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9.2.1频率分布直方图
一、知识要点
1）频率分布直方图
① 列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：
a. 计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；
b. 决定组距与组数：取组距，用决定组数；
c. 决定分点：决定起点，进行分组；
d. 列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．
e. 绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图.
② ；所有长方形的面积之和等于1.
2）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．
3）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．
频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本（或者总体）的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法．
二、典型例题
【题干】某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取名同学的成绩，成绩全部在分至分之间，将成绩按如下方式分成组：第一组，成绩大于等于分且小于分；第二组，成绩大于等于分且小于分；……第五组，成绩大于等于分且小于等于分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这名同学中成绩大于等于分且小于分的学生有________名．
【题干】已知一个样本容量为的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在内的样本频数为________，样本数据落在内的频率为________．
【题干】从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知________. 若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为________.
【题干】一个容量为的样本，其数据的分组与各组的频数如下，则样本数据落在上的频率为（ ）.
组别
频数
A． B． C． D．
【题干】某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）.
A． B． C． D．
【题干】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的联系，要从这人中用分层抽样的方法抽出人做进一步调查，则在（元）月收入段应抽出________人．
【题干】如图为某样本数据的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）.
A． 的频率为
B． 若样本容量为，则的频数为
C． 若样本容量为，则的频数为
D． 由频率分布布直方图可得出结论：估计总体大约有分布在
【题干】如图是某学校学生日睡眠时间的抽样频率分布表，画出频率分布直方图，估计该校学生的日平均睡眠时间．
睡眠时间 人数 频率
合计
【题干】考查某校高三年级男生的身高，随机抽取名高三男生，身高数据（单位）
（1）作出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图．
【题干】为了解学生身高情况，某校以的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况如图：
（1）估计该校男生的人数；
（2）估计该校学生身高在之间的概率；
【题干】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的根中，有________根在棉花纤维的长度小于．
【题干】为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是，，．第一小组的频数是．
（1）求第四小组的频率参加这次测试的学生人数；
（2）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？
（3）参加这次测试跳绳次数在次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩优秀率是多少？
【题干】某校高三一班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题．
（1）求全班人数及分数在之间的频数；
（2）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；
【题干】某地区为了了解岁老人的日平均睡眠时间单位：．随机选择了位老人的进行调查．如图是这位老人日睡眠时间的频率分布表．
序号 分组 睡眠时间 组中值 频数 人数 频率
1
2
3
4
5
在上述统计数据中，一部分计算见算法流程图（其中可用代替），则输出的的值是 ．
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9.2.1频率分布直方图
一、知识要点
1）频率分布直方图
① 列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：
a. 计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；
b. 决定组距与组数：取组距，用决定组数；
c. 决定分点：决定起点，进行分组；
d. 列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．
e. 绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图.
② ；所有长方形的面积之和等于1.
2）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．
3）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．
频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本（或者总体）的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法．
二、典型例题
【题干】某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取名同学的成绩，成绩全部在分至分之间，将成绩按如下方式分成组：第一组，成绩大于等于分且小于分；第二组，成绩大于等于分且小于分；……第五组，成绩大于等于分且小于等于分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这名同学中成绩大于等于分且小于分的学生有________名．
【答案】
【解析】各个矩形面积之和为，则成绩大于等于分且小于分的学生的频率.这名学生中成绩大于等于分且小于分的学生有.
【难度】*
【题干】已知一个样本容量为的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在内的样本频数为________，样本数据落在内的频率为________．
【答案】，
【解析】样本数据落在内的样本频率为，因为样本容量为的样本数据，所以数据落在内的样本频数为，样本数据落在内的频率为 .
【难度】**
【题干】从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知________. 若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为________.
【答案】，
【解析】因为直方图中各个矩形的面积之和为，所以，解得.由直方图可知三个区域内的学生总数为人，其中身高在内的学生人数为人，所以身高在范围内抽取的学生人数为人.
【难度】**
【题干】一个容量为的样本，其数据的分组与各组的频数如下，则样本数据落在上的频率为（ ）.
组别
频数
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】根据所给的表格，做出样本落在上的频率，样本事件落在上的频率，样本事件落在上的频率就得出数据落在三个区间上是互斥的，根据互斥事件的概率得到结果.
【难度】**
【题干】某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】.
【难度】**
【题干】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的联系，要从这人中用分层抽样的方法抽出人做进一步调查，则在（元）月收入段应抽出________人．
【答案】
【解析】由直方图可得（元）月收入段共有人，按分层抽样应抽出人.
【难度】**
【题干】如图为某样本数据的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）.
A． 的频率为
B． 若样本容量为，则的频数为
C． 若样本容量为，则的频数为
D． 由频率分布布直方图可得出结论：估计总体大约有分布在
【答案】D.
【难度】*
【题干】如图是某学校学生日睡眠时间的抽样频率分布表，画出频率分布直方图，估计该校学生的日平均睡眠时间．
睡眠时间 人数 频率
合计
【答案】小时
【解析】解法一：总的日睡眠时间约为
小时，故日平均睡眠时间约为小时.
解法二：求组中值与对应频率之积的和.小时，故日平均睡眠时间约为小时.
【难度】**
【题干】考查某校高三年级男生的身高，随机抽取名高三男生，身高数据（单位）
（1）作出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）最低身高，最高身高，它们的差是，即极差为，组距为，组数为.
（2）
【难度】***
【题干】为了解学生身高情况，某校以的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况如图：
（1）估计该校男生的人数；
（2）估计该校学生身高在之间的概率；
【答案】，
【解析】（1）样本中男生人数为，由分层抽样比例为，估计全校男生人数为400；
（2）因为样本中身高在之间的学生有人，样本容量为，所以样本中学生身高在之间的频率，故由估计该校学生身高在之间的概率为.
【难度】**
【题干】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的根中，有________根在棉花纤维的长度小于．
【答案】
【解析】由图可知，棉花纤维的长度小于段的频率为，则频数为.
【题干】为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是，，．第一小组的频数是．
（1）求第四小组的频率参加这次测试的学生人数；
（2）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？
（3）参加这次测试跳绳次数在次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩优秀率是多少？
【答案】；，第三小组
【解析】（1）第四小组的频率；设参加这次测试的学生人数是，则有第一小组频数/第一小组频率（人）；
（2）因为，即第一第二第三第四小组的频数分别为、、、，所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.
【难度】***
【题干】某校高三一班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题．
（1）求全班人数及分数在之间的频数；
（2）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；
【答案】，
【解析】（1）由茎叶图知，分数在 之间的频数为，频率为，全班人数为，所以分数在之间的频数为；
（2）频率分布直方图中间的矩形的高为.
【难度】***
【题干】某地区为了了解岁老人的日平均睡眠时间单位：．随机选择了位老人的进行调查．如图是这位老人日睡眠时间的频率分布表．
序号 分组 睡眠时间 组中值 频数 人数 频率
1
2
3
4
5
在上述统计数据中，一部分计算见算法流程图（其中可用代替），则输出的的值是 ．
【答案】
【解析】由流程图知
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