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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.7 四边形中动点问题专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（八年级下·江苏扬州·阶段练习）在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形成为矩形？
(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
(3)四边形是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
【答案】(1)(2)或或
(3)四边形不能成为菱形，见解析，点Q的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形．
【详解】（1）∵，，
∴当时，四边形成为矩形，
由运动知，，，
∴，
∴，
解得．
∴当时，四边形成为矩形；
（2）①当时，，
此时，四边形是平行四边形；
②当时，，
此时，四边形是平行四边形时；
③当时，，
此时，四边形为平行四 边形；
综上所述，当或或时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．
（3）四边形不能成为菱形．理由如下：
∵，
∴当时，四边形能成为菱形．
由，得，
解得：，
当时，，，．
在中，，，
根据勾股定理得，，
∴四边形不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为时，能够使四边形在时刻为菱形，
由题意得，
解得：．
故点Q的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形．
2．（八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)运动时间为 秒时，点与点相遇；
(2)求为何值时，是等腰三角形？
(3)用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围；
(4)连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）．
【答案】(1)(2)或或2
(3)当时，；当时，；当时，
(4)的值为或或
【详解】（1）设秒后、相遇．
由题意，
秒，
秒后、相遇．
故答案为；
（2）∵正方形
∴，
当时，此时与重合，；
当时，此时与重合，；
当时，在的垂直平分线上，即为中点，此时；
综上所述，当或或2时，是等腰三角形；
（3）①如图2中，当，点在上时，．
②如图3中，当，点在上时，．
③如图4中，当，点在上时，．
综上所述，．
（4）如图5中，
①当时，，此时，；
②当时，，此时，；
③当时，，此时，；
④当时，，此时与重合，；
综上所述，为或或或时，当以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等．
3．（八年级下·广东中山·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点P从A开始沿边向D以的速度运动；Q从点C开始沿边向B以的速度运动 P 、Q分别从点A 、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
(1)当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长： ， ；
(2)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？
(3)四边形有可能是正方形吗？若可能，求出此时点P的运动时长；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)t ；；
(2)当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形；
(3)可能，当运动时间为8秒时，四边形为正方形．
【详解】（1）解：∵动点P从A开始沿边向D 以的速度运动，
，
∵ Q从点C开始沿边向B以的速度运动，，
∴，
故答案为：t, ；
（2）解：由题意可得：，
，
，
设当运动时间为t秒时,
，
此时四边形为平行四边形．
由得，，
解得，
∴当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形．
（3）解：四边形有可能是正方形，
，
，
设当运动时间t秒时，
四边形为平行四边形．
由得：，
解得：，即，
，
∴平行四边形为菱形，
∵，
∴平行四边形为矩形，
∴平行四边形为正方形，
∴当运动时间为8秒时，四边形为正方形．
4．（八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)用含的式子表示；
(2)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？
【答案】(1)(2)或(3)
【详解】（1）P从A点以向B点运动
时，
；
（2）
Q在上运动时间为
运动时间最长为
时，在边上
此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形是平行四边形，如图所示：
即
只需即可，由（1）知：
以的速度沿折线向终点运动，
运动时间为时，
解得：；
②四边形是平行四边形，如图所示：
同理
只需，四边形是平行四边形
由（1）知，
则
解得：
综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
（3）设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形
只需满足即可
由（1）知：
由（2）知：，
，
解得：，
当Q点的速度为时，四边形为菱形．
5．（八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结．
(1)直接写出点与点重合时的值．
(2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）．
(3)当时，求的值．
(4)当时，直接写出的值．
【答案】(1)5(2)(3)2或(4)4
【详解】（1）解：点Q与点C重合时，
由题意得：，
解得：，
即点Q与点C重合时，t的值为5；
（2）解：当点Q沿运动时，
由题意得：，
∴，
即的长为；
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
分两种情况：
点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：；
②点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
同①得：，
∴，解得：，
综上所述，当时，t的值为2或；
（4）解：分两种情况：
点Q沿运动时，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是等腰梯形，
如图3，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由（3）得：，
