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9.1随机抽样
一、简单随机抽样
1）总体、个体、样本、样本容量的概念以及统计的基本思想方法
总体：所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看作总体．
个体：构成总体的每一个元素作为个体．
样本：从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本．
样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．
统计的基本思想方法：用样本估计总体，即通常不去直接去研究总体，而是通过从总体中随机抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况．
2）简单随机抽样的概念：
从元素个数为的总体中不放回地抽取容量为样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．
3）简单随机抽样的特点：
① 被抽取样本的总体的个数有限；
② 从总体中逐个地进行抽取，使抽样便于在实践中操作；
③ 它是不放回抽样，使其具有广泛的应用性；
④ 它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是，保证了抽样方法的公平性．
4）常用的简单随机抽样方法：
① 抽签法：把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一张号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．
a 抽签法的步骤：
ⅰ 编号，即给总体中的所有个体编号，号码可以从到．
ⅱ 制签，即将这个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）
ⅲ 搅拌均匀，即将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．
ⅳ 逐个不放回抽取，即从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取次．
b 抽签法的优缺点：
ⅰ 优点：简单易行．
ⅱ 缺点：当总体的容量非常大时，费时、费力又不方便．况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样的不公平．
② 随机数表法:随机数表是由，，，...，这个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同．通过，随机数表，根据实际需要和方便使用的原则，将几个数组合成一组，然后通过随机数表抽取样本．
a 随机数表法的步骤：
ⅰ 编号，即将总体中的所有个体进行编号（每个号码位数一致）；
ⅱ 在随机数表中任选一个数作为起始号码；
ⅲ 从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中，则跳过，若再编号中，则取出，如果得到的号码前面已经取出，也跳过，如此继续下去，直到取满为止；
b 随机数表法的优缺点：
ⅰ 优点： 简单易行，它很好的解决了用抽签法当总体中的个体数较多时制签难的问题．
ⅱ 缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本容量也很大时，用随机数表法抽取仍不方便．
5）简单随机抽样的应用
常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．抽签法一般适用于容量较小的总体，易于操作；随机数表法解决了制签比较麻烦的问题，但在利用“随机数表法”进行简单随机抽样时，要严格按照课本中介绍的步骤，否则易出错误．结合具体的问题，我们应灵活使用这两种方法．
二、分层抽样
1）分层抽样的概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这样的抽样方法叫做分层抽样．
2）分层抽样的步骤：
① 分层，即将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分；
② 按比例确定每层抽取个体的个数；
③ 各层抽样，即各层中采用简单随机抽样或系统抽样抽取相应的个数；
④ 汇合成样本．
3）分层抽样的特点
① 适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
② 更充分的反映了总体的情况；
③ 它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是．
【题干】为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省市的名城镇居民，则该问题中的名城镇居民是（ ）
A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本容量
【题干】在简单抽样中，某一个个体被抽的可能是（ ）
A. 与第次抽样有关，第一次抽中的可能性大些
B. 与第次抽样无关，每次抽中的可能性相等
C. 与第次抽样有关，最后一次抽中的可能性较大
D. 与第次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一样
【题干】现从件产品中随机抽出件进行质量检验．下列说法正确的是（ ）
A. 件产品是总体 B. 件产品是样本
C. 样本容量是 D. 样本容量是
【题干】利用简单随机抽样从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则总体中每个个体被抽到的可能是（ ）
A. B. C. D.
【题干】对总数为的一批零件抽取一容量为的样本，若每个零件被抽取的可能性为，则为（ ）
A. B. C. D.
【题干】将全班同学按学号编号,制作相应的卡片号签,放入同一个箱子里均匀搅拌,从中抽出个号签,就相应的名学生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱）进行调查用的是________法．
【题干】某单位对口支援西部开发，现从报名的名志愿者中选取人组成志愿小组到西藏工作年，请用抽签法设计抽样方案.
【题干】欲从本班名学生中随机抽取名学生参加交通安全知识竞赛，试用随机表法确定这名学生．
【题干】人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时，开始按次序起牌，对任何一家来说，都是从张总体中抽取张的样本．问这样的抽样方法是否为简单随机抽样？
【题干】为了了解全校名学生的身高情况，从中抽取名学生进行测量，下列说法正确的是（ ）
A. 总体是 B. 个体是每一个学生
C. 样本是名学生 D. 样本容量是
【题干】某城市有学校所，其中大学所，中学所．现在取所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样进行抽样，应该选取大学________所．
【题干】某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有种、种、种、种，现从中抽取一个容量为的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A. B. C. D.
