3.1《切线长定理》 教学设计 2023--2024学年北师大版九年级数学下册
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| 名称 | 3.1《切线长定理》 教学设计 2023--2024学年北师大版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 155.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-07 18:17:34 | ||
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文档简介
初中青年数学教师优秀课展示与培训活动
《切线长定理》教学设计
一、教材分析
《切线长定理》是在学生已学过切线的定义、切线的判定定理和切线的性质定理的基础上提出的，它简单明了、广泛应用、可以推出较多的结论，再次体现了圆的对称性.它又是今后证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例的重要工具.因此，它在教材中起着承上启下的重要作用.
目标分析
理解切线长定义.
掌握切线长定理，并能灵活运用.
了解内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆.
经历探索切线长定理的过程，发展探究意识，体会并实践“实验几何----论证几何”的探究方法.
通过体会定理的应用，培养学生分析、总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解决问题的能力.
通过体验内切圆相关知识解决问题，体会数形结合的数学思想，掌握方程思想解决几何问题的方法.
学情分析
九年级学生已经具备了一定程度的观察能力和抽象思维能力，也能比较迅速地进入教学中构造的情境中来，能通过合作学习达到更好的效果，因此在知识生成过程中让学生通过小组合作学习大胆猜想、积极验证、逻辑推理发展学生的探究意识，并且在探究过程中获取知识获得自信.
九年级学生也有一定语言概括能力，但概括起来还不够细致准确.因此在应用定理时，多让学生说明理由、讲解思路，不断培养学生分析、总结问题的能力，同时提高学生综合运用知识解决问题的能力，并让学生从中体验成功的快乐.
教学重、难点
重点: 探索切线长定理.
难点：利用切线长定理解决问题.
教法、学法分析
本节课以“观察---猜想---证明---剖析---应用---归纳”为主线，以一个基本图形为起点，教师启发引导学生通过动手画、动眼看、动口说、动脑想、动笔做等活动，引领学生认知、运用、发展、实践切线长定理.
教学过程设计
教学环节 师生活动 学生活动 设计意图
创设情境 导入新课 导入语：古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆.”大家也这样认为吗？老师就特别喜欢圆形的物体，“圆”总给人美满、和谐的感觉.从数学的角度看，圆具有独特的对称美，因此，也被广泛应用于生活中，请大家欣赏一组图片，你能从图中抽象出什么几何图形？ 这是生活中一条直线与圆相切的情形，那么两条直线与圆相切又是怎样的情形呢？一起进入今天的学习《切线长定理》. 从图片中抽象出生活中直线与圆相切的情形 学生通过观察图片发现生活中处处有数学，体会数学来源于生活又服务于生活，感受学习数学的价值 。
活动一： 绘制图形 学习概念 画一画：两条直线与圆相切 问：两条直线与圆相切有几种情况？ 教师引导学生看图： 师引导学生观察图形并给出切线长定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 追问1：图中表示点P到⊙O的切线长是哪条线段的长？过圆外一点可作圆的几条切线？ 追问2：切线与切线长有什么区别？ 这个图形就是本节课要探究的基本图形，望着大家可爱的笑脸，老师突然发现这个图形特别像一个人双手托腮的动作，两条切线就像张开的双手，美丽的圆像不像大家灿烂的笑脸？大家也做一做这个动作. 出示测一测1： 1.