∴，解得：；
当点Q沿运动时，
∵，
∴，
当四边形是等腰梯形时，如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由（3）得：，
∴，解得：；
如图，当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：；
综上所述，当时，t的值为4或或．
6．（九年级上·山西运城·期中）综合与探究
如图，在矩形中，，点分别从点出发，沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动．在相同时间内，若，则．
(1)当运动停止时，的值为______．
(2)当为何值时，点重合？
(3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）当点到达点时，，解得：
当点到达点时，，解得：
当点到达点时，，解得：
当点到达点时，，解得：
∵当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动，
∴
故答案为：
（2）解：当点与点重合时，由，得
、（舍去）
所以时点与点重合．
（3）因为当点到达点时，，解得：
此时点和点还未相遇，所以点只能在点的左侧，
①如图1，当点在点的左侧时，由，解得（舍去），；
故当时四边形是平行四边形；
②如图2，当点在点的右侧时，由，解得或（舍去）；
故当时四边形是平行四边形；
综上：当或时四边形是平行四边形．
7．（九年级上·广东河源·期中）如图，矩形中，，点P从点A出发沿向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒．
(1)若点P、Q均以的速度移动，则： ； ．（用含t的代数式表示）
(2)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？
(3)若点P、Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形．
【答案】(1)，(2)经过时，，为等腰三角形(3)经过时，四边形是菱形
【详解】（1）解：∵点P、Q均以的速度移动，
∴．
故答案为 ，．
（2）解：如图：过点P作于点E，
∴，
∵，
∴，
在矩形中，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴当时，，为等腰三角形．
（3）解：在矩形中，，依题知，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
∴，
解得：t＝
∴当时，四边形是菱形．
8．（九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？
(3)（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？
【答案】(1)48(2)当秒或秒(3)（2）中的平行四边形不会是菱形；当速度不变，点速度为每秒个单位长
【详解】（1）解：过点作于，如图1所示：则四边形为矩形．
∴，
∵，
∴的面积．
把代入得：的面积；
（2）∵，
当时，以，为顶点的四边形为平行四边形时，当点在点右侧时，
解得：，
当点在点左侧时，，
∴，
解得：；
综上所述，当秒或秒时，以为顶点的四边形为平行四边形；
（3）（2）中的平行四边形不会是菱形；
理由如下：
作于，如图2所示：
则四边形是矩形，
当时，（2）中的平行四边形是菱形，
由，则；
由，则；
∴（2）中的平行四边形不会是菱形；
当速度不变，设点速度为每秒个单位长，
则，
解得：，
即当速度不变，点速度为每秒个单位长时，（2）中的平行四边形是菱形．
9．（八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．
(1)的长为______；
(2)用含的代数式表示线段的长；
(3)连接，
①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
【答案】(1)10(2)或(3)①不存在，理由见解析；②存在，(4)或2
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
故答案为：10；
（2）由题意得：，
当点在线段上时，；
当点在线段延长线上时，；
综上所述，线段的长为或；
（3）①不存在，理由如下：
如图1，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，，
，
解得：，不符合题意舍去；
②存在，理由如下：
如图2，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
存在的值，使得与互相平分，的值为；
（4）分两种情况：
①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，如图3，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，如图4，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
综上所述，的值为或2．
10．（九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B匀速运动，点Q以的速度向终点D匀速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
(1)当时，四边形面积是多少
(2)当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
【答案】(1)(2)当的值为或或时，以点P、Q、D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
∵在矩形中，，
∴，，
，．
当时，，，
，
．
（2）解：作于点E，
则四边形是矩形，
，，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
点，，为顶点的三角形是等腰三角形，，
①当时，即：，
，
(舍去)或．
②当时，即，，
或．
综上所述：当的值为或或时，以点P、Q、D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
11．（九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
【答案】(1)经过或秒，P，Q两点之间的距离是；(2)经过4秒或6秒，的面积为；
【详解】（1）解：过点P作，如图，
设经过x秒后，P，Q两点之间的距离是，
由题意得：，，，
∴，
∴
解得：，
∴经过或秒，P，Q两点之间的距离是；
（2）解：连接，如图，
设经过y秒的面积为，
当时，，
∴，即，
解得：；
当时，，，
∴，
解得：（舍）；
当时，，
则，
解得：（舍）；
综上所述，经过4秒或6秒，的面积为；
12．（八年级·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动（不与点，重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）．
(1)若点、均以的速度移动，经过多长时间四边形为菱形？
(2)若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间为直角三角形？
