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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.5 正方形的性质专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（九年级下·湖南常德·阶段练习）如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点， 且，连接．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形的周长为，且，求正方形的边长．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析(2)
【详解】（1）四边形是菱形，
证明：连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：由（1）知：四边形是菱形，四边形是正方形，
四边形的周长为，，，，
，，
，即，
，
，
正方形的边长．
2．（八年级下·福建福州·开学考试）如图，正方形中，，在边的左侧作等腰，使得，连接，，过点作，垂足为，垂线与的一边交于点．
(1)求证：为等腰直角三角形；
(2)求证：E、F、B三点共线；
(3)当时，求的面积．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)
【详解】（1）
证明：，，
，
，
，，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形；
（2）
证明：如图，连接，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
、、三点共线；
（3）
解：过点作于点，连接，
四边形为正方形，
，，
，
由（1）知，，，
在中，，
，
，
，
，，
，
在 中，，
．
3．（八年级下·山东济宁·阶段练习）已知：如图，正方形中，是边上一点，，，垂足分别是点、．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）
证明：∵四边形为正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中
，
，
，
；
（2）
解：，
，，
，，
∴，
，
．
4．（八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形的对角线交于点，点是线段上一点，连接，作于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，是的角平分线，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：如图，
正方形中，、相交于，
，，
，
，则，
，
，
，
；
（2）解：是的角平分线，
，
，，
∴，
，
四边形是正方形，
∴，，
设为，
∵，
即，
解得，
即，
∵，
，
，
．
5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，且．
(1)求证：；
(2)作的平分线交的延长线于G，连接．探究，与的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明过程见详解；(2)，证明过程见详解。
【详解】（1）证明：延长至G，使，连接，如图1，
∵四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点G作于H，如图2，
由（1）中，
平分，
，
，
，即，
而，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
而，
，
在和中，
，
，
，，
而，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
.
6．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形中，点是上一点，点是上一点，．
(1)如图1，若，求的面积．
(2)如图2，求证：．
【答案】(1)1(2)见解析
【详解】（1）
解：如图，延长至，使，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，，，
，
，，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
的面积；
（2）
证明：将绕着点按顺时针方向旋转，得，
则，，，
四边形是正方形，
，
，
，
、、在一直线上，
，
，
又，
，
，
．
7．（2024九年级下·广东·专题练习）如图1，在边长为4的正方形中，将绕点A逆时针旋转）得到，射线与的平分线相交于F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)如图2，在旋转的过程中，猜想与之间的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)见解析(2)(3)，证明见解析
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
（2）过点A作于点G，
∵平分，
∴，
在正方形中，，，，
∵，
∴，
∴，
在中，
，，
，
∴，
∴，
∴，
（3）
证明如下：设，，则，
∵平分，平分
∴，
，
∴，
∴，
，，
在中，，
，
∴．
8．（八年级下·广东江门·阶段练习）如图，点在正方形对角线上，连接，点为上一点，连接，交于点．连接，若．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)经探究，、、三条线段满足某种数量关系，请直接写出它们之间的关系式．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：在正方形中，，平分，
在和中，
．
（2）证明：，
，，，
，
；
，
，
设
，
，
，
，
，
（3）结论：，
将绕点C逆时针旋转到位置，连接，
由旋转性质可得：，，，，
由②得，
，
，
，
，
，
，
9．（九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，点M，N分别在正方形的边上，且．把绕点A顺时针旋转得到．
(1)求证：．
(2)若，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析(2)6
【详解】（1）解：由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，或（舍弃），
∴正方形的边长为6．
10．（九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，四边形是正方形，绕着点A顺时旋转得到，若
(1)求的长度；
(2)指出与的数量关系、位置关系？并说明由．
【答案】(1)3(2)，理由见详解
【详解】（1）解：∵按顺时针方向旋转90°后得到
∴
∴；
（2）解：的关系为：．理由如下：
延长交于一点H
∵按顺时针方向旋转90°后得到
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∴，
∴的关系为：
11．（八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在正方形中，点E（与点B、C不重合）是边上一点，将线段绕点E顺时针旋转90°到，过点F作的垂线交的延长线于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求边之长．
(3)试判别的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)(3)等腰直角三角形，理由见解析
【详解】（1）证明：∵正方形，，
∴，，
∵线段绕点E顺时针旋转90°到，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）∵，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值已舍掉）；
（3）为等腰直角三角形，理由如下：
在上截取，
∵正方形，
∴，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
又，
∴为等腰直角三角形．
12．（八年级下·全国·课时练习）如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且．
(1)求证：；
(2)连接，试判断的度数，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析(2)，见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）．理由如下：
连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
13．（八年级上·江苏泰州·期末）如图，在正方形中，点是边上一点（不与点重合），过点作于点，交延长线于点．
(1)求证：．
(2)点从点向点运动过程中，设，，求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)（）
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
于点，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，即，
点是边上一点（不与点重合），
，
，
与的函数表达式为（）．
14．（九年级上·重庆合川·期末）如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）∵四边形和四边形是正方形，且，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）延长到M，使得，连接，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，.
