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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题18.2 矩形的性质专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于．
(1)求证：；（长方形各内角均为）
(2)若．求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：由折叠的性质知，，．
四边形是矩形，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
由（1）知，
，
，
，
，
2．（2023·浙江台州·二模）如图，四边形为矩形，点，是边上的两个点，．
(1)求证：；
(2)请仅用无刻度的直尺作出的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图，直线即为所求．
3．（八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且，求的长．
【答案】
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
，
设，则，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
．
4．（八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形中，．将四边形沿直线折叠，使点D落在边上的点F处．
(1)求的长．
(2)求的长．
【答案】(1)12(2)6
【详解】（1）解：∵是折叠得到的，
∴，
∵在矩形中，，
∴在中，
；
（2）解：设，则，
∵，
，
在中，，
即，
解得，
即．
5．（八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点重合，折痕为．
(1)求证：；
(2)求和的长．
【答案】(1)见详解
(2)，
【详解】（1）解：根据折叠的性质，可得，
是长方形，
，
，
，
．
（2）设，则，
在中，
，即：，
解得：，
，
过点作，垂足为，
由（1）可知，，
又，，
，，
，
在中，
，即，
解得：，（舍），
故：，．
6．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，矩形中，点分别在上，，．求证：平分．
【答案】见解析
【详解】证明：四边形为矩形，
．
．
，
在与中，
．
．
又．
，即平分．
7．（2024·湖南娄底·一模）如图，已知四边形是矩形，于，于，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：证明：四边形是矩形，
，//，
，
又，，
∴//，
在和中，
，
（AAS），
，
又//，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
答：的长为．
8．（九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在矩形中，对角线交于点O，E，F是上两点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
；
（2）
解：∵，
∴．
由（1）知，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
9．（八年级下·全国·随堂练习）如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
又∵，，
∴．
在和中，
∴．
（2）∵，
∴．
又∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
10．（2023·广西桂林·一模）如图，在矩形中，对角线与交于点O，F是经过点B且与平行的直线上一点，且，点E在线段上，且满足，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点与点重合．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
由翻折可知: ，
∴，
∴度数为；
（2）证明：∵四边形是矩形,
∴，
由翻折可知: ，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（3）解：设，则，
∵沿翻折后点与点重合，
∴，
在中，由勾股定理得，即 ，
解得，
∴．
12．（八年级下·湖北·周测）如图，在矩形纸片中，，将纸片沿折叠，使点与点重合．
(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长．
【答案】(1)见解析(2)；(3)．
【详解】（1）证明：由折叠得，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
由勾股定理得，，即，解得，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点E作于点H，则四边形为矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴在中，．
13．（八年级下·广东广州·阶段练习）如图：矩形沿着直线对折，点D恰好落与边上的点H重合，，．
(1)三角形的形状；
(2)求三角形的面积．
【答案】(1)三角形是等腰三角形，理由见解析；(2)三角形的面积为78．
【详解】（1）解：三角形是等腰三角形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质知：，
∴，
∴，
∴三角形是等腰三角形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质知：，，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴三角形的面积为．
14．（九年级上·贵州六盘水·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，与对角线交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)的长为
【详解】（1）证明：如图，
四边形是矩形
，，
（2）解：如图，连接，
，
，，
点是矩形对角线的交点，
，
，
又四边形是矩形，
，，
点与点对折重合，
，
，
∴，
，
又，
，
又，
为等边三角形，
，
在中，，
，
，
即的长为
15．（九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，
求证：
(1)
(2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
16．（2023·广东汕头·一模）如图，将矩形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形沿对角线翻折，点B落在点F处，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．（九年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在矩形中，，G，H分别是的中点，E，F是对角线上的两个点，．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形为矩形，求的长度．
【答案】(1)平行四边形，见解析(2)
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形是矩形，
，
，
分别是的中点，
，
，
，
，，
，
即，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，在矩形中，，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
当四边形为矩形时，
，
．
18．（七年级上·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，若，．
(1)判断与是否全等，并说明理由；
(2)求的长度．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解：，理由如下：
四边形是长方形，
，，，
，
沿折叠后为，
，
，，
在与中，
，
；
（2）解：四边形是长方形，
，，
，
，