【答案】(1)经过时四边形是菱形；(2)经过或或时为直角三角形．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，，
∵点、均以的速度移动，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
设经过，四边形是菱形，则有，，
由勾股定理得：，
∴，解得：，
答：经过时四边形是菱形，
（2）∵点不与点重合，
∴，
∴为直角三角形分两种情况：
当时，为直角三角形，
过点作 于，易得四边形为矩形，如图所示，
∵， ，则， ，
∴ ，解得：或，
当时，，
∴， 解得：，
综上可知：经过或或时为直角三角形．
13．（九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点B运动；点Q从点C出发，以的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点Q的运动时间为．P，Q两点同时出发．
(1)若存在某一时刻，四边形为正方形，求x的值；
(2)当时，若，求t的值．
【答案】(1)(2)t的值为或
【详解】（1）
解：由题可知，，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
解得．
（2）
解：如图1所示，当四边形为平行四边形时，满足，此时，
即，
解得，
如图2所示，当四边形为等腰梯形时，满足，作于点E，
作于点F，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或．
14．（八年级上·广东深圳·开学考试）漂洋同学在暑假自学探究过程中发现有一种特殊的四边形，它的四边都相等，且四个角都是直角，在正方形中，边长，点P以的速度自点A向终点B运动，点Q同时以同样的速度自点B向终点C运动，连接、
(1)当 cm时，点P到达点B；
(2)在点P、Q运动过程中，试判断、有什么样的位置和数量关系；
(3)如图2，作，作的角平分线交于M点，与的数量关系是否发生改变，若不改变请说明理由．
【答案】(1)4
(2)且
(3)与的数量关系不发生改变，理由见解析
【详解】（1）解：∵（s），
∴当时，点P到达点B，
故答案为：4；
（2）且；理由如下：
证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点P，点Q以同样的速度运动，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）与的数量关系不发生改变，理由如下：
在上取T，使，如图：
∵四边形是正方形，
，，
，
，即，
，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴与的数量关系不发生改变．
15．（八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点A沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动，同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为秒．
(1)在时，点坐标______，点坐标______．
(2)当为何值时，四边形是矩形？
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：∵，，
，，，
当时，，，
，
点，；
故答案为：；；
（2）解：根据题意：，，
则，
当四边形是矩形时，，
，
解得：，
时，四边形是矩形．
16．（八年级下·浙江温州·阶段练习）已知如图：在四边形中，，，，，动点P从点B出发在线段上向点C运动，速度为；点Q从点D出发在线段上向点A运动，速度为，Q、D两点不重合．P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当秒时，四边形面积为多少？
(2)当时，求t的值．
(3)当以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形时，则__________．（直接写出答案）
【答案】(1)四边形面积为(2)或(3)5或4或或
【详解】（1）解：由题意得：，，
∴，
当秒时，，，
，
，
∴四边形面积．
答：四边形面积为；
（2）过点Q作于E，则四边形是矩形，
∴，，，
，
，
当时，，
解得秒或秒．
答：当时，秒或秒；
（3）由题意得，，，
当时，即，
解得或；
时，即，
解得：（不合题意舍去）或；
当时，即，
解得：或，
但当时，D，Q两点重合，故；
综上所述，当以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形时，t为5或4或或；
故答案为：5或4或或．
17．（九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，BC边上高为8，点D为边的中点点P从点B出发，沿折线向点C运动，在、上的速度分别为每秒5个单位长度和每秒个单位长度．当点P不与点A重合时，连接PD，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒．
(1)①线段的长为______；
②用含t的代数式表示线段的长；
(2)当点E在内部时，求t的取值范围；
(3)当是菱形时，求t的值；
(4)作点B关于直线的对称点，连结，当时，直接写出t的值．
【答案】(1)①；②(2)当或时，点E在内部
(3)或(4)或
【详解】（1）解：①如图1中，过点A作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②当时，
；
当时，
．
（2）解：如图1中，当时，，
此时，点E落在，
观察图象可知，当时，点E在内部，
如图2中，
当时，，
此时，点E落在上，
观察图象可知，当时，点E在内部，
综上所述，当或时，点E在内部．
（3）解：如图3中，当时，四边形是菱形．
过点P作于点J．
在，，
∴，，
∴，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：；
如图4中，当时，四边形是菱形．
过点P作于点T．
在中，，，，
∴，
由勾股定理得：，
即：，
解得：；
综上所述，满足条件的t的值为或．
（4）解：如图5中，当点P在上时，
过点P作于点K．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图6中，当点P在上时，过点P作于点T．
同理可证：，
∵，
∴，
∴；
综上所述，满足条件的t的值为或．
18．（八年级下·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)填空：点C的坐标为 ；平行四边形的对称中心的点的坐标为 ；
(2)动点P从点O出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时，另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？
(3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)，，，(2)或(3)或或，或，或，或
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
