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2024年初中数学湘教版七年级下学期期中模拟测试卷 01
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘单项式及积的乘方的计算方法逐项判断即可.
2．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：左边图形中阴影部分的面积为：a2-b2，右边图形阴影部分的面积为：(a+b)(a-b)，
∵将左边剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，
∴(a+b)(a-b)=a2-b2.
故答案为：B.
【分析】分别表示出两个图形中阴影部分的面积，进而根据两个图形中阴影部分的面积相等建立出等式，从而得出答案.
3．（3分）已知是方程的解，a，b是正整数，则的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【解析】解：∵是方程的解，
∴2a+b=7，
∵a，b是正整数，
∴或或，
∴a+b的最大值是1+5=6，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出2a+b=7，再根据a，b是正整数求出a和b的值，最后计算求解即可。
4．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解： 设该店有客房x间、房客y人 ，
由题意得： ；
故答案为：D.
【分析】 设该店有客房x间、房客y人 ，由“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住”列7x+7=y，由“ 如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房 ”可列9（x-1=y），从而可得方程组.
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：解：A、2a，3b不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B、（a-b）2=a2-2ab+b2，所以B不正确；
C、所以C不正确；
D、3a3（-4a2）=-12a5，所以D正确。
故答案为：D。
【分析】根据整式的有关运算性质，分别正确计算，即可得出答案。
6．（3分）二元一次方程2x﹣y＝3的解可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：A、则本项符合题意，
B、则本项不符合题意，
C、则本项不符合题意，
D、则本项不符合题意，
故答案为：A.
【分析】将x和y的值代入计算，观察等式左右是否相等即可.
7．（3分）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A，，两个平方项，符号相同，不能因式分解.
B，，两个平方项，没有二倍项，不能因式分解.
C，，两个平方项，符号相同，不能因式分解.
D，，能够因式分解，故选D.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式，完全平方公式来进行判断.
8．（3分）用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为；个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为；个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵图1阴影面积为100，
∴阴影正方形边长为10，
同理图2阴影正方形边长为9，
设小长方形的长为x，宽为y，
解得：，
∴图3阴影正方形边长为：
∴阴影部分的面积为：
故答案为：D.
【分析】根据图1和图2的面积，求出小长方形的长和宽，进而即可解决问题.
9．（3分）若，则（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算求解即可。
10．（3分）如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则正方形与正方形的面积之和为（ ）
A．29 B．25 C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得重合部分小正方形的面积为5，其边长为，
BE=AB-AE=6-a=b-，
∴a+b=6+，S1=（a-）（b-）=ab-；
∵S2=5S1，
∴S2=5ab-，
由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2-5+S1+S2=6×10，
整理得a2+b2+6ab=65+36，
即（a+b）2+4ab=65+36，
∴（6+）2+4ab=65+36，
∴ab=6+6，
∴a2+b2=65+36-6ab=65+36-36-36=29.
故答案为：A.
【分析】由重合部分小正方形的面积为5，其边长为，由拼图可知a+b=6+①，由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2+6ab=65+36，从而利用配方法变形后将①代入化简可得ab=6+6，进而即可求出a2+b2的值了.
二、填空题(共6题；共19分)
11．（3分）计算： ．
【答案】
【解析】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据平方差公式结合题意即可求解。
12．（3分）若，，则 ．
【答案】4
【解析】解：∵m2-n2=28，m+n=7，
∴(m+n)(m-n)=7(m-n)=28，
∴m-n=4.
故答案为：4.
【分析】根据平方差公式可得m2-n2=(m+n)(m-n)，然后将已知条件代入进行计算.
13．（3分）因式分解： ＝ .
【答案】2a(a+2)(a-2)
【解析】 解： = .
故答案为： 2a(a+2)(a-2) .
【分析】先提取公因式2a，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
14．（3分）若且则 ．
【答案】6
【解析】∵，，
∴6，
故答案为：6.
【分析】利用平方差公式的计算方法求解即可。
15．（3分）若方程组的解x，y满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解：
由①+②得，
∴，
∴a＞16，
故答案为：a＞16.
