(共15张PPT)
ZPZ
空间“角度”问题
1.异面直线所成角
l
m
l
m
若两直线 所成的角为 , 则
复习引入
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为
其中AB
D
C
L
B
A
2、二面角
注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角
L
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，
则二面角 的大小 ＝〈 〉
2、二面角
若二面角 的大小为 , 则
②法向量法
A
B
n
3. 线面角
设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所成的角为 ，向量 与n所成的角为 ，
则
n
而利用 可求 ，
从而再求出
3. 线面角
l
设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______ .
3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______ .
基础训练:
1、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是______ .
600
1350
N
解：如图建立坐标系A-xyz,则
即
在长方体 中，
例1：
N
又
在长方体 中，
例1：
例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= .
(1)求证
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。
S
A
B
C
D
O
x
y
z
【典例剖析】
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
【典例剖析】
D
B
A
C
E
P
x
z
y
解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，
设BE=m，则
例4、(2004，天津)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。
(1)证明：PA//平面EDB；
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
【典例剖析】
A
B
C
D
P
E
G
x
y
z
【巩固练习】
1 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_________ .
2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
角的余弦值为_________ .
3正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__________
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：
(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值
(2)OS与面SAB所成角的余弦值
(3)二面角B－AS－O的余弦值
O
A
B
C
S
x
y
z
【课后作业】(共30张PPT)
研究
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.
共线向量定理:
复习：
共面向量定理:
思考1：
1、如何确定一个点在空间的位置？
2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
O
P
一、点的位置向量
A
B
P
二、直线的向量参数方程
此方程称为直线的向量参数方程。这样点A和向量 不仅可以确定直线 l的位置，还可以具体写出l上的任意一点。
P
O
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
这样，点O与向量 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 内的任意一点。
三、平面的法向量
A
平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量.
给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有
l
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？
思考2：
四、平行关系：
五、垂直关系：
巩固性训练1
1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
平行
垂直
平行
巩固性训练2
1.设 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
垂直
平行
相交
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。
2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= .
3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .
例3、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线，且
求证：
六、夹角：
l
m
l
l
m
l
l
m
l
m
l
l(共18张PPT)
3.1.4空间向量的正交分
解及其坐标表示
l
α
O
P
例1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射影，
A
l
α
O
P
A
已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射影，
a
分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.
α
n
l
m
g
n
z
m
g
l
例2 如图，m,n是平面α内的两条相交直线。如果l⊥m,l⊥n,求证：l⊥α
3.1.4空间向量的正交分
解及其坐标表示
共线向量定理:
复习：
共面向量定理:
平面向量基本定理：
平面向量的正交分解及坐标表示
x
y
o
问题：
我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
x
y
z
O
Q
P
由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得
我们称 为向量 在
上的分向量。
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量
代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的
结论吗？
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
空间向量基本定理：
如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使
都叫做基向量
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确：
（2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)
二、空间向量的直角坐标系
x
y
z
O
e1
e2
e3
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使 OA=xe1+ye2+ze3
在单位正交基底e1, e2, e3中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
x
y
z
O
A(x,y,z)
e1
e2
e3
练习：
1、在空间坐标系o-xyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 ，点B的坐标为 。
2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关于轴的对称点为 ，
例题
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.