点的坐标为，点的坐标为，，
点的坐标为，，平行四边形的对称中心的点的坐标为，．
故答案为：，，，；
（2）根据题意得：，
，
解得：，
即当点运动4秒时，的面积是平行四边形的一半．
而当秒时，的面积也是平行四边形的一半．
综上所述，或时，的面积是平行四边形的一半．
（3）①时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，
根据平行四边形的性质，可知点的坐标为，，，．
时，同法可得：，或，或．
综上所述，点的坐标为或或，或，或，或．
19．（七年级下·四川达州·期末）如图①，四边形中，．
(1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到点D停止．设运动时间为a，的面积为S，求、的长．
(2)如图③，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，以每秒7个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到边上时，当的面积为24时，求t的值．
【答案】(1)(2)2.5或3.1或8
【详解】（1）解：根据图象得出：在时间为20的时候，点M到达C点，点M到达D点，
所以M从点C到点D所用的时间为：，
所以的长度：，
∴，
解得．
（2）解：当点P、Q都在边上，且点P在点Q上方，此时有以为底边，为高的三角形，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
同理，当点P在上、点Q在A点上，此时有以为底边，为高的三角形，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴当的面积为24时， t的值为：2.5，3.1、8．
20．（八年级下·福建龙岩·期中）如图，矩形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为．
(1)当时，若平分，求的值；
(2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值；
(3)连接，直接写出点与点关于对称时的与的值．
【答案】(1)(2)t的值为3或(3)，
【详解】（1）解：当时，，
，由勾股定理得：，
四边形是矩形，
，，,
，
平分，
，
，
，，
即，
；
（2）解：当时，由运动过程可知，，，
，
在中，，
是以腰的等腰三角形，分情况讨论：
①，
，
，
②，
由等腰三角形的性质，得，
于是，，
，
即：t的值为3或；
（3）解：，．
如图，
由运动过程知，，，
，
点与点关于对称，
，，
，
，，，
过点作于F，
四边形是长方形，
，，
在中，，，
根据勾股定理得，，，
，
．
21．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）在四边形中，，，，，点E从A出发以的速度向D运动，同时，点F从点B出发，以的速度向点C运动，设运动时间为，
(1)t取何值时，四边形为矩形？
(2)M是上一点，且，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)时，四边形为矩形
(2)或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形
【详解】（1）解：当时，四边形为矩形，则有，
解得，
答：时，四边形为矩形．
（2）解：①当点F在线段上，时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有，
解得，
②当F在线段上，时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有，
解得，
综上所述，或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
22．（八年级下·重庆巴南·期中）如图，、分别是轴、轴正半轴上两点，线段轴，，且∶，，、分别是线段、上动点，． 点从点出发，以的速度向终点点运动；点从点同时出发，以的速度向终点运动（、两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）．
(1)若、出发秒后，请用关于的式子表示四边形的面积；
(2)若经过秒使得，求的值；
(3)如图，点是线段中点，是线段上另一动点（位于点左边），且线段在移动过程中始终保持长度为不变，请探究并直接写出四边形周长的最小值．
【答案】(1)(2)或(3)
【详解】（1）解：，
，
∵，
，
由题意可知：，，
，
四边形的面积；
（2）当四边形是平行四边形时，，
，
，
解得；
当四边形是等腰梯形时，，如图，过点，作，于点，，
则，，
，
，
，
解得，
综上所述：的值为或；
（3）如图，在上取点使，
过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，
轴，
，
，
点是线段中点，
点是线段中点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
是梯形的中位线，
，
，
∴
在中，根据勾股定理得：，
四边形周长，
当最小时，四边形周长最小，
∵
根据两点之间线投最短，当点，，共线时，设与轴交于点，
∴
即在时，此时最小，
四边形周长最小值．
23．（八年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以B为原点，，有一动点P以每秒3个单位的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以每秒5个单位的速度也从点C出发，向终点A运动，连接，且，以为邻边作，设动点P的运动时间为t秒．
(1) ；（用含t的代数式表示）
(2)连接，当为等腰三角形时，求t的值；
(3)若以直线为对称轴，当点Q的对称点恰好落在y轴上时，则t的值为 ．（直接写出答案）
【答案】(1)(2)或或(3)
【详解】（1）解：设点P的运动时间为t秒，则，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：设点P的运动时间为t秒，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
①当时，如图：
∴，
解得：；
②当时，过M作于H，如图：
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，过M作于G，如图：
∵，
∴，
同②可得，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍去）或；
综上所述，当为等腰三角形时，t的值为或或；
（3）解：设Q关于的对称点为，过M作于R，延长交于K，如图：
同（2）可得，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点Q的对称点为，
∴，
在中，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（不符合题意，舍去）或，
故答案为：．
24．（八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，于点E，且．点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点停止时，点也随之停止，连接．设点运动的时间为秒．
