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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.8 四边形中线段最值问题专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2023·山西朔州·一模）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接与相交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O是菱形的中心，
连接，取中点M，连接，，则，为定长，
∵菱形的边长为8，，
∴，
由勾股定理可得：，
∵M是的中点，
∴，
在Rt中，，
在Rt中，，
∵，
当A，M，G三点共线时，最小为，
故选：C．
2．（八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
菱形中，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时最短，即最小，
菱形的边长为6，
，
．
的最小值是．
故选：D．
3．（八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴点B与D关于直线对称，
连接交于点，连接，
则，
，
当B、N、M三点共线时，取得最小值，
则即为所求的点，
则的长即为的最小值，
∵四边形是正方形，
∴是线段的垂直平分线，
又，
在中，，
故的最小值是5．
故选：C．
4．（八年级下·广东湛江·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】D
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
∴DN=BN，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，
∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CD=4，DM=1
∴CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，BM=
故DN+MN的最小值是5．
故选：D．
5．（八年级下·江西赣州·期末）如图，在菱形中，，，、分别为、的中点，是上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】解：作E点关于AC的对称点点G，连接GF交AC于点P，连接PE，连接PE，
由对称性可得PG=PE，AG=AE，
∴PE+PF=PG+PF GF，
当P、G、F三点共线时，PE+PF有最小值，
∵点E是AB的中点，
∴点G是AD的中点，
，
∵F是BC的中点，
，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴，AD=BC，
，
∴四边形ABFG是平行四边形，
∴GF=AB=4，
∴PE+PF的最小值为4，
故选：C．
6．（八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形ABCD中，，，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】解：在BA上取，连接，如图所示：
∵菱形ABCD关于BD对称，
∴，
∴，
∴点E、P、共线时，且时，PF＋PE的值最小，此时正好等于菱形一条边上的高，作CH⊥AB于H，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
∵AB＝2，
∴根据勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴PF＋PE的最小值为，故A正确．
故选：A．
7．（2022·广东深圳·一模）如图，矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作点关于的对称点，连接，，如图所示：
矩形中，，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是定值，
当、、、四点共线时，定值最小，最小值，
的最小值为，
故选：B
8．（2023八年级上·福建·专题练习）如图，，平分，平分，和交于点，，分别是线段和线段上的动点，且，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：平分，平分，
∴，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
如图．在上取点，使，连接，作点关于的对称点，连接、．
作于点，作于点．
，
，，，
，
，
，
当、、三点在同一直线上时，取最小值为．
，，
，，
，，
，，
，
，
，
．
即的最小值为．
故答案为：．
9．（八年级上·河北保定·期末）如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】 /
【详解】解：根据题意，，
∴当的值最小时，的值最小；
当的值最大时，的值最大；
∴①如图所示，当时，的值最小，
∵四边形是长方形，点是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
故答案为：；
②如图所示，当点与点（或点）重合时，线段的值最大，
∵四边形是长方形，
∴，，且，
∴，
∴，
∴的最大值为：，
故答案为：．
10．（八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）正方形中，点在上，，，点在上，的最小值 ．
【答案】
【详解】如图，连接交于点，连接与交于点P，连接，
∵四边形是正方形，
∴，且，
∴，则，此时最短，
∵，，
∴根据勾股定理得，
∴，
即的最小值为：，
故答案为：．
11．（九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．
【答案】/
【详解】解：将绕点顺时针旋转，得，如图：
由旋转不变性可得：，，
且，
是等腰直角三角形，
，
最大，只需最大，而在中，，
当且仅当、、在一条直线上，即不能构成时，最大，且最大值为，
此时，
故答案为：．
12．（九年级上·广东韶关·期中）如图，在边长为6的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
取的中点，连接，，则，
，
，
当、、三点共线时，取最小值为：，
故答案为：．
13．（八年级上·陕西咸阳·期中）如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．
【答案】
【详解】解：如图，
作点E关于的对称点N，
因为正方形是轴对称图形，且为对称轴，
所以点N在上，
连接，交于点G，根据两点之间线段最短，
所以为的最小值，
过点F作于点M，
则，，
根据轴对称性质可知：，
所以，
在直角中，由勾股定理，得：
，
所以，
即的最小值为13，
在中，，
所以，
所以周长的最小值是．
14．（八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的边长为2，E是的中点，点P是边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：连接，
正方形的对角线互相垂直平分，
无论P在什么位置，都有；
故均有成立；
连接与，所得的交点，即为的最小值时的位置，
如图所示：
此时，
正方形的边长为，
，
E是的中点，
，
在中，
．
故答案为：．
15．（九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在矩形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕点E顺时针旋转到位置，连接和，则的最小值为 ．
