直线与平面垂直
学习目标 1.掌握直线与平面垂直的性质定理，并能运用其解决相关问题.? 2.理解直线与平面所成角的概念. 3.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题．
学习活动
目标一：掌握直线与平面垂直的性质定理，并能运用其解决相关问题.? 任务：观察长方体，猜想并证明直线与平面垂直的性质定理. 问题1：观察长方体ABCD—A1B1C1D1中，各棱与底面ABCD的位置关系和棱与棱之间的位置关系，思考如果直线l垂直于一个平面，直线m与直线平行，那么直线与平面是否垂直？猜测结果，并说明理由. 参考答案： 猜想：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 证明：要证明这个结论，只要证明且时，能够推出即可,事实上，设直线为平面内的任意两条相交直线，如图所示，则由可知， 又因为，根据空间中两条直线互相垂直的定义知： 所以根据线面垂直的判定定理得 问题2：如图，已知直线l、m和平面α，如果l⊥α，m⊥α，那么直线l、m具有怎样的位置关系？猜想结果并说明理由. 参考答案：平行. 证明：如图所示，，设 假设直线不与直线平行，则过点O可作直线与平行，由线面垂直得性质定理可知。 因为，所以与能确定一个平面，记为，设 由可知 这样一来，在平面内，过点O有两条不同的直线都与直线a垂直，这是不可能的。 因此假设不成立，即 【新知讲解】 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行（简记：线面垂直 线线平行）. 符号语言： 图形语言： 思考： 1.过一点有几条直线与已知平面垂直？ 2.在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论 3.在a⊥α的条件下，如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论 【归纳总结】 直线与平面垂直的其他性质： (1)过空间中的一点，有且只有一条直线与已知平面垂直. (2)如果平面外一条直线垂直于该平面的一条垂线，那么这条直线平行于这个平面，即 ，如图： (3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也和另外一个平面垂直，即 ，如图：. 练一练： 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1. 参考答案： 证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
目标二：理解直线与平面所成角的概念. 任务：阅读材料，回答问题. 斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成. 问题： (1)拉索所在直线与桥面都是相交关系，其倾斜程度相同吗 (2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗 (3)直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗 参考答案：（1）不同；（2）能（3）能 【新知讲解】 1.斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA. 2.斜足：斜线和平面的交点，图中点A. 3.射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO. 4.直线与平面所成的角： ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. ②规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角. 所以直线与平面所成角θ取值范围：0° ≤ θ ≤ 90°. 练一练： 如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于（ ）. A.60° B.45° C.30° D.120° 参考答案：B 因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°. 思考：结合上面实例，说说如何求解直线与平面所成的角？ 【归纳总结】 求斜线与平面所成角的步骤： (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算. (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
目标三：灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题. 任务：运用直线与平面垂直的有关定理解决下列问题. 例1.如图所示，三棱锥中，，且，，求三棱锥的体积。 参考答案：分析：为了求出这个三棱锥的体积，关键是作出三棱锥的高，也就是找到S在底面的射影 解：设S在底面的射影为O， 则由，由，即O为的外心，又因为是直角三角形，所以O是线段AC的中点 因为 所以，又因为是直角三角形，从而 因此所求体积为：. 【归纳总结】 利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等. 注：可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离以及两平行平面之间的距离. 例2.如图所示，已知AB是平面的一条垂线，AC是平面的一条斜线，，求证： 参考答案： 证明：因为，所以 又因为且，所以 面ABC 而且面ABC，所以 【归纳总结】 三垂线定理：平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线，平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.直线与平面垂直的性质定理内容是什么？是如何证明的？ 2.如何求直线与平面所成角？
2直线与平面垂直
学习目标 1.掌握直线与平面垂直的性质定理，并能运用其解决相关问题.? 2.理解直线与平面所成角的概念. 3.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题．
学习活动
目标一：掌握直线与平面垂直的性质定理，并能运用其解决相关问题.? 任务：观察长方体，猜想并证明直线与平面垂直的性质定理. 问题1：观察长方体ABCD—A1B1C1D1中，各棱与底面ABCD的位置关系和棱与棱之间的位置关系，思考如果直线l垂直于一个平面，直线m与直线平行，那么直线与平面是否垂直？猜测结果，并说明理由. 问题2：如图，已知直线l、m和平面α，如果l⊥α，m⊥α，那么直线l、m具有怎样的位置关系？猜想结果并说明理由. 【新知讲解】 直线与平面垂直的性质定理： 符号语言： 图形语言： 思考： 1.过一点有几条直线与已知平面垂直？ 2.在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论 3.在a⊥α的条件下，如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论 【归纳总结】 练一练： 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.
目标二：理解直线与平面所成角的概念. 任务：阅读材料，回答问题. 斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成. 问题： (1)拉索所在直线与桥面都是相交关系，其倾斜程度相同吗 (2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗 (3)直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗 【新知讲解】 1.斜线： 2.斜足： 3.射影： 4.直线与平面所成的角： 练一练： 如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于（ ）. A.60° B.45° C.30° D.120° 思考：结合上面实例，说说如何求解直线与平面所成的角？ 【归纳总结】 求斜线与平面所成角的步骤：
目标三：灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题. 例1.如图所示，三棱锥中，，且，，求三棱锥的体积. 【归纳总结】 例2.如图所示，已知AB是平面的一条垂线，AC是平面的一条斜线，，求证： 【归纳总结】 三垂线定理：
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.直线与平面垂直的性质定理内容是什么？是如何证明的？ 2.如何求直线与平面所成角？
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