【分析】首先解方程组，将①②两式相加，解得，再由，进行等价代换即可求出a的取值范围.
16．（4分） 一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数m，记，则D（1254）＝ ；若某个“等和数”n的千位与十位上的数字之和为8，D（n）为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最大“等和数”n是 ．
【答案】-3；8404
【解析】（1），
故答案为：．
（2）设“等和数”的千位、百位分别为、，
则十位数为，个位数为，
，
，
，
，
能表示两个连续偶数的平方差，
可设（为自然数），
，
即为的奇数倍，
的千位与十位上的数字之和为，
，，
，
，
当最大是，b为，
满足条件的最大“等和数”是，
故答案为：．
【分析】（1）直接根据“等和数”的定义求解即可；
（2）设“等和数”n的千位数、百位数分别为、，根据“等和数”的特征可得，再根据能够表示为两个连续偶数的平方差，列出二元一次方程求解即可．
三、解答题(共3题；共23分)
17．（6分）化简：(3m-4n)(3m+4n) (9m2+16n2 )．
【答案】解：原式=
18．（6分）列方程组解应用题：
端午期间某超市销售价格相同的粽子与咸鸭蛋的组合礼品盒，甲种礼品每盒含12只粽子和4枚咸鸭蛋，售价72元；乙种礼品每盒含10只粽子和8枚咸鸭蛋，售价74元（礼品盒的价格忽略不计），问一只粽子和一枚咸鸭蛋各多少元？
【答案】解：设一只粽子x元，一枚咸鸭蛋y元．
根据题意得，
解得：
答：一只粽子5元，一枚咸鸭蛋3元．
【解析】【分析】 设一只粽子x元，一枚咸鸭蛋y元，根据题意列出方程组，再求解即可.
19．（11分）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
（1）（1分）图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
（2）（1分）用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ▲ ；
方法2： ▲ ；
并写出二个代数式之间的等量关系；
（3）（1分）根据（2）中的等量关系，解决问题：若，求的值；
（4）（2分）根据（2）中的等量关系，直接写出和之间的关系 ；若，分别求出和的值 ；
（5）（2分）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数怛等式： ；
（6）（4分）已知，利用上面的规律求的值．
【答案】（1）
（2）解：方法一：利用整体思想，边长为的正方形其面积为，
方法二：利用分割思想，阴影部分面积边长为的大正方形面积个长为宽为的矩形面积，
三个代数式之间的数量关系为：，或：；
（3）解：，且，
，
（4）；12；14
（5）
（6）解：，
．
【解析】解：（1）由图（2）知：阴影部分正方形的边长为：a-b
（2）方法1：由（1）知阴影部分正方形的边长为a-b
方法2：
∴
∵x+y=10，xy=16
∴x-y=±6
∴方程两边同时除以m得：
(5)由图（3）可知：这个长方体的长为a+b，宽为a+b，高为a+b
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景与实际应用.
（1）由图形②可看出正方形的边长为a-b即可得出答案；
（2）方法一：利用整体思想，由（1）知正方形的边长为a-b，则正方形的面积为；
方法二：利用整体减局部的思想，，两个式子表示的都是阴影部分的面积，所以相等，即可得出答案.
（3）根据（2）中的结论代入求值即可.
（4）根据（2）中的结论即可直接写出关系式，由两边同时除以m可得出代入即可得出答案；
（5）利用两种方法求长方体的体积，方法一：利用整体思想根据图中数据分别表示出长方体的长宽高，代入公式得出长方体的体积；方法二：利用拆分法，由图可看出大的长方体是由一个棱长为a的正方体，一个棱长为b的正方体，3个长和高为a，宽为b的长方体与3个长和高为b，宽为a的长方体组成；把这些图形的体积都加起来则为大长方体的体积；即可得出关系式；
（6）利用（5）中得出的关系式，变形代值即可得出答案.
四、实践探究题(共3题；共24分)
20．（7分）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较和的大小：因为，，所以．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）（3分）比较大小： （填“”或“”）
（2）（4分）已知，，，试比较，，的大小．
【答案】（1）
（2）解：因为，
，
，
且，
所以，
所以．
【解析】解：（1）∵
∴
∴
【分析】（1）将题中两数化为相同底数再进行比较；（2）将题中三个数化为同指数，再进行比较.