【答案】4
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转30度，得到，连接，过点作于，过点作于，
将绕着点顺时针旋转到的位置，将绕点顺时针旋转30度，得到，
，，，
，
在和中，
，
，
，
点在直线上运动，
当时，有最小值为，
，，
，
，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，，
，
的最小值为4．
故答案为：4．
16．（八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形的边长为5，E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形，连接、，当的值最小时 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当A，E，F，C四点共线时，的值最小，最小值为的值，
如图，
此时，
故答案为：．
17．（八年级下·广东广州·期中）如图，E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，连接E、F、G、H，若，，则四边形的周长最小值是 ．
【答案】
【详解】解：延长到D，使，G的对应点为，则，
作，使，H的对应点为，则，
作，使，Ｅ的对应点为，则，
∴在同一直线上时，四边形的周长最小，最小值为的长，
作交延长于点K，
则，，
∴．
故答案为：．
18．（八年级下·湖南永州·期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点P作于点P，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
故答案为：；．
19．（八年级下·重庆江津·阶段练习）如图，点，点，点P为线段上一个动点，作轴于点M，作轴于点N，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接．
由已知可得：，
四边形是矩形，
，
在中，当时最短，即最小．
，点，
，，
根据勾股定理得：，
，
，
，
即当点运动到使于点时，最小，最小值为，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
矩形的面积，
即当取最小值时，则四边形的面积为，
故答案为：．
20．（九年级下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上的一个动点，试求和的最小值是 ．
【答案】
【详解】
解：连接，，
∵四边形为正方形，是对角线，
∴点A与点C关于对称，
∴，
∴，
∴，
当D，P，C三点共线时，的最小值就是的长．
∵D点的坐标为，四边形为正方形，，
∴，，
∴，
则和的最小值是．
故答案为：．
21．（九年级上·湖北襄阳·期末）如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：过点M作，垂足为P，连接，
由旋转可得：，，，
在正方形中，，E为中点，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵C，M位置固定，
∴，即，
∴，即的最小值为，
故答案为：．
22．（八年级下·重庆万州·期末）如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为 ．
【答案】13
【详解】解：连接、，如图：
，，，
四边形为矩形，
，
四边形是正方形，
由正方形的对称性可得，
，
，
当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图：
，，
，
，
的最小值为13，
故答案为：13．
23．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，是线段上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图作点D关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可知：，
∴，
过点P作垂直，垂足为G，
由题意得，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故可知P的轨迹为以为直径的四分之一圆弧上，当点E与点D重合，点F与点C重合时，
此时，最短．
∵四边形为正方形，
∴，．
∴．
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
24．（八年级下·重庆大足·期末）在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
正方形中，，
，，
在和中，
，
和，
，
，
的最小值就是的最小值，
如图，作关于的对称点，连接交于，则即可满足最小，
，
，，
．
的最小值是．
故答案：．
25．（八年级下·四川成都·期末）如图，在长方形ABCD中，，，点P为边AB上的一个动点，过点P作，分别交BD、CD于点E、Q，则的最小值为 ．
【答案】4
【详解】解：在长方形中，，，
，，
设，则，，
在中，
，，
，
在中，，
，
在中，
，
，
如图：设，，，，，，
则，，
由图可知，当、、共线时，最小，最小值为的长，
过作交延长线于，则四边形是矩形，
在中，
，，
，
最小值是4，
最小值是4，
故答案为：4．
26．（八年级下·江苏南京·期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ．
【答案】2
【详解】解：∵四边形PBQO是平行四边形，
∴PH=HQ，OH=HB，
当PQ⊥OA时，PQ最短，
∵∠AOB=30°，OB=4，
∴OH=2，
∴PH=1,
∴PQ=2PH=2，
故答案为：2．
27．（八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为 ．
【答案】1
【详解】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，
∴PN=PE，
则PM-PN=PM-PE，
∴当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，
在正方形ABCD中，AB=4，
∴AC=，
∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称，
∴点E是OC中点，
∴CE=AC=，
∵BC=4，BM=3，
∴CM=1=BC，
∵∠BCQ=45°，
∴△MCQ为等腰直角三角形，
∴CQ==，
∴EQ=，
∴CM=EM=1，
即PM-PN的最大值为1，
故答案为：1．
28．（八年级下·安徽芜湖·期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点M，N为AC上动点，且，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：连接BD、DN，作点E关于BD的对称点F，则BE=BF=2，
连接NF、DF，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，DB⊥AC，BN=DN，点F在BC上，
∴EF∥AC，EF= =MN，
∴四边形MEFN是平行四边形，
∴ME=NF，
∴ME+BN=NF+DN≥DF（当D、N、F共线时取等号），
在Rt△DCF中，CD=8，CF=8-2=6，则DF= =10，
∴ME+BN≥10，
∴MN+BE+ME+BN≥+2+10=12+ ，
即则四边形BEMN的周长的最小值为12+ ，
