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10.1.4古典概型
古典概型
1）基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件．
2）基本事件的特点：
① 任何两个基本事件是互斥的；
② 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
3）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，其特征是：
① 有限性：即在一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
② 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型．
4）基本事件的探索方法：
① 列举法：此法适用于较简单的实验．
② 树状图法：这是一种常用的方法，适用于较为复杂问题中的基本事件探索．
5）在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法，下列举例来说明：设袋中有个不同的球，现从中一次模球，每次摸一只，则有两种摸球的方法：
① 有放回的抽样
每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，这种模球的方法称为有放回的抽样，显然对于有放回的抽样，依次抽得球可以重复，且摸球可以无限地进行下去．
② 无放回的抽样
每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种模球方法称为五放回抽样，每次摸的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次．
二、 古典概型计算公式
1）如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
2）如果某个事件 包括的结果有个，那么事件 的概率．
3）事件与事件是互斥事件
4）事件与事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件．
【题干】现有名年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者，，通晓日语，，，通晓俄语，，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 名，组成一个小组．
（1）求被选中的概率；
（2）求和不全被选中的概率．
【题干】从张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是或或的概率为________．
【题干】从一副混合后的扑克牌（张）中随机抽取张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率________（结果用最简分数表示）．
【题干】投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰于向上的点数是”为事件，则事件，中至少有一件发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题干】某学生做两道选择题，已知每道题均有个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为________．
【题干】现有名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各名，组成一个小组．
（1）求被选中的概率；
（2）求和全被选中的概率．
【题干】将一枚硬币连续投掷三次，恰有两次正面朝上的概率是多少？
【题干】先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是的概率依次是，则（ ）
A. B. C. D.
【题干】若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和为的概率为________．
【题干】先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数，骰子朝上的面的点数分别为，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题干】若以连续掷两次骰子分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在圆内的概率是________.
【题干】同时抛掷两枚骰子，
（1）求得到的两个点数成两倍关系的概率；
（2）求点数之和为的概率；
（3）求至少出现一个点或点的概率．
【题干】锅中煮有芝麻馅汤圆个，花生馅汤圆个，豆沙馅汤圆个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取个汤圆，则每种汤圆都至少取到个的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题干】袋子中装有编号为的个黑球和编号为的个红球，从中任意摸出个球．
（1）写出所有不同的结果；
（2）求恰好摸出个黑球和个红球的概率；
（3）求至少摸出个黑球的概率．
【题干】在个球中有个红球，个白球（各不相同），不放回的依次摸出个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题干】从数字中，随机抽取个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于的概率为（ ）
A． B. C． D．
【题干】已知的三边是以内（不包含）的三个连续的正整数，求是锐角三角形的概率．
【题干】连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题干】某招呼站，每天均有辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．
（1）共有多少个基本事件？
（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？
【题干】某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
频率
（1）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；
（2）在（1）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零件等级恰好相同的概率.
【题干】甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题干】为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有家企业参与竞标．其中企业来自辽宁省，、两家企业来自福建省，、、三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．
（1）企业中标的概率是多少？
（2）在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？
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10.1.4古典概型
古典概型
1）基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件．
2）基本事件的特点：
① 任何两个基本事件是互斥的；
② 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
3）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，其特征是：
① 有限性：即在一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
② 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型．
4）基本事件的探索方法：
① 列举法：此法适用于较简单的实验．
② 树状图法：这是一种常用的方法，适用于较为复杂问题中的基本事件探索．
5）在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法，下列举例来说明：设袋中有个不同的球，现从中一次模球，每次摸一只，则有两种摸球的方法：
① 有放回的抽样
每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，这种模球的方法称为有放回的抽样，显然对于有放回的抽样，依次抽得球可以重复，且摸球可以无限地进行下去．
② 无放回的抽样
每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种模球方法称为五放回抽样，每次摸的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次．
二、 古典概型计算公式
1）如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
2）如果某个事件 包括的结果有个，那么事件 的概率．
3）事件与事件是互斥事件
4）事件与事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件．
【题干】现有名年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者，，通晓日语，，，通晓俄语，，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 名，组成一个小组．
（1）求被选中的概率；
（2）求和不全被选中的概率．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）从人中选出日语、俄语和韩语志愿者各名，其一切可能的结果组成的基本事件共有个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用表示“恰被选中”这一事件，事件由，因而.
（2）用表示“、不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“ 、 全被选中”这一事件，由于 包含，，3个结果，事件有个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得.
【难度】*
【点评】确定基本事件总数，可用排列组合或用列举法，确定某事件所包含的基本事件数，用公式求解．
【题干】从张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是或或的概率为________．
【答案】
【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，共有52种结果，满足条件的事件是这张牌是或或，共有种结果，根据古典概型概率公式得到 .
【点评】本题考查古典概型，解决古典概型问题时最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组织来计数.
【题干】从一副混合后的扑克牌（张）中随机抽取张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率________（结果用最简分数表示）．
【答案】
【解析】由题意知本题是一个典型概型和互斥事件，∵事件为“抽到红桃 ”，
事件的概率，∵事件 为“抽得为黑桃”，事件的概率.
由互斥事件概率公式 .
【点评】本题是互斥事件的概率，注意公式的应用，分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件.
【题干】投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰于向上的点数是”为事件，则事件，中至少有一件发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，“事件 ，中至少有一件发生”与“事件 ，一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得，，
则，则“事件，中至少有一件发生”的概率为.
【点评】本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系（互斥、对立等）.