B
O
A
C
P
N
M
Q
1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．
求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
练习
练习2(共12张PPT)
当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”
< >=π—θ（或θ），
a
b
C
D
A
B
CD为a,b的公垂线
则
A，B分别在直线a,b上
已知a,b是异面直线，n为a的法向量
异面直线间的距离
即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长，
z
x
y
A
B
C
C1
即
取x=1,则y=-1,z=1,所以
E
A1
B1
x
y
z
A
B
C
D
E
2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成
角为 ，且 ，求四面体DABC的体积。
3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=
（1）求MN的长；
（2）a 为何值时？MN的长最小？
（3）当MN的长最小时，
求面MNA与面MNB所成
二面角的余弦值。
A
B
C
D
E
F
M
N
4、如图6，在棱长为 的正方体 中，
分别是棱AB,BC上的动点，且 。
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
5、如图，平行六面体 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 的长为b ,且
求（1） 的长；
（2）直线 与AC夹角的余弦值。
A
B
C
D
6、如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2，
E是PB的中点， 。
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面内求一点F，使EF 平面PCB。
A
B
C
D
P
E(共20张PPT)
一、平面向量复习
⒈定义：
既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：
用有向线段表示；
字母表示法：
用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 表示．
相等的向量：
长度相等且方向相同的向量．
A
B
C
D
⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法：
a
b
a+b
平行四边形法则
a
b
a+b
三角形法则(首尾相连)
⑵向量的减法
a
b
a-b
三角形法则
减向量终点指向被减向量终点
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律：
a＋b＝b＋a
加法结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
二、空间向量及其加减运算
⒈空间向量：
空间中具有大小和方向的量叫做向量．
⑴定义：
⑵表示方法：
①空间向量的表示方法和平面向量一样；
③空间任意两个向量都可以用同一平面
内的两条有向线段表示．
②同向且等长的有向线段表示同一向量或
相等的向量；
2.空间向量的加法、减法向量
a + b
a
b
A
B
b
C
O
a - b
⒊空间向量加法运算律
⑴加法交换律：
a + b = b + a；
⑵加法结合律：
(a + b) + c =a + (b + c)；
a
b
c
a + b + c
a
b
c
a + b + c
a + b
b + c
对空间向量的加法、减法的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立．
⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加．
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量 满足 ，则 ；
（3）在正方体 中，必有 ；
（4）若空间向量 满足 ，则 ；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
C
变式：如图所示，长方体中，AD=2，AA1=1，AB=3。
（1）是写出与 相等的所有向量；
（2）写出与向量 的相反向量。
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A1
D1
C1
B1
B
A
C
D
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
a
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
例2
解：
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例3、在如图所示的平行六面体中，
求证：
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
变式：
已知平行六面体 则下列四式中：
其中正确的是 。
例4、如图所示，在正方体 中，下列各式中运算的结果为向量 的共有（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
变式：
平面向量
概念
加法
减法
数乘
运算
运
算
律
定义
表示法
相等向量
减法:三角形法则
加法:三角形法则或
平行四边形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法交换律
加法结合律
小结
加法交换律
加法结合律
类比、数形结合(共16张PPT)
ZPZ
空间“距离”问题
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（化为向量问题）
（进行向量运算）
（回到图形）
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式 或
(其中 ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
图1
解：如图1，设
化为向量问题
依据向量的加法法则，
进行向量运算
所以
回到图形问题
这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
分析:
分析:
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
H
分析：面面距离
点面距离
解：
∴ 所求的距离是
问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？
2、向量法求点到平面的距离：
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
A
P
D
C
B
M
N
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz
则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )
A
P
D
C
B
M
N
z
x
y
2.(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
B
A
C
D
当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”
< >=π—θ（或θ），
a
b
C
D
A
B
CD为a,b的公垂线
则
A，B分别在直线a,b上
已知a,b是异面直线，n为a的法向量
3. 异面直线间的距离
即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长，
z
x
y
A
B
C
C1
即
取x=1,则y=-1,z=1,所以
E
A1
B1
小结
1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, 为平面α的法向量,则点E到平面的
距离为:
2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b
上的点, 是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为(共23张PPT)
空间“综合”问题
复习引入
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：
(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值
(2)OS与面SAB所成角的余弦值
(3)二面角B－AS－O的余弦值
O
A
B
C
S
x
y
z
【课后作业】
z
x
y
F1
F2
F3
A
C
B
O
500kg
例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 、 、 ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 ，且 .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？
F1
F3
F2
F1
F2
F3
A
C
B
O
500kg
F1
F3
F2
例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
A
B
C
D
P
E
F
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
G
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
G
(2)求证：PB⊥平面EFD
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
(3)求二面角C-PB-D的大小。
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”
< >=π—θ（或θ），
a
b
C
D
A
B
CD为a,b的公垂线
则
A，B分别在直线a,b上
已知a,b是异面直线，n为a的法向量
异面直线间的距离
即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长，
z
x
y
A
B
C
C1
即
取x=1,则y=-1,z=1,所以
E
A1
B1
x
y
z
A
B
C
D
E
2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成
角为 ，且 ，求四面体DABC的体积。
3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=
（1）求MN的长；
（2）a 为何值时？MN的长最小？
（3）当MN的长最小时，
求面MNA与面MNB所成
二面角的余弦值。
A
B
C
D
E
F
M
N
4、如图6，在棱长为 的正方体 中，
分别是棱AB,BC上的动点，且 。
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
5、如图，平行六面体 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 的长为b ,且
求（1） 的长；
（2）直线 与AC夹角的余弦值。
A
B
C
D(共18张PPT)
3.1.2空间向量的
数乘运算
*
加法交换律
加法:三角形法则或
平行四边形法则
减法:三角形法则
加法结合律
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.