(1)的长是 ；
(2)用含的代数式表示的长；
(3)设面积为，求关于的函数关系式；
(4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
【答案】(1)(2)(3)(4)或9
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
故填：；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
当P点运动到点E时，，
当点P运动到点C时，，
①当时，；
②当时，；
∴用含的代数式表示的长为：；
（3）当时，
；
当时，
；
∴关于的函数关系式为：；
（4）解：①当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得，
②当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得，
综合上述，当或9时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
25．（八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别落在轴、轴上，点在边上，点在边上，且，已知点，点．
(1)求点的坐标；
(2)若动点同时从点出发，点以每秒1个单位的速度向点运动，点以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点运动到点停止，点也同时停止运动．设的面积为，点的运动时间为，用含的代数式表示；
(3)在（2）的条件下，点是射线上的一点，点为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的值与点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)当时，；当时，；当时，
【详解】（1）解：∵点，点，四边形为矩形，
∴，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理可得，
即，解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）①如下图，当点在点右侧时，
根据题意，，，
∴，
∴；
②如下图，当点在点左侧时，
根据题意，，，
∴，
∴．
综上所述，；
（3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，
可分情况讨论：
①如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如下图，过点作于点，
易知四边形、均为矩形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
解得；
③如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，；当时，．
26．（八年级下·云南昆明·期末）如图．在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t．
(1) ， （用含t的代数式表示）；
(2)运动中，是否存在这样的t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)存在，5或7
【详解】（1）解：由题意，得，．
（2）解：当时，四边形是平行线四边形，
∴，
∴，
∴，
当四边形是等腰梯形时，
，
作于M，于N，
∵，，
∴四边形是矩形，是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或．
27．（九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，矩形中，，，动点P以的速度从点A出发沿折线向终点C运动，动点Q以的速度从点D开始沿折线向终点B运动，如果点P、Q同时出发，设点P运动的时间t秒，的面积为S．
(1)当________秒时，点Q到达点A，当________时，点Q到达点B．
(2)当t为何值时，为等腰直角三角形？
(3)求出的面积S（可用含有的代数式表示）．
【答案】(1)3，9(2)(3)
【详解】（1）解：四边形是矩形，，，
，，
动点以的速度从点开始沿折线向终点运动，
时，点到达点，
时，点到达点，
故答案为：3，9；
（2）四边形是矩形，
，，
由题意得：，，
，
为等腰直角三角形，
，
即，
解得：，
即当为时，为等腰直角三角形；
（3）分三种情况：
①当时，如图1所示：
由题意得：，，
，，
矩形的面积的面积的面积的面积；
②当时，如图2所示：
由题意得：，，
，
；
③当时，如图3所示：
由题意得：，，
，，
．
综上，．
28．（八年级下·广东揭阳·期末）已知：在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)0秒或4.8秒或8秒或9.6秒
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，则
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则，
设运动时间为t秒，
①当时，，，
∴，
解得：；
②当时，，，
∴，
解得：；
③当时，，，
∴，
解得：；
④当时，，，
∴，
解得：；
综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
29．（八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为．
(1)分别求和的长度；
(2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由；
(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离．
【答案】(1)，(2)，理由见详解(3)存在，的值为或4
(4)或
【详解】（1）四边形是平行四边形，，，，
，，
，，，
，
，，
；
（2），理由如下：
如图1，
动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，
当时，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
；
（3）存在，
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，
；
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
综上所述：的值为或4；
（4）如图，当点的对称点在线段上时，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
过点作于，则，，
，，，
，
，
在中，
；
如图，当点的对称点在线段的延长线上时，
，
，
点的对称点在线段的延长线上，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于，则，，
，，，
，
，
在中，
；
综上所述：点，之间的距离为或．
30．（八年级下·浙江·期末）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积；
