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9.2.2数字特征的计算
一、知识要点
1）用样本的平均数估计总体平均数
① 众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
② 中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数.
③ 平均数：一般地，设样本的数据为，…，则样本的算术平均数为；
④ 平均数相关结论：
a. 如果两组数，…和，…的平均数分别是和，则一组数，…的平均数是；
b. 如果一组数，…的平均数为，则一组数，…的平均数为；
c. 如果一组数，…的平均数为，则一组数，…的平均数为.
2）用样本的标准差估计总体的标准差
① 数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；
② 极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；
③ 样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；
一般地，设样本的数据为，...，样本的平均数为，定义样本方差为；简化公式：=（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）
④ 样本的标准差是方差的算术平方根．
样本标准差.
⑤ 方差相关结论：
a. 如果一组数的方差为，则一组数的方差为；
b. 如果一组数的方差为，则一组数的方差为.
3）三个特征
① 利用频率分布直方图估计样本的数字特征：
a. 中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．
b. 平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．
c. 众数：最高的矩形的中点的横坐标．
二、典型例题
【题干】甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击次，三人的测试成绩如图表所示
甲的成绩
环数
频数
乙的成绩
环数
频数
丙的成绩
环数
频数
， ，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则， ，的大小关系为________；分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则的大小关系为________．
【题干】个正数的平方和是，方差是，那么平均数为（ ）.
A． B． C． D．
【题干】若个数的平均数是，个数的平均数是，则这个数的平均数是（ ）.
A． B． C． D．
【题干】已知一组数据，…的方差是，且，则这组数据的平均数________．
【题干】求下列各组数据的方差与标准差（精确到），并分析由这些结果可得出什么更一般的结论．
（1）；
（2）；
（3）
【题干】已知总体的各个体的值由小到大依次为，，，，，，，，，，且总体的中位数为，若要使该总体的方差最小，则、的取值分别是________．
【题干】两台机床同时生产直径为的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出件进行测量，结果如图表所示，如果你是质量检验员，在得到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？
机床甲
机床乙
【题干】从总体中抽取的样本数据共有个，个，个，则总体的平均数的估计值为（ ）.
A． B． C． D．
【题干】某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如表所示：则该小区已安装宽带的户数估计有________户.
宽带 动迁户 原住户
已安装
未安装
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9.2.2数字特征的计算
一、知识要点
1）用样本的平均数估计总体平均数
① 众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
② 中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数.
③ 平均数：一般地，设样本的数据为，…，则样本的算术平均数为；
④ 平均数相关结论：
a. 如果两组数，…和，…的平均数分别是和，则一组数，…的平均数是；
b. 如果一组数，…的平均数为，则一组数，…的平均数为；
c. 如果一组数，…的平均数为，则一组数，…的平均数为.
2）用样本的标准差估计总体的标准差
① 数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；
② 极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；
③ 样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；
一般地，设样本的数据为，...，样本的平均数为，定义样本方差为；简化公式：=（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）
④ 样本的标准差是方差的算术平方根．
样本标准差.
⑤ 方差相关结论：
a. 如果一组数的方差为，则一组数的方差为；
b. 如果一组数的方差为，则一组数的方差为.
3）三个特征
① 利用频率分布直方图估计样本的数字特征：
a. 中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．
b. 平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．
c. 众数：最高的矩形的中点的横坐标．
二、典型例题
【题干】甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击次，三人的测试成绩如图表所示
甲的成绩
环数
频数
乙的成绩
环数
频数
丙的成绩
环数
频数
， ，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则， ，的大小关系为________；分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则的大小关系为________．
【答案】，
【解析】，，
，
，
，
，
所以， 由 得出.
【难度】***
【题干】个正数的平方和是，方差是，那么平均数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】依题意得： ，且个数都为正数，所以平均数 .
【难度】*
【题干】若个数的平均数是，个数的平均数是，则这个数的平均数是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】因为个数的平均数是， 个数的平均数是，所以个数的和是，个数的和是， 个数字和是 ，所以这 数字的平均数是 .
【难度】**
【题干】已知一组数据，…的方差是，且，则这组数据的平均数________．
【答案】或
【解析】，变形得①，
由，变形得②，
②①并简化得，解得或 .
【难度】*
【题干】求下列各组数据的方差与标准差（精确到），并分析由这些结果可得出什么更一般的结论．
（1）；
（2）；
（3）
【答案】见解析
【解析】（1），；
（2），；
（3），.
【难度】**
【题干】已知总体的各个体的值由小到大依次为，，，，，，，，，，且总体的中位数为，若要使该总体的方差最小，则、的取值分别是________．
【答案】，
【解析】这个数的中位数为 ，这个数的平均数为 .要使总体方差最小，即最小，又因为，所以当时，取得最小值.又因为，所以，.
【难度】***
【题干】两台机床同时生产直径为的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出件进行测量，结果如图表所示，如果你是质量检验员，在得到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？
机床甲
机床乙
【答案】见解析
【解析】机床甲的数据的平均数，机床乙的数据的平均数，机床甲的方差，机床乙的方差，故机床甲方差机床乙方差，所以，乙机床生产的零件质量更符合要求.
【难度】***
【题干】从总体中抽取的样本数据共有个，个，个，则总体的平均数的估计值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】因为样本数据共有个，个，个，得出样本平均数为，
则总体的平均数的估计值为.
【难度】**
【题干】某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如表所示：则该小区已安装宽带的户数估计有________户.
宽带 动迁户 原住户
已安装
未安装
【答案】
【解析】由图表可知，调查的户居民中安装电话的有户，所以安装电话的居民频率为，根据用户样本中已安装电话的频率得：.
【难度】***
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