*
a
b
a
b
b
b
我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢
*
?
例如:
一、
*
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
F
E
D
C
B
A
*
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
G
M
*
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
例2、平行六面体 ，M分 成的
比为 ，N分 成的比为2，设
试用
表示 。
*
例3、已知 是平行六面体。
（1）化简 ，并在图中标出其结果；
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面 对角线
上的3/4分点，设 ，试求
的值。
练习：
如图，已知正方体 ，点E是上底面
的中心，求下列各式中x、y、z的值：
*
二、共线向量及其定理
*
二、共线向量及其定理
*
l
A
P
B
即，P,A,B三点共线。或表示为：
*
分析:
证三点共线可尝试用向量来分析.
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 ，求 的值.
N
*
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 ，求 的值.
学习共面
*
例4、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且
求证：四边形EFGH是梯形。
*
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。
*
*
*
A
M
C
G
D
B(共14张PPT)
3.1.3空间向量的
数量积运算
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]
二、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
B
B1
A
A1
不一定为锐角
不一定为钝角
三、空间两个向量的数量积的性质
(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相
同的性质.
(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是
用来求两个向量的夹角．
(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
向量数量积的运算适合乘法结合律吗
即(a b)c一定等于a(b·c)吗
注意：
数量积不满足结合律即
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．
如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：
练习1
A
B
C
D
E
F
G
在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
练习2
练习3
解：
已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．
证明：
练习4
练习5
如图，在正三棱柱 中，若 ，
则 与 所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.(共23张PPT)
ZPZ
空间“角度”问题
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（化为向量问题）
（进行向量运算）
（回到图形）
向量的有关知识：
两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉
两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 =
直线的方向向量：与直线平行的非零向量
平面的法向量：与平面垂直的向量
(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
B
A
C
D
二面角的平面角
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为
其中AB
D
C
L
B
A
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，
化为向量问题
根据向量的加法法则
进行向量运算
于是，得
设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。
因此
A
B
C
D
图3
所以
回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
思考：
（1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，
其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
A
B
C
D
图3
分析：
∴ 可算出 AB 的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？
分析：如图，设以顶点 为端点的对角线
长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
分析：
二面角
平面角
向量的夹角
回归图形
解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作
A1E⊥AB 于点 E，
E
F
在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
空间“夹角”问题
1.异面直线所成角
l
m
l
m
若两直线 所成的角为 , 则
例2
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：
所以：
所以 与 所成角的余弦值为
练习：
在长方体 中，
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为
其中AB
D
C
L
B
A
2、二面角
注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角
L
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，
则二面角 的大小 ＝〈 〉
2、二面角
若二面角 的大小为 , 则
②法向量法
例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角
的余弦值。
C
A
D
B
C1
B1
A1
解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,
则 C(0,0,0)
故
则可设 =1， ，则B(0,1,0)
y
x
z
C
A
D
B
C1
B1
A1
F
E
作 于E, 于F，
则〈 〉即为二面角 的大小
在 中，
即E分有向线段 的比为
由于 且 ，所以
在 中，同理可求
∴
cos〈 〉=
∴
即二面角 的余弦值为
y
x
z
C
A
D
B
C1
B1
A1
F
E
解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz
在坐标平面yoz中
设面 的一个法向量为
同法一，可求 B(0,1,0)
∴
可取 ＝(1,0,0)为面 的法向量
∴
y
x
z
C
A
D
B
C1
B1
A1
由 得
解得
所以，可取
二面角 的大小等于〈 〉
∴
∴
cos〈 〉=
即二面角 的余弦值为
方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角
1. 已知正方体 的边长为2，
O为AC和BD的交点，M为 的中点
（1） 求证： 直线 面MAC
（2）求二面角 的余弦值
巩固练习
B1
A1
C1
D1
D
C
B
A
O
M
A
B
n
2. 线面角
设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所成的角为 ，向量 与n所成的角为 ，
则
n
而利用 可求 ，
从而再求出
2. 线面角
l
设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则(共17张PPT)
3.1.2空间向量的
数乘运算（二）
*
一、共线向量:
零向量与任意向量共线.