在中，由勾股定理有，
．
19．（八年级上·江苏徐州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使、两点重合．点落在点处．已知，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：由折叠性质可知．
，
．
．
是等腰三角形．
（2）解：设，由折叠可知．
，
．
在中，由勾股定理得，
．
解得．
由（1）得，
．
20．（2024·安徽合肥·一模）如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿PE翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边点．
(1)若，则______；
(2)若，且三点共线，则______，
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：如图，当点三点共线时，有交于点，过点作交于点，
又∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴由折叠性质，，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，
，
∴，
解得：，
即．
21．（八年级下·江苏无锡·阶段练习） 如图，矩形中，，，E是边上一点（与C、D不重合）．四边形关于直线的对称图形为四边形．
(1)若，与交于点F，求的面积；
(2)如图，的延长线交于点P，设（），求的面积S．（用含x代数式表示）
【答案】(1)(2)（）
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
则，
由对称可知，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即：，
解得：，即：，
∴的面积；
（2）过作于，
由题意可知，，，
∴，，
由对称可知，，
则，
∴，
设，，
则，，
在中，，解得：，
∴（）．
22．（八年级下·江苏南通·阶段练习）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点D 处，与交于点．
【猜想】（1）请直接写出线段的数量关系______．
【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为ME．
（2）若，求的长．
（3）猜想、的数量关系，并说明理由；
【答案】（1）；（2）（3），理由见解析
【详解】
解：（1）矩形纸片沿所在的直线折叠，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：；
（2）矩形沿所在直线折叠，
，，，
设，
，
在中，，
，
，
解得，
，
同理可证明，
；
（3），理由如下：
由折叠的性质可得，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，将一长方形纸片沿折叠，边交于点，设．
(1)______度，______度（直接用含的式子表示）
(2)若，求的度数
(3)若将图1中纸片再沿折叠得到如图2所示图形，若，求的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
根据题意可得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）解：，
∵，
∴．
（3）解：根据题意可得，
即，
则，
即，
解得：，
故的值为．
24．（八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形是一张长方形纸片，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点处，
(1)求线段的长；
(2)根据所给四边形，以点O原点建立直角坐标系并求出点，点的坐标；
(3)依据(2)中所建的直角坐标系，求直线的函数表达式．
【答案】(1)(2)坐标系见解析；；(3)
【详解】（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，
在中，，，
（2）解：如图所示，
，则，
，
；
（3）在中，，
又，
，
，
，
，，
设直线的解析式为，
把、的坐标代入得
，
解得，
直线的解析式为．
25．（八年级下·江苏苏州·阶段练习）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M．
(1)求证：；
(2)当点E是边的中点时，求的长；
(3)当时，求的长．
【答案】(1)见解析(2)(3)或
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴；
（2）解：∵点E是边的中点，
∴，
∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则由（1）知，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为；
（3）解：当时，设，
第一种情况，点E在线段上，如图所示：
则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
第二种情况，点E在线段的延长线上，如图所示：
则
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
综上可知，当时，的长为或．
26．（八年级上·山东潍坊·期末）如图，点为矩形的边上一点，连接，将沿所在的直线翻折得到，射线交的延长线于点，连接，．
(1)求证：；
(2)当时，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解；
(2)四边形是平行四边形，理由见详解；
【详解】（1）证明：∵沿所在的直线翻折得到，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵沿所在的直线翻折得到，
∴，，，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
27．（九年级上·陕西榆林·期末）如图，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接，，交于点H．
(1)求证：
①平分；
②H是的中点；
(2)连接，若平分，，求的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)1．
【详解】（1）证明：如图，
由旋转性质得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
如图，过点作于点，
由①可知，
又∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴点为中点；
（2）解：如图，作于点，
由()可知，，
∴，，
∵，平分，
∴
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
28．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E．
(1)为何值时，点E与点A重合；
(2)当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】(1)为时，点E与点A重合
(2)当时，的面积最大值为10
【详解】（1）解：当点E与点A重合时，如图，
∵四边形为矩形，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴为时，点E与点A重合；
（2）解：如图，
由折叠知，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，而的长度不变，
∴当最大时，的面积最大，
又∵，
∴最大时，的面积最大，
而在中，只要当最大时，就最大，
∴当最大时，最大，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大值为10．
29．（八年级上·河南周口·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与重合，与重合，若长方形的长为8，宽为4，
(1)求的长；
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设，则，
在中，，
所以，
解得：，
即，
（2）过点作于，则，
，，，
所以
所以，
所以．
