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10.1.3互斥事件与对立事件及其概率
一、知识要点
1）互斥事件与事件的并：
① 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．
② 事件的并：由事件和事件至少有一个发生（即发生，或发生，或发生）所构成的事件，称为事件与的并（或和），记作．
2）互斥事件的概率加法公式
① 若、是互斥事件，有
② 若事件两两互斥，有．事件“”发生是指事件中至少有一个发生.
3）对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件的对立事件记作．有
典型例题
【题干】（1）县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件为“只订甲报”，事件为“至少订一种报”，事件为“至多订一种报”，事件为“不订甲报”，事件为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．
①与；②与；③与；④与；⑤与.
【题干】抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的数是奇数”，事件为“落地时向上的数是偶数”，事件为“落地时向上的数是的倍数”，事件为“落地时向上的数是或”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
【题干】一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 （ ）
A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C. 两次都不中靶 D. 只有一次中靶
【题干】若，互斥，，，则________.
【题干】某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为，丙级品的概率为，则对产品抽查，抽得正品的概率为________.
【题干】一盒中装有个球，其中个红球、个黑球、个白球，个绿球．从中随机取出球，求：
（1）取出球是红球或黑球的概率；
（2）取出球是红球或黑球或白球的概率.
【题干】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为的概率分别为.
（1）求该企业在一个月内被消费者投诉不超过次的概率；
（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉次的概率．
【题干】 某商场有奖销售中，购满元商品得张奖券，多购多得，张奖券为一个开奖单位，设特等奖个，一等奖个，二等奖个．设张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为、、，求：
（1）；
（2）张奖券的中奖概率；
（3）张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
【题干】两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【题干】掷两枚均匀的骰子，记“点数不同”，“至少有一个是点”，判断与是否为独立事件．
【题干】设和是两个随机事件，表示事件和事件都不发生的是（ ）.
A． B． C． D．
【题干】判断下列各对事件是否是相互独立事件
（1）甲组名男生、名女生；乙组名男生、名女生，今从甲、乙两组中各选名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出名男生”与“从乙组中选出名女生”．
（2）容器内盛有个白乒乓球和个黄乒乓球，“从个球中任意取出个，取出的是白球”与“从剩下的个球中任意取出个，取出的还是白球”．
【题干】（1）某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件为“只订甲报”，事件为“至少订一种报”，事件为“至多订一种报”，事件为“不订甲报”，事件为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．
①与；②与；③与；④与；⑤与．
【题干】抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的数是奇数”，事件为“落地时向上的数是偶数”，事件为“落地时向上的数是的倍数”，事件为“落地时向上的数是或”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【题干】每道选择题都有个选择支，其中只有个选择支是正确的．某次考试共有道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（ ）
A．正确的 B．错误的 C．模棱两可的 D．有歧义的
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10.1.3互斥事件与对立事件及其概率
一、知识要点
1）互斥事件与事件的并：
① 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．
② 事件的并：由事件和事件至少有一个发生（即发生，或发生，或发生）所构成的事件，称为事件与的并（或和），记作．
2）互斥事件的概率加法公式
① 若、是互斥事件，有
② 若事件两两互斥，有．事件“”发生是指事件中至少有一个发生.
3）对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件的对立事件记作．有
典型例题
【题干】（1）县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件为“只订甲报”，事件为“至少订一种报”，事件为“至多订一种报”，事件为“不订甲报”，事件为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．
①与；②与；③与；④与；⑤与.
【答案】（1）不是互斥事件；（2）互斥事件也是对立事件；（3）不是互斥事件；（4）不是互斥事件；（5）不是互斥事件.
【解析】（1）由于事件为“至多订一种报”中包括“只订甲报”，即事件与事件可能同时发生，故事件与事件既不是互斥事件；（2）事件为“至少订一种报”与事件为“一种报也不订”是不可能同时发生的，故与是互斥事件，由于事件发生会导致事件一定不发生，且事件发生会导致事件一定不发生，故与还是对立事件；（3）事件为“至少订一种报”即可能“不订甲报”，也就是事件与可能同时发生，所以事件与事件不是互斥事件；（4）事件为“至少订一种报”中包括只订甲报，只订乙报，订甲、乙两种报，事件“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故与不是互斥事件；（5）由（4）的分析，事件“一种报纸也不订”仅仅是事件中的一种可能情况，事件与事件可能同时发生，故与不是互斥事件.