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)(2)(3)或或或9.6时
【详解】（1）解：如图①所示：
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：如图②所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图③所示：
，
当时，四边形是平行四边形，
或或或，解得或0或8或9.6，
另外时，也满足条件，
为或或或9.6时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】
专题19.7 四边形中动点问题专练（30道）
一、解答题（本卷共30道，总分120分）
1．（八年级下·江苏扬州·阶段练习）在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形成为矩形？
(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
(3)四边形是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
2．（八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)运动时间为 秒时，点与点相遇；
(2)求为何值时，是等腰三角形？
(3)用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围；
(4)连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）．
3．（八年级下·广东中山·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点P从A开始沿边向D以的速度运动；Q从点C开始沿边向B以的速度运动 P 、Q分别从点A 、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
(1)当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长： ， ；
(2)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？
(3)四边形有可能是正方形吗？若可能，求出此时点P的运动时长；若不可能，请说明理由．
4．（八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)用含的式子表示；
(2)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？
5．（八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结．
(1)直接写出点与点重合时的值．
(2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）．
(3)当时，求的值．
(4)当时，直接写出的值．
6．（九年级上·山西运城·期中）综合与探究
如图，在矩形中，，点分别从点出发，沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动．在相同时间内，若，则．
(1)当运动停止时，的值为______．
(2)当为何值时，点重合？
(3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？
7．（九年级上·广东河源·期中）如图，矩形中，，点P从点A出发沿向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒．
(1)若点P、Q均以的速度移动，则： ； ．（用含t的代数式表示）
(2)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？
(3)若点P、Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形．
8．（九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？
(3)（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？
9．（八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．
(1)的长为______；
(2)用含的代数式表示线段的长；
(3)连接，
①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
10．（九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B匀速运动，点Q以的速度向终点D匀速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
(1)当时，四边形面积是多少
(2)当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
11．（九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
12．（八年级·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动（不与点，重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）．
(1)若点、均以的速度移动，经过多长时间四边形为菱形？
(2)若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间为直角三角形？
13．（九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点B运动；点Q从点C出发，以的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点Q的运动时间为．P，Q两点同时出发．
(1)若存在某一时刻，四边形为正方形，求x的值；
(2)当时，若，求t的值．
14．（八年级上·广东深圳·开学考试）漂洋同学在暑假自学探究过程中发现有一种特殊的四边形，它的四边都相等，且四个角都是直角，在正方形中，边长，点P以的速度自点A向终点B运动，点Q同时以同样的速度自点B向终点C运动，连接、
(1)当 cm时，点P到达点B；
(2)在点P、Q运动过程中，试判断、有什么样的位置和数量关系；
(3)如图2，作，作的角平分线交于M点，与的数量关系是否发生改变，若不改变请说明理由．
15．（八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点A沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动，同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为秒．
(1)在时，点坐标______，点坐标______．
(2)当为何值时，四边形是矩形？