【题干】某校共有学生名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取名，抽到二年级女生的概率是，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取人，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）
一年级 二年级 三年级
女生
男生 =
A. B. C. D.
【题干】某学校共有师生人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从学生中抽取的人数为，那么该学校的教师人数是________．
【题干】某校高三年级一共有个学生，其中女生人．为了解该年级学生的健康情况，使用分层抽样法进行抽样调查．已知从男生中任意抽取了人，则需要从女生中任意抽取________人进行调查．
【题干】某中学高中部有三个年级，其中高一有学生人，采用分层抽样抽取一个容量为的样本，高二年级抽取人，高三年级抽取人，问高中部共有多少学生？
【题干】为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从三个区中抽取个工厂进行调查．已知区中分别有个工厂．求从区中应分别抽取的工厂个数.
【题干】某单位名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按编号，并按编号顺序平均分为组（号，号，…，号）．若第组抽出的号码为，则第组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则岁以下年龄段应抽取________人．
【题干】某工厂生产了某种产品件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查产品的质量，决定采用分层抽样法进行抽样．已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个数成等差数列，则乙生产了________件产品．
【题干】某单位名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按编号，并按编号顺序平均分为组（号，号，…，号）．若第组抽出的号码为，则第组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则岁以下年龄段应抽取________人．
【题干】从名女生，名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【题干】某初级中学共有学生名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生
男生
已知在全校学生中随机抽取名，抽到初二年级女生的概率是．
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知，，求初三年级中女生比男生多的概率．
【题干】一汽车厂生产三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：
轿车 轿车 轿车
舒适型
标准型
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆．
（1）求的值．
（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为的样本．将该样本看成一个总体，从中任取辆，求至少有辆舒适型轿车的概率；
（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取辆，经检测它们的得分如下：，，，，，，，．把这辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过的概率．
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9.1随机抽样
一、简单随机抽样
1）总体、个体、样本、样本容量的概念以及统计的基本思想方法
总体：所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看作总体．
个体：构成总体的每一个元素作为个体．
样本：从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本．
样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．
统计的基本思想方法：用样本估计总体，即通常不去直接去研究总体，而是通过从总体中随机抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况．
2）简单随机抽样的概念：
从元素个数为的总体中不放回地抽取容量为样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．
3）简单随机抽样的特点：
① 被抽取样本的总体的个数有限；
② 从总体中逐个地进行抽取，使抽样便于在实践中操作；
③ 它是不放回抽样，使其具有广泛的应用性；
④ 它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是，保证了抽样方法的公平性．
4）常用的简单随机抽样方法：
① 抽签法：把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一张号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．
a 抽签法的步骤：
ⅰ 编号，即给总体中的所有个体编号，号码可以从到．
ⅱ 制签，即将这个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）
ⅲ 搅拌均匀，即将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．
ⅳ 逐个不放回抽取，即从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取次．
b 抽签法的优缺点：
ⅰ 优点：简单易行．
ⅱ 缺点：当总体的容量非常大时，费时、费力又不方便．况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样的不公平．
② 随机数表法:随机数表是由，，，...，这个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同．通过，随机数表，根据实际需要和方便使用的原则，将几个数组合成一组，然后通过随机数表抽取样本．
a 随机数表法的步骤：
ⅰ 编号，即将总体中的所有个体进行编号（每个号码位数一致）；
ⅱ 在随机数表中任选一个数作为起始号码；
ⅲ 从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中，则跳过，若再编号中，则取出，如果得到的号码前面已经取出，也跳过，如此继续下去，直到取满为止；
b 随机数表法的优缺点：
ⅰ 优点： 简单易行，它很好的解决了用抽签法当总体中的个体数较多时制签难的问题．
ⅱ 缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本容量也很大时，用随机数表法抽取仍不方便．
5）简单随机抽样的应用
常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．抽签法一般适用于容量较小的总体，易于操作；随机数表法解决了制签比较麻烦的问题，但在利用“随机数表法”进行简单随机抽样时，要严格按照课本中介绍的步骤，否则易出错误．结合具体的问题，我们应灵活使用这两种方法．
二、分层抽样
1）分层抽样的概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这样的抽样方法叫做分层抽样．
2）分层抽样的步骤：
① 分层，即将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分；
② 按比例确定每层抽取个体的个数；
③ 各层抽样，即各层中采用简单随机抽样或系统抽样抽取相应的个数；
④ 汇合成样本．
3）分层抽样的特点
① 适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
② 更充分的反映了总体的情况；
③ 它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是．
【题干】为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省市的名城镇居民，则该问题中的名城镇居民是（ ）
A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本容量
【答案】C
【解析】根据随机抽样的定义以及抽样包含要素的定义可解答本题.