如图,直线PE、EF 分别切⊙O于A、D，直线PF 交⊙O于B、C,图中表示点P到⊙O 的切线长是 的长. A、线段PA 的长 B、线段PB 的长 C、线段PC 的长 D、线段PF 的长 图中表示点E 到⊙O的切线长是线段 的长, 图中表示点F 到⊙O的切线长是线段 的长. 学生动手画图 并展示图形： 进而得到：两条直线与圆相切有两种情况:(1)两条切线平行.(2)两条切线交于圆外一点. 学生回答：点P到圆O的切线长是：线段PA、PB的长，过圆外一点可作圆的2条切线. 学生回答：切线是直线，不可以度量。切线长是切线上一条线段的长，可以度量. 学生口答问题并说明原因。 画一画的设置以开放的形式，为学生创造广泛的思考空间，同时赋予学生充分的思考时间，接着展示图形，对比图形，激发了学生的学习兴趣，这样，不仅增强了学生的直观体验，更易于学生发现切线与切线长的区别，为课堂自由生成切线长的概念做好了铺垫。 通过画出图形、展示作法、辨认切线长、形象比喻等活动帮助学生直观理解切线长定义，牢记基本图形的形状。 通过测一测，了解学生对概念的掌握情况，为学习切线长定理打好基础。
活动二： 观察图形 探究定理 问题：PA、PB切⊙O于A、B两点，根据圆的对称性，你觉得两切线长PA、PB有什么关系？连接PO，∠APO与 ∠BPO又有什么关系呢？ 教师提问：这个基本图形是轴对称图形吗？两切线长有什么数量关系？引导学生通过观察图形猜想两切线长的数量关系、圆外一点和圆心的连线与两切线夹角的关系.学生猜想后， 教师追问：你有什么方法能验证猜想？学生小组交流后，教师引导学生通过折叠、度量的方法验证猜想PA=PB，∠APO＝∠BPO。 教师也利用《几何画板》软件的度量功能进行演示. ①度量线段PA和PB的长度②度量∠APO和∠BPO的度数.引导学生发现，在演示过程中，不管点P处于圆外的哪个位置，线段PA和PB的长度始终保持不变. ∠APO和∠BPO的度数也保持不变. 教师再次追问：还有别的方法证明PA＝PB，∠APO＝∠BPO吗？继续引导学生通过严谨的几何证明方法证得PA＝PB，∠APO＝∠BPO. 出示定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 接着教师又追问：这个命题的题设和结论是分别什么？ 让学生再次叙述定理的证明过程感受几何证明的严谨性. 最后强调切线长定理的作用：可以证明线段相等、角相等. 测一测2： 如图，PA、PB 切⊙O于A、B 两点，∠APB =500，连接PO,则 ∠APO = .连接OA、OB，则 ∠AOB = . 链接生活： 1.出示生活中两条直线与圆相切的情形 2.展示学生小制作:圆的半径测量仪. 引导学生说出这个小制作的制作原理. (
∟
) 学生猜想PA、PB的关系. ∠APO与∠BPO的关系. 在教师引导下学生用折一折、量一量、证一证不同方法验证猜想、证明猜想. 学生回答：题设：PA、PB 分别切⊙O 于A、B 两点 结论：PA=PB， ∠APO =∠BPO 证明过程： 连接OA 和OB. ∵ PA 和PB 是⊙O 的两条切线， ∴ OA⊥AP，OB⊥BP. 又 OA=OB，OP=OP. ∴ Rt△AOP≌ Rt△BOP. ∴ PA=PB, ∠APO=∠BPO. 1.观察图片 2.思考小制作的制作原理并说明理由: ∵PA、PB是⊙Ｏ的切线，连接ＯA、ＯB， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∵∠APB=900 ∴四边形APBO为矩形 又∵PA=PB ∴APBO为正方形 ∴PO=OB，即切线长就是圆的半径长. 此环节让学生经历观察、猜想、验证、最后证明切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机整合到一起，进一步明晰定理。让学生在探究过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性。发展学生探究意识并实践“实验几何---论证几何”的探究方法. 测一测2的第一问考察学生对定理的掌握情况。同时让学生明白应用切线长定理可以求角的度数。 观察生活中两条切线与圆相切的情形和“学生小制作” 再次让学生感受数学来源于生活又服务于生活，鼓励学生将数学知识应用于生活中去.