【题干】某学生做两道选择题，已知每道题均有个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为________．
【答案】
【解析】一道题可能的选项为种，那么道题就有种可能，恰好全部选对的有种，所以概率是.
【题干】现有名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各名，组成一个小组．
（1）求被选中的概率；
（2）求和全被选中的概率．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件
由个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用表示“恰被选中”这一事件，则
事件由个基本事件组成，因而 .
（2）用表示“，不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“，全被选中”这一事件，由于，事件有个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得.
【难度】**
【题干】将一枚硬币连续投掷三次，恰有两次正面朝上的概率是多少？
【答案】
【解析】画树状图得：∵共有8种等可能的结果，其中两次正面朝上的是4种情况， 掷一枚硬币三次正面朝上的概率为： .
【难度】*
【题干】先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是的概率依次是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先后抛掷两颗骰子，出现的点数共有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种.其中点数之和是12的有1种，故；其中点数之和是11的有2种，故；其中点数之和是10的有3种，故. <<
【难度】*
【题干】若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和为的概率为________．
【答案】
【解析】基本事件共个，点数和为4的有，，，共3个，
故.
【难度】*
【题干】先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数，骰子朝上的面的点数分别为，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，，满足条件的有3对，而骰子朝上的点数共有对，概率为.
【难度】*
【题干】若以连续掷两次骰子分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在圆内的概率是________.
【答案】
【解析】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的坐标，共有种结果，而满足条件的事件是点落在圆内，列举出落在圆内的情况：，，，，，，，，共有8种结果，根据古典概型概率公式得到.
【难度】**
【题干】同时抛掷两枚骰子，
（1）求得到的两个点数成两倍关系的概率；
（2）求点数之和为的概率；
（3）求至少出现一个点或点的概率．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）同时抛掷两枚骰子的结果，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种.由于没有顺序，因此发现，在这36种结果中，一个恰是另一个两倍的概率出现了次，求得两个点数成两倍关系的概率.
（2）基本事件共种可能，点数之和为的有5种，.
【难度】**
【题干】锅中煮有芝麻馅汤圆个，花生馅汤圆个，豆沙馅汤圆个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取个汤圆，则每种汤圆都至少取到个的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为总的舀法 ，而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆，取得个数分别按三类，故所求概率.
【难度】**
【题干】袋子中装有编号为的个黑球和编号为的个红球，从中任意摸出个球．
（1）写出所有不同的结果；
（2）求恰好摸出个黑球和个红球的概率；
（3）求至少摸出个黑球的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）.
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含了上一问列举的所有结果，记“恰好摸出1个黑球和1红球”为事件，则事件包含的基本事件为，共6个基本事件，所以.
（3）试验发生包含的事件共有个，记“至少摸出个黑球”为事件，则包含的基本事件为，共个基本事件，所以.
【难度】***
【点评】步骤：用列举法求出基本事件的总数，求出具体时间包含的基本事件数，根据古典概型求出概率.
【题干】在个球中有个红球，个白球（各不相同），不放回的依次摸出个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】.
【解析】第一次摸出的球为红球，则还剩下个红球和个白球，故第二次也膜促红球的概率为.
【难度】**
【题干】从数字中，随机抽取个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于的概率为（ ）
A． B. C． D．
【答案】D
【解析】从中，随机抽取个数字（允许重复），可以组成个不同的三位数，其中各位数字之和等于的三位数可分为以下情形：（1）由三个数字组成的三位数：共6个；（2）由三个数字组成的三位数：共3个；（3）同理，由三个数字组成个不同的三位数；（4）由三个数字组成3个不同的三位数；（5）由三个数字组成个三位数；故，满足条件的三位数共有，所求的概率为.
【难度】**
【题干】已知的三边是以内（不包含）的三个连续的正整数，求是锐角三角形的概率．
【答案】.
【解析】由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从到组成三角形的个数，，，，，共个结果，满足条件的事件是锐角三角形，要根据勾股定理进行判断得到，，，共有4个结果，所以，概率.
【难度】***
【题干】连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数，
∵， 与不可能同向.∵，，，即.当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，；当时，.满足条件的事件数.故，概率.
【难度】**
【题干】某招呼站，每天均有辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．
（1）共有多少个基本事件？
（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）三类客车分别记为上、中、下，则有如下基本事件：上-中-下；上-下-中；中-上-下；中-下-下；下-上-中；下-中-上，因此，基本事件总数为个；
（2）小曹能乘上上等车的事件记为，则中包含上述事件中的中-上-下；中-下-上；下-上-中，共个，故，.
【难度】****
【题干】某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
频率
（1）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；
（2）在（1）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零件等级恰好相同的概率.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由频率分布表得，，即，由抽取的20个零件中，等级为5的恰有个，得，，所以.
（2）等级为的零件有个，记作，， ；等级为的零件有个，记作，.从，，，，任意抽取个零件，所有可能的结果为：，，，，，，，， 共计10种.事件为“从，，，，零件中任意抽取件，其等级相等”，则包含的基本事件为，，， 共4个，故，所求事件概率.
【难度】****
【题干】甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】甲、乙在同一组：.甲、乙不在同一组，但相遇的概率：.
【难度】***
【题干】为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有家企业参与竞标．其中企业来自辽宁省，、两家企业来自福建省，、、三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．
（1）企业中标的概率是多少？
（2）在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从这家企业中选出家，选法有，，，，，，，，，，，，，，，共15种.其中企业中标的选法有，，，，，共5种，所以，企业中标的概率为.
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是在中标的企业中，没有来自河南省选法有：，，共3种.所以在“在中标的企业中，没有来自河南省”概率为.所以，“在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为.
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