1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作
2.共线向量定理:对空间任意两个向量
的充要条件是存在实数 使
*
O
A
B
P
a
若P为A,B中点,
则
向量参数表示式
推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式
其中向量 叫做直线 的方向向量.
若
则A、B、P三点共线。
3—1—2
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。
3—1—2*
1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋a2 e2
2、平面向量基本定理
复习：
*
（1）必要性：如果向量c与向量a，b共面，
则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，
由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，
使c＝x a＋y b
3、共面向量定理：
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使 c＝x a＋y b
证明：
（2）充分性：如果c 满足关系式c＝xa＋yb，则可选定一点O，作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝c，显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故c，a，b共面
B
A
C
O
c
*
共面向量定理的剖析
如果两个向量 a，b 不共线,
★ 向量c与向量a，b共面
存在唯一的一对实数x，y，使 c＝xa＋yb
★ c＝xa＋yb
向量c与向量a，b共面
(性质)
(判定)
*
*
思考2（课本P88思考）
即，P、A、B、C四点共面。
*
得证.
为什么
*
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C三点共面：
*
例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平
面AC外一点O引向量 , ,
, ,
求证：
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC.
*
例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG.
证明：
∵四边形ABCD为
①
∴
（﹡）
（﹡）代入
所以 E、F、G、H共面。
*
例2 已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG。
证明：
由面面平行判定定理的推论得：
②
由①知
*
1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
(A)若 ，则P、A、B共线
(B)若 ，则P是AB的中点
(C)若 ，则P、A、B不共线
(D)若 ，则P、A、B共线
2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O， , 则x的值为( )
*
1.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面
*
例3：已知斜三棱柱ABC-A’B’C’，设AB＝a，AC＝b，AA’＝c，在面对角线AC’上和棱BC上分别取点M和N，使AM＝kAC’，BN＝kBC（0≤k≤1）。
求证：MN与向量 a 和 c 共面
变式：
求证：MN∥平面ABB’A’
M
N
C
B
A’
C’
B’
a
c
b
A(共21张PPT)
3.1.5空间向量运算的
坐标表示
1．空间向量的基本定理：
2．平面向量的坐标表示及运算律：
一．复习回顾
若是 空间的一个基底， 是空间任意一向量，存在唯一的实数组使．
1．空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1，
这个基底叫单位正交基底
(2)在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴 ，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 ,点 叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，
分别称为 平面， 平面，
平面；
一．复习回顾
（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
（3）作空间直角坐标系 时，一般使
2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量 ，设 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组 ，使 ，
有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作 ．
在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，
记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标．
一、向量的直角坐标运算
新课
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
二、距离与夹角
在空间直角坐标系中，已知 、
，则
（2）空间两点间的距离公式
2.两个向量夹角公式
注意：
（1）当 时， 同向；
（2）当 时， 反向；
（3）当 时， 。
思考：当 及
时，夹角在什么范围内？
例1．已知
解:
三、应用举例
三、应用举例
例2 已知 、 ，求：
（1）线段 的中点坐标和长度；
解：设 是 的中点，则
∴点 的坐标是 .
（2）到 两点距离相等的点 的
坐标 满足的条件。
解：点 到 的距离相等，则
化简整理，得
即到 两点距离相等的点的坐标 满
足的条件是
解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 ，则
例3 如图, 在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值.
证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单
位长度,设
分别以 为坐标向量建立空间直
角坐标系 则
例4． 在正方体
练习 3 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分别是 的中点,并且 ,求证:
证明:
分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则
练习4：如图，已知线段AB α，AC⊥α，BD⊥AB，DE ⊥α ，∠DBE=30 ，如果AB=6，AC=BD=8，求CD的长及异面直线CD与AB所成角的大小。
练行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60 ，E、 H、F分别是D1C1 、AB、CC1的中点。（1）求AC1的长；（2）求BE的长；（3）求HF的长；（4）求BE与HF所成角的大小。
10
证明:
设正方体的棱长为1,
建立如图的空间直角坐标系
x
y
z
A1
D1
C1
B1
A
C
B
D
F
E