活动三： 变化图形 拓展定理 在几何学习过程中，我们常通过添加辅助线使我们的解题思路达到柳暗花明的效果. 教师提问：那么在这个基本图形中，可以添加哪些线段帮助我们更好地应用定理解决问题呢 教师几何画板演示：（1）连接OA、OB、PO可以得到哪些特殊的三角形呢？（2）连接OA、OB、AB呢？（3）连接PO、AB呢？你又发现全等的三角形了吗？你能证明吗？ 追问：通过证明三角形全等，你发现PO与AB有什么关系吗？还有其他方法证明吗？ 教师引导学生归纳整理得到的结论：图中直角三角形有 6 个 等腰三角形有 2 个 全等三角形有 3 对 PO与AB的关系是 PO垂直平分AB . 在利用切线长定理解决问题时，通常连接以下辅助线： （1）连接圆外一点和圆心. （2）连接圆心和切点. （3）连接两切点. 学生观察图形后回答：连接圆外一点和圆心，连接圆心和切点，连接两切点. 学生证明三角形全等. 学生思考后回答：可用等腰三角形三线合一的性质证明PO垂直平分AB.也可用线段垂直平分线的判定证明PO垂直平分AB. 此活动通过变化图形，引导学生发现在利用切线长定理解决问题时可通过添加适当的辅助线更好地解决问题，进一步对定理进行了拓展、深化.让学生再次经历发现、猜想证明、归纳总结的过程，并从中获得知识、技能,并能结合图形发展逻辑思维能力体会数形结合的数学思想.
活动四： 辨识图形 解决问题 引导学生观察基本图形是两条直线与圆相切，若再作一条直线与圆相切，你有什么发现呢？图中又有几个基本图形呢？ 出示例题：如图，△ABC的三边BC、CA、AB与⊙O分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14,CA=13,求AF、BD、CE的长. 师生活动：师生共同分析已知条件、引导学生思考欲求AF、BD、CE的长，首先要找出三个基本图形，教师指名一位同学到白板前在图中找出三个基本图形，并讲解解题思路： 解：设AF =x,则AE =x, CD =CE =AC-AE =13-x, BD =BF =AB-AF =9-x. 由BD +CD =BC，可得 （13-x）+（9-x）=14 解得 x=4 因此 AF =4,BD =5,CE =9. 教师追问：设BF或CD为x可以吗？还有其方法吗？ 教师继续引导学生观察图形，如将这条直线平移至圆的左侧与圆相切，你还会解答吗？ 问题:如图，线段AB、CE、CD分别与⊙O相切于点F、E、D，已知线段CD的长等于8，求△ABC的周长. 教师引导学生观察例题的图形，三角形的三边与圆什么关系？得出内切圆定义。 出示内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 教师引导学生通过小组交流得出：内心到三角形三边的距离相等.内心是三角形三条角平分线的交点. 教师继续引导学生利用所学知识解决实际问题. 试一试：在一张三角形的卡纸上，剪裁出一个圆形教具，如何剪裁出一个最大的圆 ？ 测一测3： 1.如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点.有以下结论： （1）PA=PB （2）∠APO=∠BPO （3）∠AOP=∠BOP （4）AB垂直平分OP （5）AB被OP垂直平分，其中正确的结论（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2.如图， △ABC中， ∠ABC=500 ， ∠ACB=700，点O是△ABC的内心，则 ∠BOC= . 学生观察图形回答问题：三条直线与圆相切有三个基本图形. 思考后一名学生讲解思路. 一名学生讲解思路. 再请一名同学讲解思路 学生独立完成.请一名学生到讲台前讲解思路. 学生小组合作，共同探讨交流得出内心性质 学生完成作图 学生独立完成 例题是对本节知识的延伸，让学生发现利用切线长定理解决问题的根本是找基本图形，让学生再次体会数形结合的数学思想，并能自己发现用方程思想解决几何问题记忆更加深刻。并通过讲一讲、试一试培养学生口头表达能力、推理能力和动手操作能力. 这样引出内切圆、内心概念自然流畅、降低了难度，再利用内切圆知识解决实际问题更符合学生的认知规律. 通过测一测3，了解学生对本节知识的掌握情况。
活动五： 回忆图形 畅谈收获 师生活动：教师引导学生对照图形对本节课所学内容从以下方面进行总结归纳： ①你收获了哪些数学知识？ ②你收获了哪些数学思想和方法？ 结束语： 大家收获真多，学习知识很重要，但善于总结、善于归纳、也是我们在学习中必须要养成的良好的学习习惯。前三个图形都只是两条直线与圆相切，都包含一个基本图形；后两个图分别是三条直线与圆相切的两种不同情况，都包含了三个基本图形. 在几何学习过程中，无论图形怎样复杂多变，但万变不离其宗，找基本图形是解决问题的根本.再来回看切线长定理的基本图形，一起做做这个动作，老师多希望这双手是我的，而我托起的就是未来实现梦想的你，同学们加油！ 培养学生归纳概括能力，把知识纳入系统，便于学生存储和应用.进一步明确本节课的数学知识、数学思想解决问题的方法.
