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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.2 矩形的判定专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，的对角线、相交于点，且．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)过作于，，，求的长．
2．（2024·云南·模拟预测）在中，D是边的中点，、F分别在及其延长线上，，连接、．
(1)求证：
(2)若，试判断四边形的形状，无需说明理由．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知等腰，，点D是边的中点，是外角的平分线，过点C作，垂足为E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若矩形的周长是28，，求四边形的面积．
4．（八年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点为中点，连接、．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的度数．
5．（2023·山东青岛·三模）如图，在中，，，D是的中点，E是线段延长线上一点，过点A作，与线段的延长线交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，试判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论；
6．（八年级下·广西南宁·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
7．（2023·广东汕头·二模）如图，在平行四边形中，平分平分．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是矩形．
8．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点．
(1)求证．
(2)连接，若时，求的长．
9．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别在边上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
10．（八年级下·北京房山·期末）如图，在中，对角线，交于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，作的平分线交于点，求的长．
11．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，使得点E落在上，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点H，取的中点I，连接，探究和的数量关系，说明理由；
(3)如果，求的长．
12．（九年级上·湖南常德·开学考试）如图，已知是四边形各边的中点．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若四边形是矩形，且其面积是，求四边形的面积．
13．（八年级上·福建泉州·期末）如图，矩形中，，，点E、点F分别是对角线上的点，且，过点E作，交于点G，平移，使B、F的对应点分别是G、H，连接．
(1)当是以为腰长的等腰三角形时，求的长；
(2)连接．判断四边形的形状，并说明理由；
14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，点是边上一个动点，过作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
15．（九年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，过点作交直线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，在绕点旋转过程中是否存在某个时刻，使得，如果存在，请直接写出此时的度数；如果不存在，说明理由．
16．（2023·山东青岛·一模）如图，在平行四边形中，O是的中点，连接延长交的延长线于E，过点B作的平行线交的延长于点F．
(1)证明：；
(2)若是的角平分线，请判断四边形是什么特殊四边形，请说明理由．
17．（九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，的对角线相交于点，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点在上，连接，若，求的面积．
18．（九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，．
(1)求证：四边形是矩形：
(2)若，，求四边形的面积．
19．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，在中，D是边上一点，E是的中点，过C作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接．若D是的中点，在中添加什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论．
20．（八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 如图1，四边形中，，，且，，的平分线交边于，的平分线交于，交于.
(1)求证：
(2)如图2，若，、交于点，写出图中所有等腰直角三角形.
21．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，已知在梯形中，，，，是边的中点，、相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)设边的中点为，连接．求证：四边形是矩形．
22．（九年级上·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点为的中点，于点，点为上一点，连接，，且．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求平行四边形的周长．
23．（九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，点是斜边的中点，过点作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
24．（九年级上·福建南平·期中）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．
(1)如图，连接．
求证：平分；
求证：是的中点；
(2)如图，连接，若平分，，求的长．
25．（九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平面直角坐标系中，把矩形绕点C顺时针旋转角，得到矩形．设与交于点H，且．
(1)当时，的形状是
(2)当时，求直线的解析式
26．（九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，平行四边形中，点是边上一点（不与，重合），，过点作，交边于点，连接．
(1)若，求证：四边形是矩形；
(2)在（1）的条件下，当，时，求的长．
27．（九年级上·广东汕头·期末）如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．
(1)证明：；
(2)证明：的延长线经过点B．
28．（2022·广东佛山·模拟预测）如图，四边形中，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若是等腰三角形，求四边形的面积．
29．（九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在矩形中，平分交于E，连结．
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G，
①猜想的度数，并说明理由；
②若，求的值．
30．（九年级上·广东佛山·阶段练习）在矩形中，
(1)如图1，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，求的值；
(2)若点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为射线上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形；
①如图2，当P在线段上时，若，，求平行四边形的周长．
②若，．请用含m，n的式子直接写出与之间的数量关系．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.2 矩形的判定专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，的对角线、相交于点，且．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)过作于，，，求的长．
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析(2)
【详解】（1）四边形是矩形，理由如下：
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，
，
，
，
在上取一点，使得，
，
，
，
设，则，
，
，
，
．
2．（2024·云南·模拟预测）在中，D是边的中点，、F分别在及其延长线上，，连接、．
(1)求证：
(2)若，试判断四边形的形状，无需说明理由．
【答案】(1)详见解析(2)四边形是矩形
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
在和中 ，
∴．
（2）解：四边形是矩形．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知等腰，，点D是边的中点，是外角的平分线，过点C作，垂足为E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若矩形的周长是28，，求四边形的面积．
【答案】(1)见详解(2)48
【详解】（1）证明：∵，点D是边的中点，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵点D是边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的周长是28，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴．