21．（7分）根据几何图形的面积关系可以说明数学等式，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，可以用图①的面积关系来说明，由此我们识可以得到（2a+b）（a+b）-（2a2+b2）=3ab．
（1）（3分）根据图②的面积关系可得：（2a+b）（a+2b）-（2a2+2b2）= ；
（2）（4分）有若干张如图③的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形．并用这些纸片无缝隙无重叠地拼成了图④，图⑤，图⑥的图形，图④，图⑤，图⑥中的阴影部分面积分别记为S1，S2，S3；
①S1= ▲ ，S2= ▲ ，S3= ▲ （用含a， b的代数式表示）；
②若3S2-S1=108，S3=9，求图⑥中大正方形的面积．
【答案】（1）5ab
（2）解：①3ab-3b2；3ab-b2；a2-2ab+b2；
②∵3S2-S1=108，S3 =9，
∴3（3ab-b2） - （3ab-3b） = 108，a- 2ab+b2=9．
由3（3ab-b2）-（3ab-3b2）=108，得：ab=18．
将ab=18代人a2-2ab+b2=9，得： a2+b2=9+2ab= 45．
∴图⑥中大正方形的面积为：
S=（a+b）2 =a2+b2 + 2ab=45+2×18=81
【解析】解：（1） 图② 由两个边长为b的正方形，两个边长为a的正方形和5个长为a，宽为b的长方形组成，代数式 （2a+b）（a+2b）-（2a2+2b2）= 整个图2的面积减去两个边长为b的正方形的面积与两个边长为a的正方形的面积之和，因此 （2a+b）（a+2b）-（2a2+2b2）= 5ab 故答案为： 5ab ；
（2） ①图4中阴影部分是长方形长为3b，宽为（a-b），因此s1=3b（a-b）=3ab-3b2。图5是一个长方形长为（a+b），宽为（a+b）∴s2=（a+2b）（a+b）-a2-3b2=3ab-3b2 图6是一个正方形，边长为a+b，如下图所示：
设MN=x，则PQ=2b+x ∴2b+x =a+b ∴x=a-b ∴s3=x2=（a-b）2=（a2-2ab+b2）； 故答案为： 3ab-3b2；3ab-b2；a2-2ab+b2
【分析】（1）代数式（2a+b）（a+2b）-（2a2+2b2）关于整个图2的面积减去两个边长为b的正方形的面积与两个边长为a的正方形的面积之和，因此可得出答案。
（2） ① 图4中阴影部分是长方形长为3b，宽为（a-b），因此可求出s1。图5是一个长方形长为（a+b），宽为（a+b），可求出s2；设MN=x，则PQ=2b+x ∴2b+x =a+b ∴x=a-b 可求出s3。
②由3S2-S1=108，S3 =9，
得3（3ab-b2） - （3ab-3b） = 108 a- 2ab+b2=9．
据此得：ab=18．a2+b2 =45，进而根据图6中大正方形的面积S=（a+b）2 可得出答案。
22．（10分）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”.
（1）（2分）方程组的解与 项“具有”或“不具有”“邻好关系”；
（2）（2分）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值；
（3）（2分）未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由.
（4）（4分）【拓展】若一个关于的方程的解为，则称之为“成章方程”如：的解为，而；的解为，而.
请直接写出关于的“成章方程”的解：.
若关于的方程为“成章方程”，请直接写出关于的方程的解：.
【答案】（1）具有
（2）解：方程组，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为，
，
，
或
（3）解：方程两式相加得：，
，，均为正整数，
或或舍去或舍去，
在上面符合题意的两组解中，只有时，，
，方程组的解为
（4）解：y=4
【解析】解：（1）方程组，
得，
解得，
把代入得，
解得，
，
，
方程组的解，具有“邻好关系”；
故答案为：具有；
（4）∵关于的方程为“成章方程”，
方程的根为：.
把代入原方程得：
，
.
，
.
.