布置作业 课外延伸
书面作业：课本102页11题. 课外作业：探索四条直线与圆相切. 在课堂探索结束后，鼓励学生继续进行课外探索，做到“课虽尽，思不止”.
目标检测设计
测一测1：
1.如图,直线PE、EF 分别切⊙O于A、D，直线PF 交⊙O于B、C,图中表示点P到⊙O 的切线长是 的长.
A、线段PA 的长B、线段PB 的长C、线段PC 的长 D、线段PF 的长
图中表示点E 到⊙O的切线长是线段 的长,
图中表示点F 到⊙O的切线长是线段 的长.
设计意图：考查学生是否理解切线长定义，能否辨认切线长.
测一测2：
如图，PA、PB 切⊙O于A、B 两点，∠APB =500，连接PO,则
∠APO = .连接OA、OB，则 ∠AOB = .
设计意图:考查学生能否利用切线长定理解决简单问题.
测一测3：
1.如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点.有以下结论：
（1）PA=PB （2）∠APO=∠BPO （3）∠AOP=∠BOP
（4）AB垂直平分OP （5）AB被OP垂直平分，其中正确的结论（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
设计意图：考查学生对切线长定理推出的结论是否掌握.
2.如图， △ABC中， ∠ABC=500 ，∠ACB=700，点O是△ABC的内心，则∠BOC= .
设计意图：考查学生能否用内切圆有关知识解决问题.
点评稿
刚刚听了贺老师的《切线长定理》这节课，我想就这节课发表我的一些看法。
一、知识体系以“基本图形”为主线，螺旋发展，举一反三。
纵观贺老师的这节课，知识的产生发展应用与拓展，都是围绕基本图形产生的演绎。这样的设计，非常的符合学生的认知规律，随着对基本图形的变式与迁移，先后完成了对切线长定理的浅层次认知，初步运用；再认知，灵活运用；深度认知，综合运用的螺旋认知过程。最后，学生能够从复杂的图形中，剥离出基本图形，深入浅出发展了学生的数学思维。
二、教学设计以“认知规律”为导向，水到渠成，巧妙设计。
本节课中设置了三个探究问题主线：问题一：在探究切线长定理时，让学生经历观察、猜想、验证、得出的过程，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性。这一环节结束后，教师再次创设问题二：观察圆的三条切线组成三角形的图形，此环节重在让学生寻找基本图形，利用数形结合，方程的思想解决例2。问题二的引入自然流畅，层层递进不仅符合学生认知规律，也激发了学生进一步研究的兴趣，达成本节课知识目标的教学。前两个问题的研究使本节课的探究达到高潮，为了给学生形成完整的知识体系，教师又引入了问题三：在问题二的基础上平移一条切线与圆的另一边相切，进一步让学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，再次应用本节核心知识解决问题。使学生经历感知、认识、探究、梳理、归纳、实践等活动，对切线长定理有了一个完整清晰的认知，整个设计巧妙恰当，一气呵成。
三、学生学习以“丰富活动”贯穿，主动探究，层层深入。
在这节课上，从活动一初次接触切线长定理基本图形，到活动五完成知识链接，可以说每个环节都是在学生的自主探究中，逐步深入。从定理的模糊感知，到灵活运用，从图形的简单辨析，到定理的综合运用，活动形式丰富多彩，有效的激活了学生的探究欲望，圆满的完成了知识体系的产生、构建与发展，体现了她内心深处的“生本意识”。
当然，除此之外，贺老师充分运用多媒体教学手段，尤其是几何画板与微课、视频的动态演示，直观形象，使定理的学习变得更加轻松。另外，课堂小结打破了以往用知识树和结构图的方法，把基本图形的多次变式用螺旋上升的形式呈现出来，给人以耳目一新的感觉，同时也强化了数形结合的数学思想。
以上是我的一些看法，有不到之处敬请各位专家批评指正，让我们得到成长和提升。谢谢大家！
《切线长定理》教学设计
一、教材分析
《切线长定理》是在学生已学过切线的定义、切线的判定定理和切线的性质定理的基础上提出的，它简单明了、广泛应用、可以推出较多的结论，再次体现了圆的对称性.它又是今后证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例的重要工具.因此，它在教材中起着承上启下的重要作用.