故答案为：12+ ．
29．（2022·河南许昌·一模）如图1，在正方形中，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，设，，图2是y关于x的函数图像，则图像上最低点Q的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，设正方形ABCD的边长为，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵正方形是轴对称图形，关于对称，点B和点D是一组对应点，
∴点B、D关于对称，
∴，
∴，
．当D、P、E共线时，的值最小，如下图：
在中，，
∴的最小值为，
∴点Q的纵坐标为，
∵，
∴
∵，
∴，
∴点Q的横坐标为，
∴点Q的为，
结合图2可知，当点P与点C重合时，
，
解得：，
∴点Q的坐标为．
30．（八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，正方形的对角线，相交于，为边上一动点（不与，重合），交于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）证明：∵正方形的对角线，相交于，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）由（1）知：，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（3）解：在中，为中点，
∴，
由（2）知：，
∴，
要长的值最小，则长的值最小，
∵点在上，正方形边长为，，，
∴当时，长的值最小，
此时是的边上的中线，
∴，
∴长的最小值为．
故答案为：．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.8 四边形中线段最值问题专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2023·山西朔州·一模）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（八年级下·广东湛江·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
5．（八年级下·江西赣州·期末）如图，在菱形中，，，、分别为、的中点，是上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
6．（八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形ABCD中，，，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2022·广东深圳·一模）如图，矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八年级上·福建·专题练习）如图，，平分，平分，和交于点，，分别是线段和线段上的动点，且，若，，则的最小值为 ．
9．（八年级上·河北保定·期末）如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为 ，最大值为 ．
10．（八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）正方形中，点在上，，，点在上，的最小值 ．
11．（九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．
12．（九年级上·广东韶关·期中）如图，在边长为6的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为 ．
13．（八年级上·陕西咸阳·期中）如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．
14．（八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的边长为2，E是的中点，点P是边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ．
15．（九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在矩形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕点E顺时针旋转到位置，连接和，则的最小值为 ．
16．（八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形的边长为5，E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形，连接、，当的值最小时 ．
17．（八年级下·广东广州·期中）如图，E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，连接E、F、G、H，若，，则四边形的周长最小值是 ．
18．（八年级下·湖南永州·期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为 ，的最小值为 ．
19．（八年级下·重庆江津·阶段练习）如图，点，点，点P为线段上一个动点，作轴于点M，作轴于点N，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ．
20．（九年级下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上的一个动点，试求和的最小值是 ．
21．（九年级上·湖北襄阳·期末）如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为 ．
22．（八年级下·重庆万州·期末）如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为 ．
23．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，是线段上任意一点，则的最小值为 ．
24．（八年级下·重庆大足·期末）在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．
25．（八年级下·四川成都·期末）如图，在长方形ABCD中，，，点P为边AB上的一个动点，过点P作，分别交BD、CD于点E、Q，则的最小值为 ．
26．（八年级下·江苏南京·期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ．
27．（八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为 ．
28．（八年级下·安徽芜湖·期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点M，N为AC上动点，且，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 ．
29．（2022·河南许昌·一模）如图1，在正方形中，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，设，，图2是y关于x的函数图像，则图像上最低点Q的坐标是 ．
30．（八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，正方形的对角线，相交于，为边上一动点（不与，重合），交于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________．
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