【分析】（1）利用第一个方程的2倍减去第二个方程可求出y的值，将y的值代入第二个方程中求出x的值，然后求出|x-y|的值，据此解答；
（2）将两个方程相加可得x，将x代入第一个方程中表示出y，据此可得方程组的解，由“邻好关系”的概念可得|x-y|=1，求解可得m的值；
（3）将两个方程相加可得(2+a)y=12，由a、x、y均为正整数可得a、x、y的值，然后结合|x-y|=1进行验证；
（4）由题意可得方程ax+b=0的根为x=b-a，将x=b-a代入原方程中可得(b-a)×a+b=0，化简可得a2-ab=b，关于y的方程可变形为by+2=by+y，则y=2，求解可得y的值.
五、综合题(共3题；共24分)
23．（9分）已知某物流公司租用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；租用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.该物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完.
（1）（2分）问租用1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）（3分）为完成运输任务，且同时租用A型与B型两种车辆，请你帮该物流公司设计租车方案.
（3）（4分）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次.请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
【答案】（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货x吨，y吨.
根据题意，得，
解得
答：1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨.
（2）解：根据题意和（1），得.
∵a.b均为非负整数，
∴或
∴共有两种租车方案：
①租A型车6辆，B型车2辆；②租A型车2辆，B型车5辆
（3）解：方案①的租金为：6×100+2×120=840（元）.
方案②的租金为：2×100+5×120=800（元）.
∵840＞800，
∴最省钱的租车方案为方案②，租车费用为800元.
【解析】【分析】（1）设1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货x吨，y吨，根据用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨可得x+2y=11；根据用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨可得2x+y=10，联立求解即可；
（2）根据计划A型车a辆，B型车b辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完可得3a+4b=26，然后结合a、b均为非负整数可得a、b的值，进而可得租车方案；
（3）根据A型车每辆的租金×辆数+B型车每辆的租金×辆数=总租金分别求出各种方案所需的租金，然后进行比较即可.
24．（6分）小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框：
小明的作业 计算：． 解： ．
请你参考小明的方法解答下列问题．
计算：
（1）（2分）；
（2）（4分）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）利用积的乘方的计算方法求解即可；
（2）将代数式变形为，再计算即可。
25．（9分）若x满足，求的值．
解：设，则
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）（2分）若x满足，求的值；
（2）（3分）若x满足，求代数式的值；
（3）（4分）已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：设（5－x）＝a，（x－2）＝b，
则（5－x）（x－2）＝ab＝2，
a＋b＝（5－x）＋（x－2）＝3，
∴（5－x）2＋（x－2）2
＝（a＋b）2－2ab
＝32－2×2
＝5；
（2）解：设（6－x）＝a，（3－x）＝b，
（6－x）（3－x）＝ab＝1，
a－b＝（6－x）－（3－x）＝3，
∵（a＋b）2
＝（a－b）2＋4ab
＝13，
∴（a＋b）2＝13，
∵（6－x）＋（3－x）＝a＋b，
∴9－2x＝a＋b，
∴（9－2x）2＝（a＋b）2＝13．
（3）解：∵正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，
∴MF＝DE＝x－3，DF＝x－5，
∴（x－3） （x－5）＝48，
∴（x－3）－（x－5）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2．
设（x－3）＝a，（x－5）＝b，则（x－3）（x－5）＝ab＝48，
a－b＝（x－3）－（x－5）＝2，
∴
∴a＋b＝14，（负根舍去）
∴（x－3）2－（x－5）2＝a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【解析】【分析】（1）设（5－x）＝a，（x－2）＝b，进而即可得到a＋b＝（5－x）＋（x－2）＝3，再代入即可求解；
（2）设（6－x）＝a，（3－x）＝b，进而得到a－b＝（6－x）－（3－x）＝3，从而得到（a＋b）2＝13，然后结合题意即可得到9－2x＝a＋b，进而即可求解；
（3）先跟进题意即可得到（x－3）－（x－5）＝2，进而得到阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2，设（x－3）＝a，（x－5）＝b，则（x－3）（x－5）＝ab＝48，再根据平方差公式结合题意即可求解。
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 40.0(33.3%)
主观题（占比） 80.0(66.7%)
题量分布 客观题（占比） 13(52.0%)
主观题（占比） 12(48.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 6(24.0%) 19.0(15.8%)