4．（八年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点为中点，连接、．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的度数．
【答案】(1)是等腰直角三角形(2)
【详解】（1）解：是等腰直角三角形；理由如下：
四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，，
，
，
又，
是等腰直角三角形；
（2）四边形是矩形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
又，
．
5．（2023·山东青岛·三模）如图，在中，，，D是的中点，E是线段延长线上一点，过点A作，与线段的延长线交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，试判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论；
【答案】(1)见解析(2)是矩形，证明见解析
【详解】（1）证明：，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形．证明如下：
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
，
四边形是矩形．
6．（八年级下·广西南宁·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：，
，即，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
又，
∴四边形为平行四边形，
，
，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：由(1)知，四边形为矩形，
，，
，，，
，
为直角三角形，，
，
，即，
，
．
7．（2023·广东汕头·二模）如图，在平行四边形中，平分平分．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分、平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，平分，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
8．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点．
(1)求证．
(2)连接，若时，求的长．
【答案】(1)见解析(2)6
【详解】（1）证明：∵在矩形中，即，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴．
∵在矩形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
9．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别在边上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）知，
同理：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
10．（八年级下·北京房山·期末）如图，在中，对角线，交于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，作的平分线交于点，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，
，
平行四边形为矩形；
（2）如图，
四边形是矩形，
，．
为的平分线，
．
，，，
，
，
，，
，
．
11．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，使得点E落在上，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点H，取的中点I，连接，探究和的数量关系，说明理由；
(3)如果，求的长．
【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)
【详解】（1）证明：矩形是由矩形旋转得到，
，，
，
，
，
，
即．
（2）解：，理由见解析：
如图，过点B作交于点M，连接，
则，由（1）知，
在和中，
，
，
，
矩形是由矩形旋转得到，
，，
，
又，，
．
，
是的中点，
为的中位线，
，
．
．
（3）矩形是由矩形旋转得到，，
，
由（2）得：，
，
在中，，，，
，
由（2）得：，
，，
在中，，，，
，
．
12．（九年级上·湖南常德·开学考试）如图，已知是四边形各边的中点．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若四边形是矩形，且其面积是，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）．证明：（1）连接，
、分别为、的中点，
是的中位线，
同理，
，
四边形为平行四边形
（2）如图，由（1）知四边形为平行四边形，
四边形是矩形，且是四边形各边的中点，
，
四边形和四边形都是矩形，
四边形是菱形，
，
四边形的面积是，
，
．
13．（八年级上·福建泉州·期末）如图，矩形中，，，点E、点F分别是对角线上的点，且，过点E作，交于点G，平移，使B、F的对应点分别是G、H，连接．
(1)当是以为腰长的等腰三角形时，求的长；
(2)连接．判断四边形的形状，并说明理由；
【答案】(1)的长为2或5(2)矩形，详见解析
【详解】（1）解：矩形中，，，
∴，
①当时，；
②当时，，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，CE的长为2或5；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
∴；
∴，，
∴，即，
∴，
∵平移得，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，点是边上一个动点，过作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)点在边上运动到中点
【详解】（1）证明：∵交的平分线于点，交的外角平分线于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，即是边上的中线，
∴；
（3）解：点在边上运动到中点时，四边形是矩形．
证明：连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
15．（九年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，过点作交直线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，在绕点旋转过程中是否存在某个时刻，使得，如果存在，请直接写出此时的度数；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析．(2)存在，此时旋转角的度数为或，理由见解析．
【详解】（1）如图，连接，
，
，
又，，
，
，
，
又，
，
，
由旋转的性质可得，，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
（2）情况1：如图，当点在线段上时，
，点在线段上，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
此时旋转角的度数为．
情况2：如图，当点在线段的延长线上时，
，点在线段的延长线上，
，
又是平行四边形，
是矩形，
，
又，
，
此时旋转角的度数为，
故存在，此时旋转角的度数为或．
16．（2023·山东青岛·一模）如图，在平行四边形中，O是的中点，连接延长交的延长线于E，过点B作的平行线交的延长于点F．
(1)证明：；
(2)若是的角平分线，请判断四边形是什么特殊四边形，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)四边形是矩形，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，,
∴，
∴，
∵O是中点，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，,
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵是的角平分线，
∴，
∵,
∴，
∴,
∵，
∴，即，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形．
17．（九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，的对角线相交于点，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点在上，连接，若，求的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：，
，
，
∵在中，
∴，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：∵在矩形中，，
，
．
由（1）可知，，
，
，
，
．
18．（九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，．
(1)求证：四边形是矩形：
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：，
，，
又平分，平分，
，，
，，
，，
，
点是的中点，
，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
四边形是矩形；
（2）由（1）知，四边形是矩形，
∴，
又∵为的平分线
四边形的面积=．
19．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，在中，D是边上一点，E是的中点，过C作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接．若D是的中点，在中添加什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析
【详解】（1）证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，是矩形．
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
20．（八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 如图1，四边形中，，，且，，的平分线交边于，的平分线交于，交于.
