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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.6 正方形的判定专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线交于点， 点是对角线所在直线上两点，且，连接，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）
证明：∵菱形的对角线和交于点，
又
∴四边形是菱形，
∴四边形是正方形．
（2）
解：∵正方形的面积为，
∵
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积
在中，
设点到线段的距离为，
∴菱形的面积
即
，
∴即点到线段的距离为．
2．（八年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)1
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
∵，
∴四边形是正方形．
（2）∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴(舍去负值)，
∴四边形的面积为．
3．（2024·云南昆明·一模）如图，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到（点的对应点为点，延长交于点．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析(2)4
【详解】（1）解：四边形是正方形．
四边形是正方形，
．
由旋转可知，
，，，
，
即．
又，
，，
四边形为矩形．
又，
四边形为正方形．
（2）由（1）知，
四边形为正方形，
则令正方形的边长为，
，．
在中，
，
，
，
，
．
4．（九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到（点的对应点为点），延长交于点．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求的长．
【答案】(1)四边形是正方形．理由见解析(2)4
【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下：
是由绕点逆时针方向旋转得到的，
，
又，
，
，
四边形是矩形，
由旋转可知，
四边形是正方形．
（2）四边形是正方形，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
或（舍去），
，
，
，
．
5．（九年级上·江西南昌·期末）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以和为邻边作矩形．
(1)猜想：，的位置关系是 ；
(2)求证：．
【答案】(1)(2)证明详见解析
【详解】（1）解：，
如图，作于点，于点，
，
正方形中，
，，平分，
四边形为正方形，
，，
矩形中，，
，
则，
即，
和中
，
，
矩形是正方形，
，，
，
则，
即，
和中，
，
，
等腰直角中有，
，
即，．
（2）解：如图，作于点，于点，
，
正方形中，
，，平分，
四边形为正方形，
，，
矩形中，，
，
则，
即，
和中，
，
，
矩形是正方形，
，，
，
则，
即，
和中，
．
6．（九年级上·四川成都·期末）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形：
(2)若正方形的面积为72，，求点F到线段的距离．
【答案】(1)见解析(2)点F到线段的距离为
【详解】（1）∵菱形的对角线和交于点O，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）∵正方形的面积为72，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴菱形的面积，
∴，
∴，
在中，，
设点F到线段的距离为h，
∴，
即，
∴．
即点F到线段的距离为．
7．（九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，正方形的边长为5，点E为正方形边上一动点，过点B作于点P，将绕点A逆时针旋转得，延长BP交于点F，连接．
(1)判断四边形的的形状，并说明理由；
(2)若，求的长度；
(3)在（2）的条件下，求．
【答案】(1)四边形是正方形(2)(3)
【详解】（1）四边形是正方形．
理由如下：
由绕点A逆时针旋转得
可得：，
∵，，，
在正方形中，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）设，由（1）知，
在中，
∵，
∴，
解得（不符合题意，舍去），，
∴；
（3）过点C作于点G．
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
8．（九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在正方形中，，M为对角线上任意一点（不与B、D重合），连接，过点M作，交线段于点N．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【详解】（1）证明：如图，过M分别作交于E，交于F，
则四边形是平行四边形，
四边形是正方形，
，
，
平行四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
证明：由（1）得，
，
，
，
．
9．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）如图四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)若，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析(2)(3)或
【详解】（1）证明：如图1，作于，于，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
矩形是正方形；
（2）解：如图2中，在中．
∵
∴，
，
，
点C与F重合，此时是等腰直角三角形，．
（3）解：①当与的夹角为时，点在边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：，
②当与的夹角为时，点在的延长线上，，如图3所示：
，，
，
综上所述，或．
10．（九年级上·四川达州·阶段练习）已知：如图①，四边形是正方形，点E在边上，点F在边上，且，连接，记交点为P．
(1)求证：；
(2)如图②，对角线与交于点O，分别与交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接，若， ，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）解： ∵四边形是正方形，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴；
（3）解：过点O作于M，作于N，如图所示，
则，
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，，
∴正方形的边长为：
．
11．（22-23八年级下·福建莆田·期末）在正方形中，点为边上一动点，点关于的对称点为，连接．
(1)如图1，连接，当时，求证： ：
(2)如图2，延长，交于点，连接．
①求的度数：
②用等式表示与之向的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析(2)①；②，证明见解析
【详解】（1）证明：如图所示，设交于点，连接，
∵点关于的对称点为，
∴，，，
又∵，则
∴
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴
（2）①如图所示，过点作于点，
依题意，点关于的对称点为，
∴，
∴
设，则，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，则
又∵关于对称，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，
点与点关于直线对称，，
，
是等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
在中，，
又，
∴
连接，则，
∴四边形是菱形，
又，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴即．
12．（九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：∵矩形，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∵平分，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
由（1）知，四边形是正方形；
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
所以．
13．（九年级上·陕西西安·期中）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以和为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：，，三条线段的长度之间是否存在某种固定的数量关系？若存在，请写出其中的关系式，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【详解】（1）证明：过点作于点，作于点， 如图所示：
四边形为正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
又，
∴在和中，
，
，
，
矩形为正方形．
（2）解：，理由如下：
矩形为正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
．
14．（2023·广东惠州·一模）如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接．
(1)证明：．
(2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析(2)四边形是正方形，理由见解析(3)
【详解】（1）证明：由题意和旋转的性质可得：，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，即：，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