目标分析
理解切线长定义.
掌握切线长定理，并能灵活运用.
了解内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆.
经历探索切线长定理的过程，发展探究意识，体会并实践“实验几何----论证几何”的探究方法.
通过体会定理的应用，培养学生分析、总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解决问题的能力.
通过体验内切圆相关知识解决问题，体会数形结合的数学思想，掌握方程思想解决几何问题的方法.
学情分析
九年级学生已经具备了一定程度的观察能力和抽象思维能力，也能比较迅速地进入教学中构造的情境中来，能通过合作学习达到更好的效果，因此在知识生成过程中让学生通过小组合作学习大胆猜想、积极验证、逻辑推理发展学生的探究意识，并且在探究过程中获取知识获得自信.
九年级学生也有一定语言概括能力，但概括起来还不够细致准确.因此在应用定理时，多让学生说明理由、讲解思路，不断培养学生分析、总结问题的能力，同时提高学生综合运用知识解决问题的能力，并让学生从中体验成功的快乐.
教学重、难点
重点: 探索切线长定理.
难点：利用切线长定理解决问题.
教法、学法分析
本节课以“观察---猜想---证明---剖析---应用---归纳”为主线，以一个基本图形为起点，教师启发引导学生通过动手画、动眼看、动口说、动脑想、动笔做等活动，引领学生认知、运用、发展、实践切线长定理.
教学过程设计
教学环节 师生活动 学生活动 设计意图
创设情境 导入新课 导入语：古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆.”大家也这样认为吗？老师就特别喜欢圆形的物体，“圆”总给人美满、和谐的感觉.从数学的角度看，圆具有独特的对称美，因此，也被广泛应用于生活中，请大家欣赏一组图片，你能从图中抽象出什么几何图形？ 这是生活中一条直线与圆相切的情形，那么两条直线与圆相切又是怎样的情形呢？一起进入今天的学习《切线长定理》. 从图片中抽象出生活中直线与圆相切的情形 学生通过观察图片发现生活中处处有数学，体会数学来源于生活又服务于生活，感受学习数学的价值 。
活动一： 绘制图形 学习概念 画一画：两条直线与圆相切 问：两条直线与圆相切有几种情况？ 教师引导学生看图： 师引导学生观察图形并给出切线长定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 追问1：图中表示点P到⊙O的切线长是哪条线段的长？过圆外一点可作圆的几条切线？ 追问2：切线与切线长有什么区别？ 这个图形就是本节课要探究的基本图形，望着大家可爱的笑脸，老师突然发现这个图形特别像一个人双手托腮的动作，两条切线就像张开的双手，美丽的圆像不像大家灿烂的笑脸？大家也做一做这个动作. 出示测一测1： 1.如图,直线PE、EF 分别切⊙O于A、D，直线PF 交⊙O于B、C,图中表示点P到⊙O 的切线长是 的长. A、线段PA 的长 B、线段PB 的长 C、线段PC 的长 D、线段PF 的长 图中表示点E 到⊙O的切线长是线段 的长, 图中表示点F 到⊙O的切线长是线段 的长. 学生动手画图 并展示图形： 进而得到：两条直线与圆相切有两种情况:(1)两条切线平行.(2)两条切线交于圆外一点. 学生回答：点P到圆O的切线长是：线段PA、PB的长，过圆外一点可作圆的2条切线. 学生回答：切线是直线，不可以度量。切线长是切线上一条线段的长，可以度量. 学生口答问题并说明原因。 画一画的设置以开放的形式，为学生创造广泛的思考空间，同时赋予学生充分的思考时间，接着展示图形，对比图形，激发了学生的学习兴趣，这样，不仅增强了学生的直观体验，更易于学生发现切线与切线长的区别，为课堂自由生成切线长的概念做好了铺垫。 通过画出图形、展示作法、辨认切线长、形象比喻等活动帮助学生直观理解切线长定义，牢记基本图形的形状。 通过测一测，了解学生对概念的掌握情况，为学习切线长定理打好基础。
