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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.4 菱形的判定专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
2．（八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，为矩形的对角线，按要求完成下列各题．
(1)用直尺和圆规作出的垂直平分线，分别交于点，垂足为．（不写作法，仅保留作图痕迹）；
(2)连接和．求证：四边形是菱形；
3．（九年级下·北京·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
4．（八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点E、O、F，连接和．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求菱形的周长．
5．（八年级下·山东东营·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
6．（九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当时，判断四边形的形状，并说明理由．
7．（2024·湖南永州·一模）如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作分别交、边于点E、F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．
8．（2023·云南红河·二模）如图，在矩形中，，，过对角线的中点O的直线分别交边边于点E，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求四边形的面积．
9．（八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠；顶点落到点处，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图2，为的中点，的延长线交于，连接，
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长．
10．（2023·江苏盐城·二模）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，以为边作矩形，连接，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
11．（八年级下·全国·随堂练习）如图，等腰中，，D为上一点，连结，在线段上任取一点P（点A除外），过点P作，分别交于点E和点F，Q为上一点，连结、，，．
(1)求证：①四边形为菱形；
②；
(2)当点P在什么位置时，？
(3)当点P在什么位置时，菱形的面积为四边形面积的三分之一？
12．（2023·西藏·二模）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在线段和线段的延长线上，且，连接，．
(1)求证：
(2)连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
13．（九年级上·山东青岛·期中）已知：如图1，四边形是平行四边形，点、在对角线所在直线上，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接、，若平分，四边形是什么特殊的四边形 请说明理由．
14．（八年级上·重庆渝中·期末）如图，在直角中，是边上一点，连接为的中点，过作交延长线于，且平分，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)连接交于，求的度数．
15．（九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线分别交边、于点、，连接、．
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并证明；
(3)若，求的长．
16．（八年级下·广西桂林·期中）如图，矩形中，，，过对角线的中点O的直线分别交与点E，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求当等于何值时，四边形是菱形？
17．（2024八年级下·全国·专题练习）在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)若，求菱形的面积．
18．（九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，过点D作，交于点G，连接交于点O．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长．
19．（九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在矩形中，点分别在边上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若，，请写出所有与（除外）长度相等的线段．
20．（九年级上·甘肃兰州·期末）如图，矩形中，点为边上任意一点，连接，点为的中点，过点作，与、分别相交于点、，连接、．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，当时，求的长．
21．（八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求证四边形是矩形；
(3)当满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论．
22．（八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边，分别相交于点，，（点不与点，重合）．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当旋转角______时，平行四边形是菱形；满足______条件时，平行四边形是矩形；
(3)当四边形是菱形，连接，若，，求的面积．
23．（九年级上·陕西西安·期中）如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积．
24．（九年级上·广东河源·期末）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，且，，求四边形的面积．
25．（九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，点分别在上，且．
(1)请从以下三个条件：①是的中点，②平分，③中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，若，求菱形的面积．
26．（九年级上·湖南长沙·期中）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，，连接、．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的周长．
27．（八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平行四边形中，，点E、F分别是的中点，过点A作，交的延长线于点G．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)请判断四边形是什么特殊四边形？ 并加以证明；
(3)若，求四边形的面积．
28．（九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，连接，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)点O是的中点，连接并延长交于点H，若，，求的长．
29．（九年级上·安徽淮南·阶段练习）在中是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，.
