高中数学选择性必修第一册：1-2 空间向量基本定理-教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 高中数学选择性必修第一册：1-2 空间向量基本定理-教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 296.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-07 16:41:26 | ||
图片预览
文档简介
教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季
课题 1.2 空间向量基本定理
教科书 书 名：选择性必修第一册 出版社：人民教育出版社
教学目标
1.理解空间向量基本定理的意义. 2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示. 3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量. 4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角.
教学内容
1、教学重点 空间向量基本定理. 2、教学难点 对空间向量基本定理的理解与应用，空间向量基本定理的空间作图.
教学过程
一：温故知新 平面向量的基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 设计意图：通过平面向量基本定理与空间向量基本定理进行对比，让学生在原有的知识基础上加深对新知识的理解，在对比的过程中进行转化化归。 二．探究新知 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 如图所示，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则.又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得，从而. 而在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得.从而. 因此，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得.我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的分向量. 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？ 类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理. 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得. 由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来，进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便. 设计意图：从三个基向量相互垂直出发，步步深入，通过层层递进的几个追问，使学生体验到空间向量与平面向量的联系与区别，积累学生的基本活动经验，发展学生的直观想象和逻辑推理素养. 三．典例分析 例1 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON，AP=AN,用向量 , , 表示. 分析： , , 是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底，利用向量加法的三角形法则，可以用基底 表示出来. 解：= + = +=+= +=+=. 设计意图：理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量. 例2：如图 1.2-3,在平行六面体 中，,，分别为的中点，求证: . 证明：设, 这三个向量不共 面，构成空间的一个基底， 由已知，， 所以 所以. 设计意图：会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题. 例3如图1.2-4， 正方体的棱长为 1, 分别为的中点. （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值. 解：（1）证明：设，则构成空间的一个单位正交基底. 所以， 所以，所以. （2）因为 所以 所以与所成角的余弦值为. 设计意图：会用空间向量基本定理解决简单的求角问题. 课堂小结 空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量， 存在唯一的有序实数组，使得.【基底】若三个向量不共面，则叫做空间的一个基底，都叫做基向量.单位正交基底中的三个基向量两两垂直且为单位向量. 称为空间向量的正交分解.
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季
课题 1.2 空间向量基本定理
教科书 书 名：选择性必修第一册 出版社：人民教育出版社
教学目标
1.理解空间向量基本定理的意义. 2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示. 3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量. 4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角.
教学内容
1、教学重点 空间向量基本定理. 2、教学难点 对空间向量基本定理的理解与应用，空间向量基本定理的空间作图.
教学过程
一：温故知新 平面向量的基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 设计意图：通过平面向量基本定理与空间向量基本定理进行对比，让学生在原有的知识基础上加深对新知识的理解，在对比的过程中进行转化化归。 二．探究新知 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 如图所示，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则.又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得，从而. 而在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得.从而. 因此，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得.我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的分向量. 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？ 类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理. 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得. 由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来，进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便. 设计意图：从三个基向量相互垂直出发，步步深入，通过层层递进的几个追问，使学生体验到空间向量与平面向量的联系与区别，积累学生的基本活动经验，发展学生的直观想象和逻辑推理素养. 三．典例分析 例1 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON，AP=AN,用向量 , , 表示. 分析： , , 是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底，利用向量加法的三角形法则，可以用基底 表示出来. 解：= + = +=+= +=+=. 设计意图：理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量. 例2：如图 1.2-3,在平行六面体 中，,，分别为的中点，求证: . 证明：设, 这三个向量不共 面，构成空间的一个基底， 由已知，， 所以 所以. 设计意图：会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题. 例3如图1.2-4， 正方体的棱长为 1, 分别为的中点. （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值. 解：（1）证明：设，则构成空间的一个单位正交基底. 所以， 所以，所以. （2）因为 所以 所以与所成角的余弦值为. 设计意图：会用空间向量基本定理解决简单的求角问题. 课堂小结 空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量， 存在唯一的有序实数组，使得.【基底】若三个向量不共面，则叫做空间的一个基底，都叫做基向量.单位正交基底中的三个基向量两两垂直且为单位向量. 称为空间向量的正交分解.