【题干】在简单抽样中，某一个个体被抽的可能是（ ）
A. 与第次抽样有关，第一次抽中的可能性大些
B. 与第次抽样无关，每次抽中的可能性相等
C. 与第次抽样有关，最后一次抽中的可能性较大
D. 与第次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一样
【答案】B
【解析】每个个体被抽到的可能性是相等的，与抽签次序无关.
【题干】现从件产品中随机抽出件进行质量检验．下列说法正确的是（ ）
A. 件产品是总体 B. 件产品是样本
C. 样本容量是 D. 样本容量是
【答案】D
【解析】本题考查的对象是件产品的质量，故总体是件产品的质量；个体是件产品的质量;样本是所抽取的件产品的质量，故样本容量是.
【题干】利用简单随机抽样从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则总体中每个个体被抽到的可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是.
【题干】对总数为的一批零件抽取一容量为的样本，若每个零件被抽取的可能性为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为每个零件被抽取的概率为，所以，所以.
【题干】将全班同学按学号编号,制作相应的卡片号签,放入同一个箱子里均匀搅拌,从中抽出个号签,就相应的名学生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱）进行调查用的是________法．
【答案】抽签
【解析】根据简单随机抽样可知，这属于抽签法.
【题干】某单位对口支援西部开发，现从报名的名志愿者中选取人组成志愿小组到西藏工作年，请用抽签法设计抽样方案.
【答案】见解析
【解析】抽签法：
第一步：将名志愿者编号，编号为，，，...，.
第二步：将个号码分别写在张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；
第三步：将个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；
第四步：从盒子中逐个抽取个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.
【题干】欲从本班名学生中随机抽取名学生参加交通安全知识竞赛，试用随机表法确定这名学生．
【答案】见解析
【解析】用随机数表抽样的步骤：第一步是将总体中的个体编号；第二步是选定开始的数字；第三步是确定读数方向，获取样本号码.利用随机数表抽取个体时，表中的任一个数都可以作为开始的第一个数，要指明该数所在的行与列，另外读数的方向是任意的，向左、向右、向上或向下都行.
【题干】人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时，开始按次序起牌，对任何一家来说，都是从张总体中抽取张的样本．问这样的抽样方法是否为简单随机抽样？
【答案】不是
【解析】简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取. 而这里只是随机确定了起始张，这时其他各张虽然是逐张起牌的，其实各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样，据其等距起牌的特点应将其定位在系统抽样.
【难度】***
【题干】为了了解全校名学生的身高情况，从中抽取名学生进行测量，下列说法正确的是（ ）
A. 总体是 B. 个体是每一个学生
C. 样本是名学生 D. 样本容量是
【答案】D
【解析】本题考查的对象是名高一学生的身高情况，故总体是名高一学生的身高情况；个体是每个学生的身高情况；样本是名学生的身高情况，故样本容量是.
【题干】某城市有学校所，其中大学所，中学所．现在取所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样进行抽样，应该选取大学________所．
【答案】
【解析】因为三所学校共有高中学生人，现在采用分层抽样方法从所有学生中抽取人. 每个个体被抽到的概率是.因为大学所，中学所，小学所.
所以用分层抽样进行抽样，应该选取大学所，中学所，小学所.
【难度】*
【题干】某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有种、种、种、种，现从中抽取一个容量为的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设分别抽取粮食类、植物油类、动物性食品类、果蔬类、、、种，则，得，故植物油与果蔬类视频种类之和是.
【难度】*
【题干】某校共有学生名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取名，抽到二年级女生的概率是，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取人，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）
一年级 二年级 三年级
女生
男生 =
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，在全校学生中随机抽取名，抽到初二年级女生的概率是，
有，解可得.则初三年级人数为，现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，应在初三年级抽取的人数为.
