角不在同一个平面内呢？ 【归纳总结】 等角定理 练一练： 已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( ) A．30° B．150° C．30°或150° D．大小无法确定
目标二：理解异面直线的概念，会判断两条直线是否异面. 任务：思考下列问题，探索两条直线是异面直线的方法. 问题：我们已经知道异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线，结合图形思考，在立体几何中怎样做出异面直线的直观图？ 【归纳总结】 异面直线的画法： 思考：结合图形，能否认为分别在两个平面内的直线就是异面直线？由此总结判定两条直线是异面直线的方法. 【归纳总结】 判定两条直线是异面直线的方法： 练一练： 判断下列说法是否正确： （1）没有公共点的两条直线是异面直线 （2）直线a在平面α内，直线b在平面β内，则直线a，b是异面直线.
目标三：了解空间四边形的定义，会应用空间平行线的性质解决判断空间中四边形的形状问题. 任务：认识空间四边形，利用空间平行线的传递性判断空间中四边形形状. 【新知讲解】 空间四边形 问题：如图所示的空间四边形ABCD中，分别是边的中点，求证：四边形是平行四边形。 练一练： 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形. 【归纳总结】
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “空间平行线的传递性”、“等角定理”、“异面直线”
2平行直线与异面直线
学习目标 1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质，理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题． 2.理解异面直线的概念，会判断两条直线是否异面． 3.了解空间四边形的定义，会应用空间平行线的性质解决判断空间中四边形的形状问题.
学习活动
目标一：掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质，理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题.? 任务1：利用生活中的实物进行演示或观察几何体，思考下列问题，探索空间中平行线的判定与性质. (1)“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”在空间中是否仍成立？ (2)“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？ 【新知讲解】 (1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)平行线的传递性 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性． 符号表述： (3)图形表述： 注：由空间平行线的传递性可以得到几何体中的一些线线平行关系，例如，如图所示的棱柱中，因为侧面都是平行四边形，所以有： 练一练： 如图所示，在三棱锥S MNP中，E，F，G，H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 参考答案：A ∵E，F分别是SN和SP的中点， ∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG. 任务2：结合图象，利用空间平行线的传递性，猜想并证明等角定理. 问题1：棱柱的上下底边有什么位置关系？上下底面构成的角有什么关系？由此你能得到关于两个角关系的什么猜想？ 参考答案： 猜想：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 问题2：如图所示，等角定理是说，在空间中，如果，则有，如果与 都在同一平面内，你能证明这个结论吗？如果这两个角不在同一个平面内呢？ 参考答案： 证明：如图所示， 在上取一点，在上取一点，使得；在上取一点，在上取一点，使得； 因为，所以是一个平行四边形，从而，同理； 由空间平行线的传递性可知，因此是一个平行四边形，所以； 于是，从而 【归纳总结】 等角定理 (1)文字表述：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. (2)符号表述： (3)图形表述： 练一练： 已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( ) A．30° B．150° C．30°或150° D．大小无法确定 参考答案：C 当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°；当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相反时，∠B′A′C′＝150°.
目标二：理解异面直线的概念，会判断两条直线是否异面. 任务：思考下列问题，探索两条直线是异面直线的方法. 问题：我们已经知道异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线，结合图形思考，在立体几何中怎样做出异面直线的直观图？ 【归纳总结】 异面直线的画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图所示. 思考：结合图形，能否认为分别在两个平面内的直线就是异面直线？由此总结判定两条直线是异面直线的方法. 参考答案： 不能，分别在两个平行内的直线也可能相交或平行，如图所示. 如图（1）中，，此时，直线l与直线AB是异面的，这是因为同时通过直线l与点B的平面只能是，如果l与直线AB是共面的，则，这与矛盾。由此可总结出异面直线的一种判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面． 【归纳总结】 判定两条直线是异面直线的方法： (1)定义法：既不相交也不平行的直线是异面直线． (2)定理法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面． (3)反证法：假设两条直不是异面直线，则可得到两条直线共面，应用共面推出矛盾. 练一练： 判断下列说法是否正确： （1）没有公共点的两条直线是异面直线 （2）直线a在平面α内，直线b在平面β内，则直线a，b是异面直线. 参考答案： （1）错误，没有公共点的两条直线也可能是平行直线． （2）错误，异面直线是不同在任何一个平面内的直线．
目标三：了解空间四边形的定义，会应用空间平行线的性质解决判断空间中四边形的形状问题. 任务：认识空间四边形，利用空间平行线的传递性判断空间中四边形形状. 【新知讲解】 空间四边形 1.定义：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形， 其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 2．表示：用表示顶点的4个字母表示，如图所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边为AB，BC，CD，DA，对角线为AC，BD. 空间四边形可以看成由四面体的4条棱构成的图形． 问题：如图所示的空间四边形ABCD中，分别是边的中点，求证：四边形是平行四边形。 参考答案： 证明：在中，因为分别是的中点，所以由三角形的中位线定理可知 且 ，同理，且 因此，所以四边形是平行四边形。 练一练： 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形. 参考答案： 如图,连接A′C′, 因为M,N分别是A′D′,C′D′的中点,所以MN∥A′C′,且MN=A′C′.由正方体性质可知A′C′∥AC,且A′C′=AC.所以MN∥AC,且MN=AC, 所以四边形ACNM是梯形. 【归纳总结】 证明空间中两条直线平行的方法： 1.利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． 2.利用平行线的传递性：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “空间平行线的传递性”、“等角定理”、“异面直线”
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