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴.
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
15．（九年级上·广东茂名·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析(2)为度
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得、、是等腰三角形，设，依题意得
，
解得，
，
为度．
16．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，为边上的点，连结，作的垂直平分线交于，交于，连结．已知．
(1)若正方形的边长为4，求的长．
(2)求证：．
【答案】(1)1.5(2)见解析
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
设，则，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
解得：，
，
的长为；
（2）证明：设与交于点，过点作，垂足为，
，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，
，
，
．
17．（九年级上·湖南常德·开学考试）如图，已知中，，点为边上一动点，四边形是正方形，连接，正方形对角线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴ ，
∴，
∴在中，，
∴；
（3）解：连接，
∵，
∴在中，
，
∵，
∴，
由（1）知，
由（2）知，
在中，，
∵四边形是正方形，
∴．
18．（八年级上·贵州毕节·期末）在正方形中，对角线，交于点，，是上的两点，连接，分别过点，作的垂线，，垂足分别为，．
(1)若，求证：；
(2)若，求证：；
(3)若是的中点，则线段，，之间存在一定的数量关系，请直接写出来．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：四边形是正方形，、为对角线，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）作交的延长线于，如图：
则，
，
四边形是正方形，、为对角线，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
．
（3），理由如下：
作交的延长线于点，如图：
则，
，
由(2)得，
，
连接并延长交于点，连接，
则，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，
．
19．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)过点E作交于点F，延长至点G，使得，连接、．
①依题意补全图形；
②若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②4
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图：
②∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
由（1）得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．（九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，以锐角的边为边向外作正方形和正方形，连接．
(1)试说明与的关系；
(2)图中可以通过一次变换得到，请你说出变换过程（旋转中心、旋转方向、旋转角）．
【答案】(1)相等，见解析
(2)以点A为旋转中心，顺时针旋转即可得到
【详解】（1），理由如下：
∵四边形和四边形均为正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）由图得，旋转角为，
∴以点A为旋转中心，顺时针旋转即可得到．
21．（八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，正方形中，点E，F分别在边，上，，和相交于点G．
(1)观察图形，写出图中所有与相等的角；
(2)猜想：与有什么关系？并证明你的结论．
【答案】(1)，，(2)，见解析
【详解】（1）解：与相等的角有，，；
∵正方形，
∴，，，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴与相等的角有，，；
（2）；
证明：由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（九年级上·云南昭通·期末）正方形的边长为5，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）∵绕点D逆时针旋转，得到，
∴，
∴F、C、M三点共线，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵绕点D逆时针旋转，得到，，
∴，
∵正方形的边长为5，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
即．
23．（八年级·全国·课堂例题）如图所示，两个正方形和，连接与，二者相交于点，连接．求证：
(1)；
(2)；
(3)平分．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析
【详解】（1）证明：四边形和是正方形，
，，，，即，
在与中，
，
，
；
（2）证明：设与交于点，如图12-2-30所示.
由（1）知，，
，
又在与中，，
，即；
（3）解：如图12-2-31所示，过点分别作于点，于点，
，
，
，
又，
，
在与中，
，
，
，
平分．
24．（八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，
四边形是正方形，
，，
将沿折叠，得到，延长交边于点，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：，是边的中点，
，，
，
，
，
，
．
25．（九年级上·山东青岛·期中）已知：正方形，点E是上一点，以点E为圆心作圆，分别交，于点F，G．作，，交于H．延长．作于P．
(1)求证：四边形是菱形
(2)求证：（注：尽可能用数字表示角）
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵以点E为圆心作圆，分别交，于点F，G，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：过点E作，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴．
26．（九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长．
【答案】(1)见解答；(2)
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
是中点，，
．
27．（九年级上·全国·期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．
(1)求证：．
(2)过点作交射线于点．
①求的度数；
②直接写出线段与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）①如图，∵点D与点F关系对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②过点A作点P，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
28．（八年级上·北京西城·阶段练习）四边形是正方形，是等腰直角三角形，，．点为的中点，连接．
(1)如图，若点在边的延长线上，直接写出与的数量关系和位置关系；
(2)将图中的绕点顺时针方向旋转至图所示位置，（）中所得的结论是否仍然成立 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，，证明见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析．
【详解】（1）解：，．
证明：延长交的延长线于， 如图，
∵为的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：()中的结论仍然成立．
理由如下：如图， 延长到，使，连接，设交于，
∵为的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
设，
则 ，，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
29．（九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在正方形中，点、分别在和上，．
(1)与有怎样的数量关系，并说明理由．
(2)连接交于点，延长至点，．使，连接，，判断四边形是什么特殊的四边形，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解(2)四边形是菱形，理由见解析
【详解】（1）四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
