复习课 正、余弦定理的综合应用
学习目标 1.理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 2.能利用正、余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题. 4.能利用正、余弦定理解决实际应用问题.
学习活动
目标一：理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 任务：根据下列问题回顾本单元知识，建构单元知识框图. 问题： 1.正、余弦定理是什么？它们是如何推导的？有哪些变形？ 2.正、余弦定理适用于解决什么三角形问题？ 3.利用正、余弦定理解决的实际测量应用有哪些？ 【归纳总结】
目标二：能利用正、余弦定理解三角形. 任务：利用正、余弦定理解下列三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度． 参考答案： 解：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2， 由余弦定理，得cos C＝＝， ∴sin C＝. 在△ADC中，由正弦定理， 得＝， ∴AD＝×＝. 【归纳总结】 解三角形的一般思路： 分析出所求解三角形中，哪些元素已知，还需要哪些元素，并确定选择或构造哪些三角形来求解，再利用正余弦定理求解.
目标三：能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题. 任务1：利用正、余弦定理判定三角形的形状. 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． 参考答案： 解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)] ＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 法一：由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理，得 a2b×＝b2a×， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a＝b或a2＋b2＝c2. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【归纳总结】 判断三角形形状的两种途径: 通过正弦定理、余弦定理,化边为角(如:a=2Rsin A,a2+b2-c2=2abcos C等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断； 通过正弦定理、余弦定理,化角为边,如:sin A=,cos A=等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断. 任务2：利用正、余弦定理求解三角形边、角、面积. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值． 参考答案： 解：(1)由正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B. 又A＝π－(B＋C)， ∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B， 即sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Csin B， ∴cos Bsin C＝sin Csin B， ∵sin C≠0， ∴cos B＝sin B且B为三角形内角， ∴B＝. (2)法1：S△ABC＝acsin B＝ac， 由正弦定理知a＝＝×sin A＝2sin A， 同理，c＝2sin C， ∴S△ABC＝×2sin A×2sin C ＝2sin Asin C＝2sin Asin ＝2sin A ＝2(sin Acos A＋sin2A) ＝sin 2A＋1－cos 2A＝sin＋1， ∴当2A－＝，即A＝时，S△ABC有最大值＋1. 法2：由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB，得4=c2+a2-ca， 根据均值不等式得2ca-ca≤ac2+a2-ca=4， ∴，解得ac≤4+2， ∴S△ABC＝ac≤， 化简得=4+2， ∴S△ABC＝acsin B＝ac=＋1， ∴S△ABC有最大值＋1. 【归纳总结】 1.求解三角形中的边、角、面积的解题策略： 在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等． 2.求解三角形面积的取值范围的解题方法： (1)通过正弦定理，化边为角，利用三角函数求范围. (2)通过余弦定理，化角为边，利用均值不等式求范围.
目标四：能利用正、余弦定理解决实际应用问题. 任务：利用正、余弦定理解决下列实际问题. 如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值． 参考答案： 解:如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x海里，BC＝10x海里，∠ABC＝120°. 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得x＝2（舍去） 故AC＝28海里，BC＝20海里． 根据正弦定理得＝， 解得sin α＝＝.故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为. 【归纳总结】 应用解三角形知识解决实际问题四步曲： (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
学习总结
任务：本单元我们收获了什么？还有哪些疑惑？
2复习课 正、余弦定理的综合应用
学习目标 1.理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 2.能利用正、余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题. 4.能利用正、余弦定理解决实际应用问题.
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目标一：理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 任务：根据下列问题回顾本单元知识，建构单元知识框图. 问题： 1.正、余弦定理是什么？它们是如何推导的？有哪些变形？ 2.正、余弦定理适用于解决什么三角形问题？ 3.利用正、余弦定理解决的实际测量应用有哪些？ 【归纳总结】
目标二：能利用正、余弦定理解三角形. 任务：利用正、余弦定理解下列三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度． 【归纳总结】
目标三：能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题. 任务1：利用正、余弦定理判定三角形的形状. 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． 【归纳总结】 任务2：利用正、余弦定理求解三角形边、角、面积. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值． 【归纳总结】
目标四：能利用正、余弦定理解决实际应用问题. 任务：利用正、余弦定理解决下列实际问题. 如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值． 【归纳总结】
学习总结
任务：本单元我们收获了什么？还有哪些疑惑？
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