(1)如图1，若平分，求证：；
(2)如图2，若，，求的长；
(3)如图3，已知点和边上的点满足，.连接，求证：．
30．（九年级上·四川成都·阶段练习）如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.4 菱形的判定专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)四边形是菱形，见解析(2)．
【详解】（1）四边形是菱形，
理由： ，平分，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
，
四边形是菱形；
（2）平分，，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的长为．
2．（八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，为矩形的对角线，按要求完成下列各题．
(1)用直尺和圆规作出的垂直平分线，分别交于点，垂足为．（不写作法，仅保留作图痕迹）；
(2)连接和．求证：四边形是菱形；
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：如图，直线即为所作，
；
（2）证明：垂直平分线段，
，，
四边形为矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
3．（九年级下·北京·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，则，
又∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
由勾股定理可得：，
∵，
在中，，
在中，，
∴，即：，
解得：．
4．（八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点E、O、F，连接和．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求菱形的周长．
【答案】(1)见解析(2)20
【详解】（1）证明：是的垂直平分线，
，，
∵四边形是矩形，
，
，
在和中，
；
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：设，
是的垂直平分线，
，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得．
，
∴菱形的周长为20．
5．（八年级下·山东东营·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)3
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
设长为x，则，
在中，，
即，
解得：，
∴．
6．（九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当时，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)四边形是菱形，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形AGFE是菱形，理由如下：
连接，交于点，
由（）得，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴平行四边形是菱形．
7．（2024·湖南永州·一模）如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作分别交、边于点E、F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形
∴
∴
∵点是的中点
∴
在和中
∴
∴
已知
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形
∴
∵四边形是菱形
∴
设菱形的边长为，
则，
在中
即
解得
所以菱形的边长为．
8．（2023·云南红河·二模）如图，在矩形中，，，过对角线的中点O的直线分别交边边于点E，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）
证明：∵四边形是矩形
∴
∴
∵O是的中点
∴
在和中，
∴
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）
∵
∴四边形是菱形
设，则
∴，
∵四边形是矩形
∴，
在中，勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴．
9．（八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠；顶点落到点处，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图2，为的中点，的延长线交于，连接，
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)①四边形是菱形，证明见解析；②；
【详解】（1）证明：根据折叠，，
四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）①结论：四边形是菱形．
理由：四边形是矩形，
，
，
∴，
又为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
由（1）得：，
四边形是菱形；
②，，，
．
．
设，
，
在直角中，
，即，
解得，即，
，
．
10．（2023·江苏盐城·二模）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，以为边作矩形，连接，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
11．（八年级下·全国·随堂练习）如图，等腰中，，D为上一点，连结，在线段上任取一点P（点A除外），过点P作，分别交于点E和点F，Q为上一点，连结、，，．
(1)求证：①四边形为菱形；
②；
(2)当点P在什么位置时，？
(3)当点P在什么位置时，菱形的面积为四边形面积的三分之一？
【答案】(1)①见解析，②见解析；(2)点P为的中点；(3)点P为靠近点E的三等分点时．
【详解】（1）证明：①∵，
∴．
在和中，
∴≌，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形．
②由①知，四边形为菱形，
∴平分，
又∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴．
（2）解：当点P为的中点时，，
由（1）得，．
当点P为的中点时，．
在和中，
∴≌，
∴．
（3）解：点P为靠近点E的三等分点时，
，
如答图，过点E作于点N，
当时，
则．
12．（2023·西藏·二模）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在线段和线段的延长线上，且，连接，．
(1)求证：
(2)连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)四边形是菱形，理由见解析
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
又，，
，
在和中
（）
（2）四边形是菱形
理由如下：
如图，连接，，
由（1）得
，
四边形是平行四边形
当平分时，
又，
，
，
，
为等腰三角形
∴
平行四边形是菱形．
13．（九年级上·山东青岛·期中）已知：如图1，四边形是平行四边形，点、在对角线所在直线上，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接、，若平分，四边形是什么特殊的四边形 请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)四边形是菱形，理由见解析
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
如图，连接交于点，
，
，，
∴，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
14．（八年级上·重庆渝中·期末）如图，在直角中，是边上一点，连接为的中点，过作交延长线于，且平分，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)连接交于，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，
又平分，
，
∵，
，
，
又是平行四边形，
四边形是菱形；
（2）∵平分，
，
∵，
，
又为中点，，
∴，
∴，
，
．
15．（九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线分别交边、于点、，连接、．
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并证明；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)四边形为菱形，理由见解析(3)
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴．
∴，．
∵点为线段的中点，
∴．
在和中
，
∴．
（2）四边形为菱形，理由如下：
∵，
∴．
又，
∴四边形为平行四边形．
又，
∴四边形为菱形．
（3）设，则．
根据题意可知
，．
在中，，
即．
解得．
则．
所以，．
所以，．
16．（八年级下·广西桂林·期中）如图，矩形中，，，过对角线的中点O的直线分别交与点E，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求当等于何值时，四边形是菱形？
【答案】(1)见解析(2)当时，四边形为菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，点O为对角线的中点，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形即为菱形．