解答题 3(12.0%) 23.0(19.2%)
实践探究题 3(12.0%) 24.0(20.0%)
综合题 3(12.0%) 24.0(20.0%)
单选题 10(40.0%) 30.0(25.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (76.0%)
2 容易 (12.0%)
3 困难 (12.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 平方差公式及应用 31.0(25.8%) 9,11,12,14,16,17,25
2 积的乘方 12.0(10.0%) 1,5,24
3 加减消元法解二元一次方程组 13.0(10.8%) 15,22
4 平方差公式的几何背景 9.0(7.5%) 25
5 二元一次方程组的实际应用-销售问题 6.0(5.0%) 18
6 完全平方公式的几何背景 27.0(22.5%) 2,8,10,19,21
7 二元一次方程的解 6.0(5.0%) 3,6
8 二元一次方程组的应用-和差倍分问题 9.0(7.5%) 23
9 代数式求值 3.0(2.5%) 3
10 单项式乘单项式 6.0(5.0%) 1,5
11 二元一次方程的应用 13.0(10.8%) 16,23
12 因式分解﹣综合运用提公因式与公式法 3.0(2.5%) 13
13 定义新运算 10.0(8.3%) 22
14 因式分解﹣公式法 3.0(2.5%) 7
15 完全平方公式及运用 17.0(14.2%) 5,9,19
16 多项式乘多项式 7.0(5.8%) 21
17 列二元一次方程组 3.0(2.5%) 4
18 合并同类项法则及应用 3.0(2.5%) 5
19 二元一次方程组的解 3.0(2.5%) 15
20 幂的乘方 10.0(8.3%) 1,20
21 同底数幂的乘法 3.0(2.5%) 1
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2024年初中数学湘教版七年级下学期期中模拟测试卷 01
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知是方程的解，a，b是正整数，则的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
4．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．二元一次方程2x﹣y＝3的解可以是（ ）
A． B． C． D．
7．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A． B． C． D．
8．用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为；个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为；个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为 （ ）
A． B． C． D．
9．若，则（ ）
A．3 B．6 C． D．
10．如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则正方形与正方形的面积之和为（ ）
A．29 B．25 C． D．
二、填空题
11．计算： ．
12．若，，则 ．
13．因式分解： ＝ .
14．若且则 ．
15．若方程组的解x，y满足，则的取值范围为 ．
16． 一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数m，记，则D（1254）＝ ；若某个“等和数”n的千位与十位上的数字之和为8，D（n）为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最大“等和数”n是 ．
三、解答题
17．化简：(3m-4n)(3m+4n) (9m2+16n2 )．
18．列方程组解应用题：
端午期间某超市销售价格相同的粽子与咸鸭蛋的组合礼品盒，甲种礼品每盒含12只粽子和4枚咸鸭蛋，售价72元；乙种礼品每盒含10只粽子和8枚咸鸭蛋，售价74元（礼品盒的价格忽略不计），问一只粽子和一枚咸鸭蛋各多少元？
19．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
（2）用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ▲ ；
方法2： ▲ ；
并写出二个代数式之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：若，求的值；
（4）根据（2）中的等量关系，直接写出和之间的关系 ；若，分别求出和的值 ；
（5）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数怛等式： ；
（6）已知，利用上面的规律求的值．
四、实践探究题
20．阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较和的大小：因为，，所以．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）比较大小： （填“”或“”）
（2）已知，，，试比较，，的大小．
21．根据几何图形的面积关系可以说明数学等式，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，可以用图①的面积关系来说明，由此我们识可以得到（2a+b）（a+b）-（2a2+b2）=3ab．
（1）根据图②的面积关系可得：（2a+b）（a+2b）-（2a2+2b2）= ；
（2）有若干张如图③的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形．并用这些纸片无缝隙无重叠地拼成了图④，图⑤，图⑥的图形，图④，图⑤，图⑥中的阴影部分面积分别记为S1，S2，S3；
①S1= ▲ ，S2= ▲ ，S3= ▲ （用含a， b的代数式表示）；
②若3S2-S1=108，S3=9，求图⑥中大正方形的面积．
22．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”.