（2）四边形是菱形，理由为：
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，又，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
30．（2023九年级上·山东·专题练习）在正方形中，点为射线上一点，连接，过点作交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图，当点在线段上时．
求证：矩形是正方形；
求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，正方形的边长为，，请直接写出的长．
【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析；(2)．
【详解】（1）证明：作于于，
∵在正方形中，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形矩形，，
∴四边形是正方形；
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）同（）理，四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，）
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.5 正方形的性质专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（九年级下·湖南常德·阶段练习）如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点， 且，连接．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形的周长为，且，求正方形的边长．
2．（八年级下·福建福州·开学考试）如图，正方形中，，在边的左侧作等腰，使得，连接，，过点作，垂足为，垂线与的一边交于点．
(1)求证：为等腰直角三角形；
(2)求证：E、F、B三点共线；
(3)当时，求的面积．
3．（八年级下·山东济宁·阶段练习）已知：如图，正方形中，是边上一点，，，垂足分别是点、．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
4．（八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形的对角线交于点，点是线段上一点，连接，作于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，是的角平分线，求的长．
5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，且．
(1)求证：；
(2)作的平分线交的延长线于G，连接．探究，与的数量关系，并证明．
6．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形中，点是上一点，点是上一点，．
(1)如图1，若，求的面积．
(2)如图2，求证：．
7．（2024九年级下·广东·专题练习）如图1，在边长为4的正方形中，将绕点A逆时针旋转）得到，射线与的平分线相交于F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)如图2，在旋转的过程中，猜想与之间的数量关系，并给予证明．
8．（八年级下·广东江门·阶段练习）如图，点在正方形对角线上，连接，点为上一点，连接，交于点．连接，若．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)经探究，、、三条线段满足某种数量关系，请直接写出它们之间的关系式．
9．（九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，点M，N分别在正方形的边上，且．把绕点A顺时针旋转得到．
(1)求证：．
(2)若，求正方形的边长．
10．（九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，四边形是正方形，绕着点A顺时旋转得到，若
(1)求的长度；
(2)指出与的数量关系、位置关系？并说明由．
11．（八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在正方形中，点E（与点B、C不重合）是边上一点，将线段绕点E顺时针旋转90°到，过点F作的垂线交的延长线于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求边之长．
(3)试判别的形状，并说明理由．
12．（八年级下·全国·课时练习）如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且．
(1)求证：；
(2)连接，试判断的度数，并证明你的结论．
13．（八年级上·江苏泰州·期末）如图，在正方形中，点是边上一点（不与点重合），过点作于点，交延长线于点．
(1)求证：．
(2)点从点向点运动过程中，设，，求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
14．（九年级上·重庆合川·期末）如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)求证：．
15．（九年级上·广东茂名·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
16．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，为边上的点，连结，作的垂直平分线交于，交于，连结．已知．
(1)若正方形的边长为4，求的长．
(2)求证：．
17．（九年级上·湖南常德·开学考试）如图，已知中，，点为边上一动点，四边形是正方形，连接，正方形对角线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
18．（八年级上·贵州毕节·期末）在正方形中，对角线，交于点，，是上的两点，连接，分别过点，作的垂线，，垂足分别为，．
(1)若，求证：；
(2)若，求证：；
(3)若是的中点，则线段，，之间存在一定的数量关系，请直接写出来．
19．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)过点E作交于点F，延长至点G，使得，连接、．
①依题意补全图形；
②若，求的长．
20．（九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，以锐角的边为边向外作正方形和正方形，连接．
(1)试说明与的关系；
(2)图中可以通过一次变换得到，请你说出变换过程（旋转中心、旋转方向、旋转角）．
21．（八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，正方形中，点E，F分别在边，上，，和相交于点G．
(1)观察图形，写出图中所有与相等的角；
(2)猜想：与有什么关系？并证明你的结论．
22．（九年级上·云南昭通·期末）正方形的边长为5，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．（八年级·全国·课堂例题）如图所示，两个正方形和，连接与，二者相交于点，连接．求证：
(1)；
(2)；
(3)平分．
24．（八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
25．（九年级上·山东青岛·期中）已知：正方形，点E是上一点，以点E为圆心作圆，分别交，于点F，G．作，，交于H．延长．作于P．
(1)求证：四边形是菱形
(2)求证：（注：尽可能用数字表示角）
26．（九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长．
27．（九年级上·全国·期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．
(1)求证：．
(2)过点作交射线于点．
①求的度数；
②直接写出线段与之间的数量关系．
28．（八年级上·北京西城·阶段练习）四边形是正方形，是等腰直角三角形，，．点为的中点，连接．
(1)如图，若点在边的延长线上，直接写出与的数量关系和位置关系；
(2)将图中的绕点顺时针方向旋转至图所示位置，（）中所得的结论是否仍然成立 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
29．（九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在正方形中，点、分别在和上，．
(1)与有怎样的数量关系，并说明理由．
(2)连接交于点，延长至点，．使，连接，，判断四边形是什么特殊的四边形，并说明理由．
30．（2023九年级上·山东·专题练习）在正方形中，点为射线上一点，连接，过点作交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图，当点在线段上时．
求证：矩形是正方形；
求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，正方形的边长为，，请直接写出的长．
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