(1)求证：
(2)如图2，若，、交于点，写出图中所有等腰直角三角形.
【答案】(1)证明见解析
(2)，，，
【详解】（1）证明：，，
，，
又平分，平分，
，，
，，
，，
，
，
即；
（2），，，且，，
四边形为矩形，
由（1）得，，
故，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形．
故，，，是等腰直角三角形．
21．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，已知在梯形中，，，，是边的中点，、相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)设边的中点为，连接．求证：四边形是矩形．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，是边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：如图，连接，
由（）知，四边形是平行四边形，
∴，
又∵点是的中点，点是的中点，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
∵在梯形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即是的平分线．
∵，是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
22．（九年级上·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点为的中点，于点，点为上一点，连接，，且．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求平行四边形的周长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由（1）可知，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图，过D作于M，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴周长为：．
23．（九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，点是斜边的中点，过点作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：点是的中点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（九年级上·福建南平·期中）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．
(1)如图，连接．
求证：平分；
求证：是的中点；
(2)如图，连接，若平分，，求的长．
【答案】(1)见解析；见解析；(2)．
【详解】（1）证明：如图，
由旋转性质得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
如图，过点作于点，
由①可知，
又∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴点为中点，
（2）解：如图，作于点，
由()可知，，
∴，，
∵，平分，
∴
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
25．（九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平面直角坐标系中，把矩形绕点C顺时针旋转角，得到矩形．设与交于点H，且．
(1)当时，的形状是
(2)当时，求直线的解析式
【答案】(1)等边三角形(2)
【详解】（1）解：由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）解：∵，四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
26．（九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，平行四边形中，点是边上一点（不与，重合），，过点作，交边于点，连接．
(1)若，求证：四边形是矩形；
(2)在（1）的条件下，当，时，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：证明：，，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的长是．
27．（九年级上·广东汕头·期末）如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．
(1)证明：；
(2)证明：的延长线经过点B．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：如图：连接，
由旋转性质得，
又∵在矩形中，，
∴．
（2）解：延长交于点，
由旋转性质得，，，
在矩形中，，，
由（1）得，
∴，．
又∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴点与B重合．
∴的延长线经过点B．
28．（2022·广东佛山·模拟预测）如图，四边形中，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若是等腰三角形，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)或
【详解】（1）证明：，
，
，
在与中，
，
，
，
又是边的中点，
，
四边形是平行四边形；
（2）①当时，即时，由勾股定理得，，
∴，四边形的面积；
②当时，过点作于，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，四边形的面积；
③当时，边上的中垂线垂直平分了
设交于点，∴，而根据图得，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形的面积是或．
29．（九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在矩形中，平分交于E，连结．
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G，
①猜想的度数，并说明理由；
②若，求的值．
【答案】(1)(2)①，理由见解析；②
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得，；
∴；
（2）①解：，理由如下：
如图1，连接，
由（1）得：，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②解：由①可知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过D作于M，过A作于N，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
设，，则，，
∴，，
由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），
∴，
∴．
30．（九年级上·广东佛山·阶段练习）在矩形中，
(1)如图1，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，求的值；
(2)若点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为射线上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形；
①如图2，当P在线段上时，若，，求平行四边形的周长．
②若，．请用含m，n的式子直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)(2)①24；②
【详解】（1）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：；
（2）①∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
连接，过点作于，如图所示，
则四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的周长；
②与之间的数量关系为：，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
连接，过点作于，如图所示，
则四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
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