【难度】*
【题干】某学校共有师生人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从学生中抽取的人数为，那么该学校的教师人数是________．
【答案】
【解析】因为有师生人，抽取一个容量为的样本，所以，
因为，所以.
【难度】*
【题干】某校高三年级一共有个学生，其中女生人．为了解该年级学生的健康情况，使用分层抽样法进行抽样调查．已知从男生中任意抽取了人，则需要从女生中任意抽取________人进行调查．
【答案】
【解析】每个个体被抽到的概率等于，应抽取女生的人数为（人）.
【难度】**
【题干】某中学高中部有三个年级，其中高一有学生人，采用分层抽样抽取一个容量为的样本，高二年级抽取人，高三年级抽取人，问高中部共有多少学生？
【答案】
【解析】高一年级抽取的学生数为，每个个体被抽到的概率等于，高中部的学生数为.
【难度】**
【题干】为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从三个区中抽取个工厂进行调查．已知区中分别有个工厂．求从区中应分别抽取的工厂个数.
【答案】，，
【解析】工厂总数为，样本容量与总体中的个体数的比为，
所以从，，三个区中应分别抽取的工厂个数为，，.
【难度】**
【题干】某单位名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按编号，并按编号顺序平均分为组（号，号，…，号）．若第组抽出的号码为，则第组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则岁以下年龄段应抽取________人．
【答案】，
【解析】因为将全体职工随机按编号，并按编号顺序平均分为组，由分组可知，抽号的间隔为，因为第组抽出的号码为，所以第组抽出的号码为，第组抽出的号码为，第组抽出的号码为.岁以下的年龄段的职工数为，则应抽取的人数为（人）.
【难度】**
【题干】某工厂生产了某种产品件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查产品的质量，决定采用分层抽样法进行抽样．已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个数成等差数列，则乙生产了________件产品．
【答案】；
【解析】根据分层抽样的抽样比相等知：甲、乙、丙三条生产线生产的产品数量比等于抽取的样品容量比．又这三条生产线抽取的产品个数成等差数列，根据等差数列的性质知，它们生产的产品也成等差数列．又乙生产线生产的产品数量为甲、丙的等差中项，且和为，故乙生产的产品数量为：件．
【难度】****
【题干】某单位名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按编号，并按编号顺序平均分为组（号，号，…，号）．若第组抽出的号码为，则第组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则岁以下年龄段应抽取________人．
【答案】，
【解析】由分组可知，抽号的间隔为，又因为第组抽出的号码为，所以第组抽出的号码为，第组抽出的号码为，第组抽出的号码为．岁以下年龄段的职工数为，则应抽取的人数为人．
【难度】****
【题干】从名女生，名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A；
【解析】由比例知抽取的人中，有个女生，个男生，于是问题转化为在名女生中抽出个女生，名男生中抽出个男生的抽法数．易知答案为
【难度】**
【题干】某初级中学共有学生名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生
男生
已知在全校学生中随机抽取名，抽到初二年级女生的概率是．
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知，，求初三年级中女生比男生多的概率．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）∵，∴；
（2）初三年级人数为，现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，应在初三年级抽取的人数为：名．
（3）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生男生数记为；
由（2）知，且，基本事件空间包含的基本事件有：、、、……共个．事件包含的基本事件有：
、、、、，共个，∴．
【难度】****
【题干】一汽车厂生产三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：
轿车 轿车 轿车
舒适型
标准型
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆．
（1）求的值．
（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为的样本．将该样本看成一个总体，从中任取辆，求至少有辆舒适型轿车的概率；
（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取辆，经检测它们的得分如下：，，，，，，，．把这辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过的概率．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）设该厂这个月共生产轿车辆，由题意得，
所以，则．
（2）设所抽样本中有辆舒适型轿车，由题意，得．因此抽取的容量为5的样本中，有辆舒适型轿车，辆标准型轿车．用，表示辆舒适型轿车，用，，表示辆标准型轿车，用表示事件“在该样本中任取辆，其中至少有辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个．
事件包含的基本事件有：，，，，，，，共个，故，即所求概率为．
（3）样本平均数．设表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过”，则基本事件空间中有个基本事件，事件包括的基本事件有：，，，，，，共个，所以，即所求概率为．
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