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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.3 菱形的性质专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2024·广东湛江·一模）如图，菱形对角线交于点，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴菱形的面积=．
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，菱形中，是对角线，分别为边，的中点，连接，交于点G．
(1)求证；
(2)若，，则的长为 ．
【答案】(1)见解析(2)1
【详解】（1）证明：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵E，F分别为边的中点，
∴，
∴；
（2）∵四边形是菱形，
∴，，
∴，．
∴．
∴．
∴是等边三角形，
，
∴．
故答案为：1．
3．（九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，菱形的面积为10，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
4．（2024·新疆·一模）已知如图，在中，点E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于G．
(1)求证：；
(2)若四边形是菱形，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
又∵E、F分别为边、的中点，
∴，，
∴，
∴；
∴；
（2）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∵E、F分别为边、的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
5．（2024·湖南长沙·三模）如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形为矩形：
(2)连接．若，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形；
（2）由（1）可知，，，
，
菱形的面积．
6．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1），，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是菱形，
，，，，
是等边三角形，
，
，
，
由（1）得四边形是矩形；
矩形的面积
7．（八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知：如图，菱形对角线交于点，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)在矩形中，，，求菱形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)菱形的面积为
【详解】（1）证明：，，
，，
即四边形是平行四边形，
菱形对角线交于点，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，
，，
即．
8．（九年级上·贵州毕节·期末）如图，过菱形的顶点A作于点E，延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析(2)10
【详解】（1）解：∵菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）∵菱形，
∴，
∵矩形，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
9．（2023·江苏盐城·一模）如图，在矩形中，点分别在上，直线分别交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形；
（2）
解：∵，四边形是菱形，
∴，
∵
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
即的长为．
10．（八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，矩形中，，．，分别是边，上的点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，求菱形的边长．
【答案】(1)见解析(2)菱形的边长是6.25．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
，
，
即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
所以菱形的边长是6.25．
11．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若菱形的边长为，面积为，求四边形的周长．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵菱形，
∴，，
∵菱形的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的周长．
12．（九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，是菱形对角线的交点，，.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的周长.
【答案】(1)证明见解析(2)四边形的周长
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵在菱形中，， ，，
∴是直角三角形，，，
∴，
∴四边形的周长．
13．（2024九年级下·广西·专题练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，过点D作对角线的垂线交的延长线于点E．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)18
【详解】（1）四边形是菱形，
， ，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是菱形，，，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
的周长为．
14．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，在菱形中，过点A作于点E，延长至，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
∴，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，在矩形中，，
∴在直角中，，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴矩形的面积．
15．（九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，已知四边形是菱形，点E，F在对角线上，．
(1)求证：；
(2)如图2，若，点E为的中点，连接交于点O，连接并延长交于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴;
（2）∵，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
综上可知，图2中等于线段的倍的四条线段分别是．
16．（九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求菱形的面积．
【答案】(1)证明过程见解析(2)80
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
由（1）可得，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴．
17．（九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形为菱形，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)20
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）∵四边形是矩形
∴
∵，，
∴
∵四边形为菱形
∴
∴设，则
∵
∴在中，，即
解得，
∴
∴
∴四边形的面积．
18．（九年级上·辽宁本溪·阶段练习）菱形中，，点E、F分别是边、边上的点，连接、、．
(1)如图1，若点E、F分别是边、边上的中点，则是______三角形；
(2)如图2，若，求证：是等边三角形；
(3)如图3，若，（2）中的结论是否成立 如果成立，请证明；如果不成立．请说明理由．
【答案】(1)等边(2)证明见解析(3)成立，证明见解析
【详解】（1）证明：连接
∵四边形是菱形，
．
∵E、F分别是边、边的中点，
，
，
．
中，，
是等边三角形．
∵E是边边上的中点，
，
，
，
．
，
，
，
．
，
是等边三角形．
故答案为：等边
（2）连接，如图2，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形．
（3）成立,连接，作交于点G，如图3所示：
则，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴，
∵，
∴为等边三角形．
19．（九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形中，，，平分
(1)如图1，求证：四边形是菱形
(2)如图2，点、分别在边、上，连接、交于点，若，求证：
(3)如图3，在（2）的条件下，，，，求的长.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形
（2）过点作延长线于点，过点作于点（如图），
∵由菱形可得：，
由，得，
由菱形的对边得
∴，
∴
∵，，，
∴，
∵菱形的对边，
∴，，
∴，
即，又，
∴，
∴
（3）∵，
∴设，则，，
设，则，，
由（2）知，
∴，
∴，
∵，在中，，
在中，，
∴，
联立，解得，
∴，，
∴
20．（八年级下·云南红河·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若菱形的周长为，，求点A到的距离．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，且，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形AEFD是矩形．
（2）解：由题意知：的长为点A到的距离，
四边形是菱形，且周长为，，
，，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
，
，
点A到的距离为．
21．（八年级下·云南红河·期末）如图，在菱形中，对角线交于点交的延长线于点E，交的延长线于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)为中点，连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）四边形是菱形，
．
又，
四边形是平行四边形．
，
．
四边形是矩形．
（2）四边形是矩形，
．
在中，．
四边形是菱形，
．
为中点，
．
22．（八年级下·江西宜春·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长度.