设，则，
在中，，即，
解得：，
∴当时，四边形为菱形．
17．（2024八年级下·全国·专题练习）在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)若，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析(2)24
【详解】（1）证明：∵，D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵平行四边形是菱形，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴．
18．（九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，过点D作，交于点G，连接交于点O．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)①四边形是菱形，理由见解析；②
【详解】（1）证明：根据折叠，，，
四边形是矩形，
，，
，，
在和中，
，
；
（2）解：①结论：四边形是菱形．
理由：四边形是矩形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：②，，
．
．
设，
．
在直角中，
，即，
解得，即，
．
19．（九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在矩形中，点分别在边上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若，，请写出所有与（除外）长度相等的线段．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故与 (除外) 长度相等的线段是．
20．（九年级上·甘肃兰州·期末）如图，矩形中，点为边上任意一点，连接，点为的中点，过点作，与、分别相交于点、，连接、．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，当时，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)5
【详解】（1）证明：矩形中，，
，，
点为的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
于点，，
，
四边形为菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
的长为5．
21．（八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求证四边形是矩形；
(3)当满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)当时，四边形是菱形，证明见解析
【详解】（1）证明：，
．
在和中
，
．
．
是中线，
，
．
又，
四边形为平行四边形；
（2），是中线，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
（3）当时，四边形是菱形．
证明：，是边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
22．（八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边，分别相交于点，，（点不与点，重合）．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当旋转角______时，平行四边形是菱形；满足______条件时，平行四边形是矩形；
(3)当四边形是菱形，连接，若，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)，(3)6
【详解】（1）证明：矩形对角线的中点为，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
又∵，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形是平行四边形，
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得：当时，四边形是菱形，即；根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，当时，四边形是矩形，
故答案为：，；
（3）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
，
在中，，
，，
，
，
解得，
的面积为．
23．（九年级上·陕西西安·期中）如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
24．（九年级上·广东河源·期末）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，且，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
在中，由勾股定理得：
，
，
四边形为菱形．
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
，
，
．
25．（九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，点分别在上，且．
(1)请从以下三个条件：①是的中点，②平分，③中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，若，求菱形的面积．
【答案】(1)选择条件③，证明见详解(2)
【详解】（1）证明∶选择条件③
四边形是平行四边形，
即
四边形是平行四边形；
平行四边形是菱形．
（2）连接，如图：
，
，
由（1）可得：，
，
，
．
26．（九年级上·湖南长沙·期中）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，，连接、．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析(2)20
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
，则，
∴四边形的周长为．
27．（八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平行四边形中，，点E、F分别是的中点，过点A作，交的延长线于点G．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)请判断四边形是什么特殊四边形？ 并加以证明；
(3)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)四边形是矩形，见解析(3)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，且点E、F分别是的中点，
∴
∴四边形是平行四边形，
又，，
∴是等边三角形，即，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形；证明如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵为菱形对角线，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（3）解：在中，，
∵，，
∴，
解得 ，
∵四边形是菱形，四边形是矩形，
∴．
28．（九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，连接，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)点O是的中点，连接并延长交于点H，若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)3
【详解】（1）证明：的垂直平分线为，
，，
，
，
，，
，
，
又，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴
∴
∴
连接，
是的中点，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
29．（九年级上·安徽淮南·阶段练习）在中是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，.
(1)如图1，若平分，求证：；
(2)如图2，若，，求的长；
(3)如图3，已知点和边上的点满足，.连接，求证：．
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【详解】（1）证明：如图，与交于点，
∵ 平分，
∴，
又∵是绕点旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是直角三角形，，
∴，
∴；
（2）解：∵是斜边的中点，，
∴，
∴，
在中，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：；
（3）证明：如图，延长，交于点，则，
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵是的中点，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形．
∴．
∵，
∴，，
∴（），
∴，
即点是斜边的中点．
∴．
30．（九年级上·四川成都·阶段练习）如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)3
【详解】（1）解：证明：平分，
，
，
，
，且，
，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形；
（2），，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
的长为3．
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