（1）方程组的解与 项“具有”或“不具有”“邻好关系”；
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值；
（3）未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由.
（4）【拓展】若一个关于的方程的解为，则称之为“成章方程”如：的解为，而；的解为，而.
请直接写出关于的“成章方程”的解：.
若关于的方程为“成章方程”，请直接写出关于的方程的解：.
五、综合题
23．已知某物流公司租用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；租用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.该物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完.
（1）问租用1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）为完成运输任务，且同时租用A型与B型两种车辆，请你帮该物流公司设计租车方案.
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次.请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
24．小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框：
小明的作业 计算：． 解： ．
请你参考小明的方法解答下列问题．
计算：
（1）；
（2）．
25．若x满足，求的值．
解：设，则
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，求的值；
（2）若x满足，求代数式的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．C
2．B
3．B
4．D
5．D
6．A
7．D
8．D
9．B
10．A
11．
12．4
13．2a(a+2)(a-2)
14．6
15．
16．-3；8404
17．解：原式=
18．解：设一只粽子x元，一枚咸鸭蛋y元．
根据题意得，
解得：
答：一只粽子5元，一枚咸鸭蛋3元．
19．（1）
（2）解：方法一：利用整体思想，边长为的正方形其面积为，
方法二：利用分割思想，阴影部分面积边长为的大正方形面积个长为宽为的矩形面积，
三个代数式之间的数量关系为：，或：；
（3）解：，且，
，
（4）；12；14
（5）
（6）解：，
．
20．（1）
（2）解：因为，
，
，
且，
所以，
所以．
21．（1）5ab
（2）解：①3ab-3b2；3ab-b2；a2-2ab+b2；
②∵3S2-S1=108，S3 =9，
∴3（3ab-b2） - （3ab-3b） = 108，a- 2ab+b2=9．
由3（3ab-b2）-（3ab-3b2）=108，得：ab=18．
将ab=18代人a2-2ab+b2=9，得： a2+b2=9+2ab= 45．
∴图⑥中大正方形的面积为：
S=（a+b）2 =a2+b2 + 2ab=45+2×18=81
22．（1）具有
（2）解：方程组，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为，
，
，
或
（3）解：方程两式相加得：，
，，均为正整数，
或或舍去或舍去，
在上面符合题意的两组解中，只有时，，
，方程组的解为
（4）解：y=4
23．（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货x吨，y吨.
根据题意，得，
解得
答：1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨.
（2）解：根据题意和（1），得.
∵a.b均为非负整数，
∴或
∴共有两种租车方案：
①租A型车6辆，B型车2辆；②租A型车2辆，B型车5辆
（3）解：方案①的租金为：6×100+2×120=840（元）.
方案②的租金为：2×100+5×120=800（元）.
∵840＞800，
∴最省钱的租车方案为方案②，租车费用为800元.
24．（1）解：
；
（2）解：
．
25．（1）解：设（5－x）＝a，（x－2）＝b，
则（5－x）（x－2）＝ab＝2，
a＋b＝（5－x）＋（x－2）＝3，
∴（5－x）2＋（x－2）2
＝（a＋b）2－2ab
＝32－2×2
＝5；
（2）解：设（6－x）＝a，（3－x）＝b，
（6－x）（3－x）＝ab＝1，
a－b＝（6－x）－（3－x）＝3，
∵（a＋b）2
＝（a－b）2＋4ab
＝13，
∴（a＋b）2＝13，
∵（6－x）＋（3－x）＝a＋b，
∴9－2x＝a＋b，
∴（9－2x）2＝（a＋b）2＝13．
（3）解：∵正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，
∴MF＝DE＝x－3，DF＝x－5，
∴（x－3） （x－5）＝48，
∴（x－3）－（x－5）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2．
设（x－3）＝a，（x－5）＝b，则（x－3）（x－5）＝ab＝48，
a－b＝（x－3）－（x－5）＝2，
∴
∴a＋b＝14，（负根舍去）
∴（x－3）2－（x－5）2＝a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
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