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴ ，
∴ 四边形是矩形；
（2）∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
23．（九年级上·四川达州·开学考试）（1）在菱形中，，．
①如图1，点E，点F分别是，中点，求证：；
②如图2，，点E，点F分别在边，边上，求四边形的面积；
（2）如图3，在菱形中，，点E，点F分别在边，边上，，求四边形的面积．
【答案】（1）①见解析；②；（2）
【详解】（1）①证明：在菱形中，，
∴，，
∴和均为等边三角形，
∴，，
∵点E，点F分别是，中点，
∴，
在和中，
，
∴；
②解：连接，如图所示：
在菱形中，，
∴，
∴和均为等边三角形，
∴，
在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在等边中，过D作于G，如图所示：
在中，，
∴，
∴；
（2）解：连接，过D作于M，作于N，如图所示：
在菱形中，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在四边形中，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
在中，，，则，
∴，
在中，，，，则，
∴．
24．（八年级下·河南新乡·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接，过点B作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）∵，
∴．
∵E是的中点，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设，则，
∵四边形是菱形，
∴．，，
在中，，
则，
解得，
∴，，
∴菱形的面积为．
25．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在菱形中，点M为对角线上一点，连接并延长交于点E，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）∵四边形为菱形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）过点E作于点H，
∵四边形为菱形，且，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
设，则，
在中，，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
26．（九年级上·四川成都·开学考试）如图，矩形中，，，点E，F分别在边，上，且．
(1)如图1，连接，当四边形为菱形时，求的长；
(2)点M，N在对角线上，顺次连接E、M、F、N，当四边形为矩形时，求的长．
【答案】(1)的长为6(2)的长为或
【详解】（1）∵四边形是矩形，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴解得，
∴的长为6．
（2）当时，如图2，作于点G，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，作于点H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
27．（八年级下·云南临沧·期末）如图，在菱形中，点、分别是、上的任意两点，且点与点、都不重合，连接、、，则．
(1)求证：；
(2)当点靠近点时，若，，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：证明：四边形是菱形，，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）作于点，则，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积是．
28．（九年级下·江西吉安·期末）如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当的值为多少时，四边形是矩形，并说明理由．
【答案】(1)见详解(2)10，理由见详解
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，，
又∵点是边的中点
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当的值为10时，四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
29．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点，，将四边形绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形，此时边与边交于点P，边与的延长线交于点Q，连接．
(1)四边形的形状是___________．
(2)在旋转过程中，当为等腰三角形时，求P点坐标．
(3)在旋转过程中，四边形能否是菱形？若能，请求出此时点P坐标，若不能，请说明理由．
【答案】(1)矩形(2)当为等腰三角形时，点P的坐标为或或
(3)四边形不可能是菱形，理由见解析
【详解】（1）解：∵，，，
∴轴，轴，
∴，
∴四边形为矩形；
故答案为：矩形．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴；
当时，
在中根据勾股定理得：
，
∴，
∴；
当时，过点P作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
∴此时点P的坐标为；
当时，
在中根据勾股定理得：
，
∴；
综上分析可知，当为等腰三角形时，点P的坐标为或或．
（3）解：四边形不可能是菱形，理由如下：
延长交轴于点E，如图所示：
根据解析（2）当时，点P的坐标为，
∴，
∴，
根据旋转可知，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴不可能是菱形．
30．（2023·江苏·中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．
(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是_______；
(2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数；
(3)如图2，在四边形中，，与不平行．四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)是
【详解】（1）解：∵菱形为“可旋四边形”，
则菱形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，
即，
则菱形为正方形，
∵菱形的面积为，
∴菱形的边长是．
故答案为：．
（2）解：连接，如图：
∵四边形为“可旋四边形”，且点是四边形的一个“旋点”，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，
∴．
（3）解：四边形是“可旋四边形”；理由如下：
分别作，的垂直平分线，交于点，连接，，，，如图：
∵点在线段和线段的垂直平分线上，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
则，
即，
∴四边形是“可旋四边形”．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.3 菱形的性质专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2024·广东湛江·一模）如图，菱形对角线交于点，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，菱形中，是对角线，分别为边，的中点，连接，交于点G．