30．（九年级上·福建宁德·阶段练习）如图，在矩形中，是边上一点，连接，过点作交于点，连接．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，若恰好是边的中点，求证：．
(3)在（2）的条件下，当，时，求的值．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
．
∵，
，
，
；
（2）证明：如图，延长交于点M，
在矩形中，，
∴，
∴E点为的中点，
∴，
，
，
，
∴，
∴C是的中点，
∵，
．
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
，
∴，，
∴．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题18.2 矩形的性质专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于．
(1)求证：；（长方形各内角均为）
(2)若．求的长．
2．（2023·浙江台州·二模）如图，四边形为矩形，点，是边上的两个点，．
(1)求证：；
(2)请仅用无刻度的直尺作出的垂直平分线．
3．（八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且，求的长．
4．（八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形中，．将四边形沿直线折叠，使点D落在边上的点F处．
(1)求的长．
(2)求的长．
5．（八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点重合，折痕为．
(1)求证：；
(2)求和的长．
6．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，矩形中，点分别在上，，．求证：平分．
7．（2024·湖南娄底·一模）如图，已知四边形是矩形，于，于，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
8．（九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在矩形中，对角线交于点O，E，F是上两点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
9．（八年级下·全国·随堂练习）如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
10．（2023·广西桂林·一模）如图，在矩形中，对角线与交于点O，F是经过点B且与平行的直线上一点，且，点E在线段上，且满足，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
11．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点与点重合．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
12．（八年级下·湖北·周测）如图，在矩形纸片中，，将纸片沿折叠，使点与点重合．
(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长．
13．（八年级下·广东广州·阶段练习）如图：矩形沿着直线对折，点D恰好落与边上的点H重合，，．
(1)三角形的形状；
(2)求三角形的面积．
14．（九年级上·贵州六盘水·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，与对角线交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
15．（九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，
求证：
(1)
(2)．
16．（2023·广东汕头·一模）如图，将矩形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
17．（九年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在矩形中，，G，H分别是的中点，E，F是对角线上的两个点，．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形为矩形，求的长度．
18．（七年级上·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，若，．
(1)判断与是否全等，并说明理由；
(2)求的长度．
19．（八年级上·江苏徐州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使、两点重合．点落在点处．已知，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求线段的长．
20．（2024·安徽合肥·一模）如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿PE翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边点．
(1)若，则______；
(2)若，且三点共线，则______，
21．（八年级下·江苏无锡·阶段练习） 如图，矩形中，，，E是边上一点（与C、D不重合）．四边形关于直线的对称图形为四边形．
(1)若，与交于点F，求的面积；
(2)如图，的延长线交于点P，设（），求的面积S．（用含x代数式表示）
22．（八年级下·江苏南通·阶段练习）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点D 处，与交于点．
【猜想】（1）请直接写出线段的数量关系______．
【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为ME．
（2）若，求的长．
（3）猜想、的数量关系，并说明理由；
23．（七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，将一长方形纸片沿折叠，边交于点，设．
(1)______度，______度（直接用含的式子表示）
(2)若，求的度数
(3)若将图1中纸片再沿折叠得到如图2所示图形，若，求的值．
24．（八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形是一张长方形纸片，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点处，
(1)求线段的长；
(2)根据所给四边形，以点O原点建立直角坐标系并求出点，点的坐标；
(3)依据(2)中所建的直角坐标系，求直线的函数表达式．
25．（八年级下·江苏苏州·阶段练习）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M．
(1)求证：；
(2)当点E是边的中点时，求的长；
(3)当时，求的长．
26．（八年级上·山东潍坊·期末）如图，点为矩形的边上一点，连接，将沿所在的直线翻折得到，射线交的延长线于点，连接，．
(1)求证：；
(2)当时，判断四边形的形状，并说明理由．
27．（九年级上·陕西榆林·期末）如图，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接，，交于点H．
(1)求证：
①平分；
②H是的中点；
(2)连接，若平分，，求的长．
28．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E．
(1)为何值时，点E与点A重合；
(2)当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
29．（八年级上·河南周口·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与重合，与重合，若长方形的长为8，宽为4，
(1)求的长；
(2)求阴影部分的面积．
30．（九年级上·福建宁德·阶段练习）如图，在矩形中，是边上一点，连接，过点作交于点，连接．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，若恰好是边的中点，求证：．
(3)在（2）的条件下，当，时，求的值．
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