【难度】**
【题干】抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的数是奇数”，事件为“落地时向上的数是偶数”，事件为“落地时向上的数是的倍数”，事件为“落地时向上的数是或”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
【答案】C
【解析】抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的数是奇数”，事件为“落地时向上的数是偶数”，事件为“落地时向上的数是的倍数”，事件为“落地时向上的数是或”.事件与是互斥事件也是对立事件；事件与、与都是不是互斥事件；与是互斥但不是对立事件.
【难度】*
【题干】一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 （ ）
A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C. 两次都不中靶 D. 只有一次中靶
【答案】C
【解析】∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶.
【难度】**
【题干】若，互斥，，，则________.
【答案】
【解析】根据题意，，互斥，，.
【难度】*
【题干】某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为，丙级品的概率为，则对产品抽查，抽得正品的概率为________.
【答案】
【解析】设事件为甲级产品，事件为乙级产品，事件为丙级产品.根据题意，，.
【难度】*
【题干】一盒中装有个球，其中个红球、个黑球、个白球，个绿球．从中随机取出球，求：
（1）取出球是红球或黑球的概率；
（2）取出球是红球或黑球或白球的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设事件表示“取出的是红球”，事件表示“取出的是黑球”.，，.
（2）设事件表示“取出的是红球”，事件表示“取出的是黑球”，设事件表示“取出的是白球”.，，，
.
【难度】**
【题干】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为的概率分别为.
（1）求该企业在一个月内被消费者投诉不超过次的概率；
（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉次的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）方法一：设事件表示“一个月内被投诉的次数为”，事件表示“一个月内被投诉的次数为”，.
方法二：设事件表示“一个月内被投诉次”，事件表示“一个月内被投诉的次数不超过次”． ∵， .
（2）设事件表示“第个月被投诉的次数为”，事件表示“第个月被投诉的次数为”，事件表示“第个月被投诉的次数为”，事件表示“两个月内共被投诉次”． ，，. ∵两个月中，一个月被投诉次，另一个月被投诉次的概率为，一、二月份均被投诉次的概率为，，由事件的独立性得，.
【难度】***
【点评】（1）根据互斥事件，第（1）问可转化为求被消费者投诉次和次的概率和．
（2）第（2）问可转化为求以下三种情形的概率和：①一、二月份各被投诉次；②一、二月份各被投诉，次；③一、二月份各被投诉，次．
【题干】 某商场有奖销售中，购满元商品得张奖券，多购多得，张奖券为一个开奖单位，设特等奖个，一等奖个，二等奖个．设张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为、、，求：
（1）；
（2）张奖券的中奖概率；
（3）张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1），，.
（2）张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“张奖券中奖”这个事件为，则， ∵、、两两互斥，
.
（3）设“张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事，则事件与“张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，.
【难度】***
【题干】两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B；
【题干】掷两枚均匀的骰子，记“点数不同”，“至少有一个是点”，判断与是否为独立事件．
【答案】略
【解析】法一：由题意得：；；
（在第一次或第二次得到点）；故，故与不是独立事件；
法二：
掷两枚骰子的所有基本事件有：，且每个基本事件发生的概率相同．
故；，；，故与不是独立事件．
【难度】**
【题干】设和是两个随机事件，表示事件和事件都不发生的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D；
【解析】表示事件或发生，表示事件与同时发生，表示事件的对立事件，故选D．
【难度】**
【题干】判断下列各对事件是否是相互独立事件
（1）甲组名男生、名女生；乙组名男生、名女生，今从甲、乙两组中各选名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出名男生”与“从乙组中选出名女生”．
（2）容器内盛有个白乒乓球和个黄乒乓球，“从个球中任意取出个，取出的是白球”与“从剩下的个球中任意取出个，取出的还是白球”．
【答案】见解析
【解析】（1）“从甲组选出名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出名女生”
这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
（2）“从个球中任意取出个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的个球中任意取出个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为．可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
【难度】**
【题干】（1）某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件为“只订甲报”，事件为“至少订一种报”，事件为“至多订一种报”，事件为“不订甲报”，事件为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．
①与；②与；③与；④与；⑤与．
【答案】①不是互斥事件；②是互斥事件，且为对立事件；③不是互斥事件；
④不是互斥事件；⑤不是互斥事件．
【解析】略
【难度】*
【题干】抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的数是奇数”，事件为“落地时向上的数是偶数”，事件为“落地时向上的数是的倍数”，事件为“落地时向上的数是或”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【解析】与是对立事件；与可同时发生，不是互斥事件；与不是互斥事件；选项C满足条件．
【难度】**
【题干】每道选择题都有个选择支，其中只有个选择支是正确的．某次考试共有道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（ ）
A．正确的 B．错误的 C．模棱两可的 D．有歧义的
【答案】B；
【解析】略
【难度】**
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