(1)求证；
(2)若，，则的长为 ．
3．（九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，菱形的面积为10，求的长．
4．（2024·新疆·一模）已知如图，在中，点E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于G．
(1)求证：；
(2)若四边形是菱形，求证：四边形是矩形．
5．（2024·湖南长沙·三模）如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形为矩形：
(2)连接．若，求菱形的面积．
6．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
7．（八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知：如图，菱形对角线交于点，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)在矩形中，，，求菱形的面积．
8．（九年级上·贵州毕节·期末）如图，过菱形的顶点A作于点E，延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
9．（2023·江苏盐城·一模）如图，在矩形中，点分别在上，直线分别交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，，，求的长．
10．（八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，矩形中，，．，分别是边，上的点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，求菱形的边长．
11．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若菱形的边长为，面积为，求四边形的周长．
12．（九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，是菱形对角线的交点，，.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的周长.
13．（2024九年级下·广西·专题练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，过点D作对角线的垂线交的延长线于点E．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的周长．
14．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，在菱形中，过点A作于点E，延长至，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
15．（九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，已知四边形是菱形，点E，F在对角线上，．
(1)求证：；
(2)如图2，若，点E为的中点，连接交于点O，连接并延长交于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段．
16．（九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求菱形的面积．
17．（九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形为菱形，，，求四边形的面积．
18．（九年级上·辽宁本溪·阶段练习）菱形中，，点E、F分别是边、边上的点，连接、、．
(1)如图1，若点E、F分别是边、边上的中点，则是______三角形；
(2)如图2，若，求证：是等边三角形；
(3)如图3，若，（2）中的结论是否成立 如果成立，请证明；如果不成立．请说明理由．
19．（九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形中，，，平分
(1)如图1，求证：四边形是菱形
(2)如图2，点、分别在边、上，连接、交于点，若，求证：
(3)如图3，在（2）的条件下，，，，求的长.
20．（八年级下·云南红河·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若菱形的周长为，，求点A到的距离．
21．（八年级下·云南红河·期末）如图，在菱形中，对角线交于点交的延长线于点E，交的延长线于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)为中点，连接，若，求的长．
22．（八年级下·江西宜春·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长度.
23．（九年级上·四川达州·开学考试）（1）在菱形中，，．
①如图1，点E，点F分别是，中点，求证：；
②如图2，，点E，点F分别在边，边上，求四边形的面积；
（2）如图3，在菱形中，，点E，点F分别在边，边上，，求四边形的面积．
24．（八年级下·河南新乡·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接，过点B作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
25．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在菱形中，点M为对角线上一点，连接并延长交于点E，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求的值．
26．（九年级上·四川成都·开学考试）如图，矩形中，，，点E，F分别在边，上，且．
(1)如图1，连接，当四边形为菱形时，求的长；
(2)点M，N在对角线上，顺次连接E、M、F、N，当四边形为矩形时，求的长．
27．（八年级下·云南临沧·期末）如图，在菱形中，点、分别是、上的任意两点，且点与点、都不重合，连接、、，则．
(1)求证：；
(2)当点靠近点时，若，，求的面积．
28．（九年级下·江西吉安·期末）如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当的值为多少时，四边形是矩形，并说明理由．
29．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点，，将四边形绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形，此时边与边交于点P，边与的延长线交于点Q，连接．
(1)四边形的形状是___________．
(2)在旋转过程中，当为等腰三角形时，求P点坐标．
(3)在旋转过程中，四边形能否是菱形？若能，请求出此时点P坐标，若不能，请说明理由．
30．（2023·江苏·中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．
(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是_______；
(2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数；
(3)如图2，在四边形中，，与不平行．四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由．
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