直线与平面垂直
学习目标 1.理解异面直线所成角的概念. 2.理解直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理. 3.能运用直线与平面垂直的判定定理解决证明垂直问题.
学习活动
导入：如图，直线l、m所成角是什么？如何定义两条相交直线所成的角 角在刻画直线间的关系上有什么作用？ 目标一：掌握异面直线所成角的概念. 任务：观察实例，探索异面直线所成角的概念. 如图所示正方体中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面，你认为这两种异面有什么区别？ 【新知讲解】 思考： (1)异面直线a,b所成的角的大小与“空间中任意一点”所选的位置有关吗？若无关，说明理由，若有关，思考如何选取“任意一点”更合适？ (2)异面直线所成的角的范围是什么？空间中两条直线所成的角的范围是什么？ (3)当异面直线所成的角是90°时，这两条直线有怎样的位置关系？ 【新知讲解】 练一练： 如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角． 【归纳总结】 求异面直线所成的角的步骤：
目标二：了解直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理. 任务1：观察实例，归纳直线与平面垂直的概念. 如图所示，立着的物体与地面有什么位置关系？举出其他生活中实例. 思考： (1)如图,在阳光下观察垂直于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直 (2)你能用简洁的语言给出直线与平面垂直的定义吗？ 【新知讲解】 1.文字叙述 2.符号表示： 3.图形表示： 练一练： 如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,则这条直线与这个平面 . 任务2：根据直线与平面垂直的定义，探究直线与平面垂直的判定定理. 实例：准备一块三角形的纸片ABC,过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,将翻折后的纸片坚起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）,如图所示，折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？ 思考：如图所示，m α，n α，m∩n≠ ，如果空间中的直线l满足l⊥m，那么一定有l⊥α吗？如果l⊥m且l⊥n呢？根据折纸实例，猜测判定直线与平面垂直的判定方法. 【新知讲解】 (1)文字叙述： (2)符号语言： (3)图形语言： 练一练： 1.下列说法中正确的个数是( ) ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直. A.0 B.1 C.2 D.3
目标三：能运用直线与平面垂直的判定定理解决相关问题. 任务：根据直线与平面垂直的判定定理解决下列问题. 问题：地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由. 练一练：如图所示的四棱锥中，已知底面是一个平行四边形，，且，求证：面 【归纳总结】 直线和平面垂直的判定方法：
学习总结
任务：回答下列问题，回顾本课所学. 1.本节课你学了哪些知识？ 2.直线与平面垂直的定义与判定和前面学过的直线与平面平行的定义与判定在知识结构，思想方法等方面有哪些共同点和不同点？
2直线与平面垂直
学习目标 1.理解异面直线所成角的概念. 2.理解直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理. 3.能运用直线与平面垂直的判定定理解决证明垂直问题.
学习活动
导入：如图，直线l、m所成角是什么？如何定义两条相交直线所成的角 角在刻画直线间的关系上有什么作用？ 参考答案： 两条相交直线所成的角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.角能刻画直线间的相对倾斜程度. 目标一：掌握异面直线所成角的概念. 任务：观察实例，探索异面直线所成角的概念. 如图所示正方体中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面，你认为这两种异面有什么区别？ 【新知讲解】 定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小． 思考： (1)异面直线a,b所成的角的大小与“空间中任意一点”所选的位置有关吗？若无关，说明理由，若有关，思考如何选取“任意一点”更合适？ (2)异面直线所成的角的范围是什么？空间中两条直线所成的角的范围是什么？ (3)当异面直线所成的角是90°时，这两条直线有怎样的位置关系？ 【新知讲解】 (2)异面直线所成角θ的取值范围：0°<θ≤90°. (3)规定：空间中两条平行直线所成角的大小为0°. 空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m互相垂直，记作l⊥m. 若a∥b且b⊥c，则一定有a⊥c. (4)空间两条直线所成角θ的取值范围：0°≤θ≤90°. 练一练： 如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角． 参考答案： 解：如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG. ∵E、F分别为BC、AD的中点，AB＝CD， ∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB． ∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF. ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°. ∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°， ∴EF和AB所成的角是45°. 【归纳总结】 求异面直线所成的角的步骤： (1)作角：作出异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①直接平移法(可利用图中已有的平行线，如平行四边形)； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). (2)证角：证明作出的平面角就是异面直线所成的角。 (3)求角：把作出的两条异面直线所成的角作为三角形的一个内角，解这个三角形。
目标二：了解直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理. 任务1：观察实例，归纳直线与平面垂直的概念. 如图所示，立着的物体与地面有什么位置关系？举出其他生活中实例. 思考： (1)如图,在阳光下观察垂直于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直 (2)你能用简洁的语言给出直线与平面垂直的定义吗？ 【新知讲解】 1.文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2.符号表示：l⊥a m α，l⊥m. 3.图形表示： 注意：如图所示，画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 练一练： 如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,则这条直线与这个平面 . 参考答案：平行或相交或在平面内 如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内. 任务2：根据直线与平面垂直的定义，探究直线与平面垂直的判定定理. 实例：准备一块三角形的纸片ABC,过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,将翻折后的纸片坚起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）,如图所示，折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？ 容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直(如下图)的充要条件是折痕AD是BC边上的高。这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直.如图： 思考：如图所示，m α，n α，m∩n≠ ，如果空间中的直线l满足l⊥m，那么一定有l⊥α吗？如果l⊥m且l⊥n呢？根据折纸实例，猜测判定直线与平面垂直的判定方法. 【新知讲解】 (1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． (2)符号语言：如果m α，n α，m∩n≠ ，l⊥m，l⊥n，则l⊥α. (3)图形语言： 练一练： 1.下列说法中正确的个数是( ) ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 参考答案：D ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线，不正确，可能在α有无数条直线与直线l垂直；其他都正确.
目标三：能运用直线与平面垂直的判定定理解决相关问题. 任务：根据直线与平面垂直的判定定理解决下列问题. 问题：地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由. 参考答案： 分析：根据线面垂直的判定定理，只需检测直杆是否与地面上的两条相交直线垂直即可，又因为利用米尺可以量长度，所以可以借助勾股定理来检测。 解：方案——如图所示，将绳子的一端固定在直杆的A处，并使得，截取绳子的长度，使得绳长为，拉紧绳子，并把它不固定的那端放在地面上与B不共线的两点C，D处，测量BC与BD的长度，如果它们的长度都是0.6m，那么直杆就和地面垂直。 理由——这是因为在中，如果，那么 所以 即 同理可知时，有 又因为三点不共线，所以面，即直杆与地面垂直。 练一练：如图所示的四棱锥中，已知底面是一个平行四边形，，且，求证：面 参考答案： 证明：由已知可得为的中点 在中，因为， 所以由等腰三角形三线合一可知； 同理， 又因为，所以面 【归纳总结】 直线和平面垂直的判定方法： 1.利用线面垂直的定义； 2.利用线面垂直的判定定理.
学习总结
任务：回答下列问题，回顾本课所学. 1.本节课你学了哪些知识？ 2.直线与平面垂直的定义与判定和前面学过的直线与平面平行的定义与判定在知识结构，思想方法等方面有哪些共同点和不同点？
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