活动二： 观察图形 探究定理 问题：PA、PB切⊙O于A、B两点，根据圆的对称性，你觉得两切线长PA、PB有什么关系？连接PO，∠APO与 ∠BPO又有什么关系呢？ 教师提问：这个基本图形是轴对称图形吗？两切线长有什么数量关系？引导学生通过观察图形猜想两切线长的数量关系、圆外一点和圆心的连线与两切线夹角的关系.学生猜想后， 教师追问：你有什么方法能验证猜想？学生小组交流后，教师引导学生通过折叠、度量的方法验证猜想PA=PB，∠APO＝∠BPO。 教师也利用《几何画板》软件的度量功能进行演示. ①度量线段PA和PB的长度②度量∠APO和∠BPO的度数.引导学生发现，在演示过程中，不管点P处于圆外的哪个位置，线段PA和PB的长度始终保持不变. ∠APO和∠BPO的度数也保持不变. 教师再次追问：还有别的方法证明PA＝PB，∠APO＝∠BPO吗？继续引导学生通过严谨的几何证明方法证得PA＝PB，∠APO＝∠BPO. 出示定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 接着教师又追问：这个命题的题设和结论是分别什么？ 让学生再次叙述定理的证明过程感受几何证明的严谨性. 最后强调切线长定理的作用：可以证明线段相等、角相等. 测一测2： 如图，PA、PB 切⊙O于A、B 两点，∠APB =500，连接PO,则 ∠APO = .连接OA、OB，则 ∠AOB = . 链接生活： 1.出示生活中两条直线与圆相切的情形 2.展示学生小制作:圆的半径测量仪. 引导学生说出这个小制作的制作原理. (
∟
) 学生猜想PA、PB的关系. ∠APO与∠BPO的关系. 在教师引导下学生用折一折、量一量、证一证不同方法验证猜想、证明猜想. 学生回答：题设：PA、PB 分别切⊙O 于A、B 两点 结论：PA=PB， ∠APO =∠BPO 证明过程： 连接OA 和OB. ∵ PA 和PB 是⊙O 的两条切线， ∴ OA⊥AP，OB⊥BP. 又 OA=OB，OP=OP. ∴ Rt△AOP≌ Rt△BOP. ∴ PA=PB, ∠APO=∠BPO. 1.观察图片 2.思考小制作的制作原理并说明理由: ∵PA、PB是⊙Ｏ的切线，连接ＯA、ＯB， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∵∠APB=900 ∴四边形APBO为矩形 又∵PA=PB ∴APBO为正方形 ∴PO=OB，即切线长就是圆的半径长. 此环节让学生经历观察、猜想、验证、最后证明切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机整合到一起，进一步明晰定理。让学生在探究过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性。发展学生探究意识并实践“实验几何---论证几何”的探究方法. 测一测2的第一问考察学生对定理的掌握情况。同时让学生明白应用切线长定理可以求角的度数。 观察生活中两条切线与圆相切的情形和“学生小制作” 再次让学生感受数学来源于生活又服务于生活，鼓励学生将数学知识应用于生活中去.