16．（八年级下·浙江温州·阶段练习）已知如图：在四边形中，，，，，动点P从点B出发在线段上向点C运动，速度为；点Q从点D出发在线段上向点A运动，速度为，Q、D两点不重合．P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当秒时，四边形面积为多少？
(2)当时，求t的值．
(3)当以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形时，则__________．（直接写出答案）
17．（九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，BC边上高为8，点D为边的中点点P从点B出发，沿折线向点C运动，在、上的速度分别为每秒5个单位长度和每秒个单位长度．当点P不与点A重合时，连接PD，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒．
(1)①线段的长为______；
②用含t的代数式表示线段的长；
(2)当点E在内部时，求t的取值范围；
(3)当是菱形时，求t的值；
(4)作点B关于直线的对称点，连结，当时，直接写出t的值．
18．（八年级下·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)填空：点C的坐标为 ；平行四边形的对称中心的点的坐标为 ；
(2)动点P从点O出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时，另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？
(3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
19．（七年级下·四川达州·期末）如图①，四边形中，．
(1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到点D停止．设运动时间为a，的面积为S，求、的长．
(2)如图③，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，以每秒7个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到边上时，当的面积为24时，求t的值．
20．（八年级下·福建龙岩·期中）如图，矩形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为．
(1)当时，若平分，求的值；
(2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值；
(3)连接，直接写出点与点关于对称时的与的值．
21．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）在四边形中，，，，，点E从A出发以的速度向D运动，同时，点F从点B出发，以的速度向点C运动，设运动时间为，
(1)t取何值时，四边形为矩形？
(2)M是上一点，且，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
22．（八年级下·重庆巴南·期中）如图，、分别是轴、轴正半轴上两点，线段轴，，且∶，，、分别是线段、上动点，． 点从点出发，以的速度向终点点运动；点从点同时出发，以的速度向终点运动（、两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）．
(1)若、出发秒后，请用关于的式子表示四边形的面积；
(2)若经过秒使得，求的值；
(3)如图，点是线段中点，是线段上另一动点（位于点左边），且线段在移动过程中始终保持长度为不变，请探究并直接写出四边形周长的最小值．
23．（八年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以B为原点，，有一动点P以每秒3个单位的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以每秒5个单位的速度也从点C出发，向终点A运动，连接，且，以为邻边作，设动点P的运动时间为t秒．
(1) ；（用含t的代数式表示）
(2)连接，当为等腰三角形时，求t的值；
(3)若以直线为对称轴，当点Q的对称点恰好落在y轴上时，则t的值为 ．（直接写出答案）
24．（八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，于点E，且．点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点停止时，点也随之停止，连接．设点运动的时间为秒．
(1)的长是 ；
(2)用含的代数式表示的长；
(3)设面积为，求关于的函数关系式；
(4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
25．（八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别落在轴、轴上，点在边上，点在边上，且，已知点，点．
(1)求点的坐标；
(2)若动点同时从点出发，点以每秒1个单位的速度向点运动，点以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点运动到点停止，点也同时停止运动．设的面积为，点的运动时间为，用含的代数式表示；
(3)在（2）的条件下，点是射线上的一点，点为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的值与点的坐标．
26．（八年级下·云南昆明·期末）如图．在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t．
(1) ， （用含t的代数式表示）；
(2)运动中，是否存在这样的t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
27．（九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，矩形中，，，动点P以的速度从点A出发沿折线向终点C运动，动点Q以的速度从点D开始沿折线向终点B运动，如果点P、Q同时出发，设点P运动的时间t秒，的面积为S．
(1)当________秒时，点Q到达点A，当________时，点Q到达点B．
(2)当t为何值时，为等腰直角三角形？
(3)求出的面积S（可用含有的代数式表示）．
28．（八年级下·广东揭阳·期末）已知：在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
29．（八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为．
(1)分别求和的长度；
(2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由；
(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离．
30．（八年级下·浙江·期末）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积；
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
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