由（1）得：，且，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（3）解：∵正方形的边长为，
∴，
设正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
∴线段的长度为．
15．（九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点．
(1)试判定四边形的形状，并说明理由；
(2)已知，求的长．
【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析(2)23
【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
∵将绕A点逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：在正方形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
由旋转的性质得：，
设，
则，，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
16．（八年级下·广东江门·期中）如图，四边形是正方形，M是边上的点，N是边上的点，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析(2)12
【详解】（1）证明：如图，将绕点D逆时针旋转，使与重合，点M落在点H处，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
即，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
设正方形边长为，则，，
在中，，
即，
解得，（舍去），
正方形的边长为12．
17．（九年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践
问题情境：如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点）．延长交于点，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求的长．
【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析(2)
【详解】（1）结论：四边形是正方形，
理由：∵是由绕点B按顺时针方向旋转得到的，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由旋转可知：，
∴四边形是正方形；
（2）过E点作于H点，于G点，如下图，则，
四边形为正方形，
，
设，则，
在中，
，
，
解得（舍去），
，
绕点B按顺时针方向旋转，得到，
，
，
，
在中，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
即的长为．
18．（八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，在中，，平分，于点交于点，延长至使，连接．
(1)证明：四边形是矩形；
(2)当时，猜想线段、、的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析(2)，见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）猜想：
证明：如图，延长至使，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
19．（八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，直角梯形中，为边上的中点，过作，交边于，是边上一点，且有，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：如图，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
为边上的中点，
，
；
（2）证明：如图，过点作的垂线，垂足为点，延长和交于点，
，
，，
四边形是正方形，
，
为边上的中点，，
为边上的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
20．（八年级下·海南海口·阶段练习）如图，矩形中，，，是中点，点在边上，且，连接并延长交线段的延长线于点．过点作于点，交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)17
【详解】（1）解：证明：四边形是矩形，
，，
，
是中点，
，
由和中，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于，
又，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形；
（3），
，
，，
，
的面积．
21．（八年级下·陕西渭南·期末）在正方形中，点为射线上一点，连接，过点作交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图，当点在线段上时．
求证：矩形是正方形；
求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，正方形的边长为，，请直接写出的长．
【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析；(2)．
【详解】（1）证明：作于于，
∵在正方形中，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形矩形，，
∴四边形是正方形，
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）同（）理，四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，）
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
22．（九年级上·安徽宿州·期中）在中，平分交于点，过点作交于点．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，，是的中点，连接，，．
①求证：；
②当，时，求OC的长．
【答案】(1)见解析(2)①见解析，②1
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，即．
，
四边形是平行四边形．
，．
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）①证明：四边形是平行四边形，
．
又四边形是菱形，，
四边形是正方形，
，．
，．
是的中点，，
，，
又，
，
．
在和中，
，
．
②解：四边形是菱形，，
四边形是正方形，
，，．
，
．
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，，
．
又，
是等边三角形，
．
23．（八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中，点P在边上，延长至E，使得，平分，交于点N，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)直接写出三者之间的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）过点B作，垂足分别为J、K，
，
设，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
过点C作，垂足分别为R、T，
同（2）可证，，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴
24．（八年级下·河南周口·期末）如图，在正方形中，是对角线，于点，于点，于点．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)若，求正方形的面积．
【答案】(1)见解析(2)4
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴正方形的面积．
25．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)求证：；
(3)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：过点E作于点Q，作于点P，如图所示：
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为菱形，
∵，
∴四边形为正方形．
（2）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
26．（八年级下·吉林松原·期中）如图，边长为4的菱形的对角线与相交于点O，若．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)E是上一点，，且，垂足为H，与相交于点F，求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴,
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴．
∵，垂足为H，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵,
∴，
∴．
∵，
∴．
27．（八年级下·安徽铜陵·期末）如图，点为正方形内一动点，．过点作，且，连接，．
(1)求证：；
(2)延长交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，若点在运动过程中，存在四边形为平行四边形，试探究此时、满足的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
又，
，
；
（2）证明：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
；
（3）解：．理由如下：
如图，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
四边形是正方形，四边形为平行四边形，
，
又，
，
，
，
．
28．（九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）四边形为矩形，E是延长线上的一点．