活动三： 变化图形 拓展定理 在几何学习过程中，我们常通过添加辅助线使我们的解题思路达到柳暗花明的效果. 教师提问：那么在这个基本图形中，可以添加哪些线段帮助我们更好地应用定理解决问题呢 教师几何画板演示：（1）连接OA、OB、PO可以得到哪些特殊的三角形呢？（2）连接OA、OB、AB呢？（3）连接PO、AB呢？你又发现全等的三角形了吗？你能证明吗？ 追问：通过证明三角形全等，你发现PO与AB有什么关系吗？还有其他方法证明吗？ 教师引导学生归纳整理得到的结论：图中直角三角形有 6 个 等腰三角形有 2 个 全等三角形有 3 对 PO与AB的关系是 PO垂直平分AB . 在利用切线长定理解决问题时，通常连接以下辅助线： （1）连接圆外一点和圆心. （2）连接圆心和切点. （3）连接两切点. 学生观察图形后回答：连接圆外一点和圆心，连接圆心和切点，连接两切点. 学生证明三角形全等. 学生思考后回答：可用等腰三角形三线合一的性质证明PO垂直平分AB.也可用线段垂直平分线的判定证明PO垂直平分AB. 此活动通过变化图形，引导学生发现在利用切线长定理解决问题时可通过添加适当的辅助线更好地解决问题，进一步对定理进行了拓展、深化.让学生再次经历发现、猜想证明、归纳总结的过程，并从中获得知识、技能,并能结合图形发展逻辑思维能力体会数形结合的数学思想.
活动四： 辨识图形 解决问题 引导学生观察基本图形是两条直线与圆相切，若再作一条直线与圆相切，你有什么发现呢？图中又有几个基本图形呢？ 出示例题：如图，△ABC的三边BC、CA、AB与⊙O分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14,CA=13,求AF、BD、CE的长. 师生活动：师生共同分析已知条件、引导学生思考欲求AF、BD、CE的长，首先要找出三个基本图形，教师指名一位同学到白板前在图中找出三个基本图形，并讲解解题思路： 解：设AF =x,则AE =x, CD =CE =AC-AE =13-x, BD =BF =AB-AF =9-x. 由BD +CD =BC，可得 （13-x）+（9-x）=14 解得 x=4 因此 AF =4,BD =5,CE =9. 教师追问：设BF或CD为x可以吗？还有其方法吗？ 教师继续引导学生观察图形，如将这条直线平移至圆的左侧与圆相切，你还会解答吗？ 问题:如图，线段AB、CE、CD分别与⊙O相切于点F、E、D，已知线段CD的长等于8，求△ABC的周长. 教师引导学生观察例题的图形，三角形的三边与圆什么关系？得出内切圆定义。 出示内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 教师引导学生通过小组交流得出：内心到三角形三边的距离相等.内心是三角形三条角平分线的交点. 教师继续引导学生利用所学知识解决实际问题. 试一试：在一张三角形的卡纸上，剪裁出一个圆形教具，如何剪裁出一个最大的圆 ？ 测一测3： 1.如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点.有以下结论： （1）PA=PB （2）∠APO=∠BPO （3）∠AOP=∠BOP （4）AB垂直平分OP （5）AB被OP垂直平分，其中正确的结论（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2.如图， △ABC中， ∠ABC=500 ， ∠ACB=700，点O是△ABC的内心，则 ∠BOC= . 学生观察图形回答问题：三条直线与圆相切有三个基本图形. 思考后一名学生讲解思路. 一名学生讲解思路. 再请一名同学讲解思路 学生独立完成.请一名学生到讲台前讲解思路. 学生小组合作，共同探讨交流得出内心性质 学生完成作图 学生独立完成 例题是对本节知识的延伸，让学生发现利用切线长定理解决问题的根本是找基本图形，让学生再次体会数形结合的数学思想，并能自己发现用方程思想解决几何问题记忆更加深刻。并通过讲一讲、试一试培养学生口头表达能力、推理能力和动手操作能力. 这样引出内切圆、内心概念自然流畅、降低了难度，再利用内切圆知识解决实际问题更符合学生的认知规律. 通过测一测3，了解学生对本节知识的掌握情况。
活动五： 回忆图形 畅谈收获 师生活动：教师引导学生对照图形对本节课所学内容从以下方面进行总结归纳： ①你收获了哪些数学知识？ ②你收获了哪些数学思想和方法？ 结束语： 大家收获真多，学习知识很重要，但善于总结、善于归纳、也是我们在学习中必须要养成的良好的学习习惯。前三个图形都只是两条直线与圆相切，都包含一个基本图形；后两个图分别是三条直线与圆相切的两种不同情况，都包含了三个基本图形. 在几何学习过程中，无论图形怎样复杂多变，但万变不离其宗，找基本图形是解决问题的根本.再来回看切线长定理的基本图形，一起做做这个动作，老师多希望这双手是我的，而我托起的就是未来实现梦想的你，同学们加油！ 培养学生归纳概括能力，把知识纳入系统，便于学生存储和应用.进一步明确本节课的数学知识、数学思想解决问题的方法.
布置作业 课外延伸
书面作业：课本102页11题. 课外作业：探索四条直线与圆相切. 在课堂探索结束后，鼓励学生继续进行课外探索，做到“课虽尽，思不止”.
目标检测设计
测一测1：
1.如图,直线PE、EF 分别切⊙O于A、D，直线PF 交⊙O于B、C,图中表示点P到⊙O 的切线长是 的长.
A、线段PA 的长B、线段PB 的长C、线段PC 的长 D、线段PF 的长
图中表示点E 到⊙O的切线长是线段 的长,
图中表示点F 到⊙O的切线长是线段 的长.
设计意图：考查学生是否理解切线长定义，能否辨认切线长.
测一测2：
如图，PA、PB 切⊙O于A、B 两点，∠APB =500，连接PO,则
∠APO = .连接OA、OB，则 ∠AOB = .
设计意图:考查学生能否利用切线长定理解决简单问题.
测一测3：
1.如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点.有以下结论：
（1）PA=PB （2）∠APO=∠BPO （3）∠AOP=∠BOP
（4）AB垂直平分OP （5）AB被OP垂直平分，其中正确的结论（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
设计意图：考查学生对切线长定理推出的结论是否掌握.
2.如图， △ABC中， ∠ABC=500 ，∠ACB=700，点O是△ABC的内心，则∠BOC= .
设计意图：考查学生能否用内切圆有关知识解决问题.
点评稿
刚刚听了贺老师的《切线长定理》这节课，我想就这节课发表我的一些看法。
一、知识体系以“基本图形”为主线，螺旋发展，举一反三。
纵观贺老师的这节课，知识的产生发展应用与拓展，都是围绕基本图形产生的演绎。这样的设计，非常的符合学生的认知规律，随着对基本图形的变式与迁移，先后完成了对切线长定理的浅层次认知，初步运用；再认知，灵活运用；深度认知，综合运用的螺旋认知过程。最后，学生能够从复杂的图形中，剥离出基本图形，深入浅出发展了学生的数学思维。
二、教学设计以“认知规律”为导向，水到渠成，巧妙设计。
本节课中设置了三个探究问题主线：问题一：在探究切线长定理时，让学生经历观察、猜想、验证、得出的过程，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性。这一环节结束后，教师再次创设问题二：观察圆的三条切线组成三角形的图形，此环节重在让学生寻找基本图形，利用数形结合，方程的思想解决例2。问题二的引入自然流畅，层层递进不仅符合学生认知规律，也激发了学生进一步研究的兴趣，达成本节课知识目标的教学。前两个问题的研究使本节课的探究达到高潮，为了给学生形成完整的知识体系，教师又引入了问题三：在问题二的基础上平移一条切线与圆的另一边相切，进一步让学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，再次应用本节核心知识解决问题。使学生经历感知、认识、探究、梳理、归纳、实践等活动，对切线长定理有了一个完整清晰的认知，整个设计巧妙恰当，一气呵成。
三、学生学习以“丰富活动”贯穿，主动探究，层层深入。
在这节课上，从活动一初次接触切线长定理基本图形，到活动五完成知识链接，可以说每个环节都是在学生的自主探究中，逐步深入。从定理的模糊感知，到灵活运用，从图形的简单辨析，到定理的综合运用，活动形式丰富多彩，有效的激活了学生的探究欲望，圆满的完成了知识体系的产生、构建与发展，体现了她内心深处的“生本意识”。
当然，除此之外，贺老师充分运用多媒体教学手段，尤其是几何画板与微课、视频的动态演示，直观形象，使定理的学习变得更加轻松。另外，课堂小结打破了以往用知识树和结构图的方法，把基本图形的多次变式用螺旋上升的形式呈现出来，给人以耳目一新的感觉，同时也强化了数形结合的数学思想。
以上是我的一些看法，有不到之处敬请各位专家批评指正，让我们得到成长和提升。谢谢大家！