(1)若，如图1，求证：四边形为平行四边形；
(2)若，点F是上的点，，于点G，如图2，求证：是等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
又∵，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
，
∴是等腰直角三角形．
29．（八年级下·辽宁大连·期末）在矩形中，点F，H是边上的点，点E是边上的点，且，．连接，，，连接交于点P．
(1)如图1，求证：①；②
(2)如图2，连接交于点Q，连接．探究，的数量关系并证明．
【答案】(1)①见详解；②见详解(2)，证明见详解
【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②连接，交于点Q,
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
连接，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
30．（八年级下·山东临沂·期末）已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)若正方形的边长为，，求正方形的边长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：如图，作于，于，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵点是对角线上的点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴矩形是正方形；
（2）解：连接，设正方形的边长为，
∵四边形和四边形都是正方形，正方形的边长为，
∴，，
，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴正方形的边长为．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.6 正方形的判定专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线交于点， 点是对角线所在直线上两点，且，连接，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离．
2．（八年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，求四边形的面积．
3．（2024·云南昆明·一模）如图，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到（点的对应点为点，延长交于点．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
4．（九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到（点的对应点为点），延长交于点．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求的长．
5．（九年级上·江西南昌·期末）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以和为邻边作矩形．
(1)猜想：，的位置关系是 ；
(2)求证：．
6．（九年级上·四川成都·期末）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形：
(2)若正方形的面积为72，，求点F到线段的距离．
7．（九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，正方形的边长为5，点E为正方形边上一动点，过点B作于点P，将绕点A逆时针旋转得，延长BP交于点F，连接．
(1)判断四边形的的形状，并说明理由；
(2)若，求的长度；
(3)在（2）的条件下，求．
8．（九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在正方形中，，M为对角线上任意一点（不与B、D重合），连接，过点M作，交线段于点N．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
9．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）如图四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)若，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
10．（九年级上·四川达州·阶段练习）已知：如图①，四边形是正方形，点E在边上，点F在边上，且，连接，记交点为P．
(1)求证：；
(2)如图②，对角线与交于点O，分别与交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接，若， ，求的长．
11．（八年级下·福建莆田·期末）在正方形中，点为边上一动点，点关于的对称点为，连接．
(1)如图1，连接，当时，求证： ：
(2)如图2，延长，交于点，连接．
①求的度数：
②用等式表示与之向的数量关系，并证明．
12．（九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
13．（九年级上·陕西西安·期中）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以和为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：，，三条线段的长度之间是否存在某种固定的数量关系？若存在，请写出其中的关系式，并说明理由．
14．（2023·广东惠州·一模）如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接．
(1)证明：．
(2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，求线段的长度．
15．（九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点．
(1)试判定四边形的形状，并说明理由；
(2)已知，求的长．
16．（八年级下·广东江门·期中）如图，四边形是正方形，M是边上的点，N是边上的点，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求正方形的边长．
17．（九年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践
问题情境：如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点）．延长交于点，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求的长．
18．（八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，在中，，平分，于点交于点，延长至使，连接．
(1)证明：四边形是矩形；
(2)当时，猜想线段、、的数量关系，并证明．
19．（八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，直角梯形中，为边上的中点，过作，交边于，是边上一点，且有，．
(1)求证：；
(2)求证：．
20．（八年级下·海南海口·阶段练习）如图，矩形中，，，是中点，点在边上，且，连接并延长交线段的延长线于点．过点作于点，交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)求的面积．
21．（八年级下·陕西渭南·期末）在正方形中，点为射线上一点，连接，过点作交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图，当点在线段上时．
求证：矩形是正方形；
求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，正方形的边长为，，请直接写出的长．
22．（九年级上·安徽宿州·期中）在中，平分交于点，过点作交于点．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，，是的中点，连接，，．
①求证：；
②当，时，求OC的长．
23．（八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中，点P在边上，延长至E，使得，平分，交于点N，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)直接写出三者之间的数量关系．
24．（八年级下·河南周口·期末）如图，在正方形中，是对角线，于点，于点，于点．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)若，求正方形的面积．
25．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)求证：；
(3)连接，若，，求的长．
26．（八年级下·吉林松原·期中）如图，边长为4的菱形的对角线与相交于点O，若．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)E是上一点，，且，垂足为H，与相交于点F，求线段的长．
27．（八年级下·安徽铜陵·期末）如图，点为正方形内一动点，．过点作，且，连接，．
(1)求证：；
(2)延长交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，若点在运动过程中，存在四边形为平行四边形，试探究此时、满足的数量关系．
28．（九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）四边形为矩形，E是延长线上的一点．
(1)若，如图1，求证：四边形为平行四边形；
(2)若，点F是上的点，，于点G，如图2，求证：是等腰直角三角形．
29．（八年级下·辽宁大连·期末）在矩形中，点F，H是边上的点，点E是边上的点，且，．连接，，，连接交于点P．
(1)如图1，求证：①；②
(2)如图2，连接交于点Q，连接．探究，的数量关系并证明．
30．（八年级下·山东临沂·期末）已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)若正方形的边长为，，求正方形的边长．
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